глава из работы «Логические парадоксы. Пути решения»
ПАРАДОКС РАССЕЛА
О МНОЖЕСТВЕ ОБЫЧНЫХ МНОЖЕСТВ
«Самым знаменитым из открытых уже в нашем веке парадоксов являет антиномия, обнаруженная Б. Расселом и сообщённая им в письме к Г. Фреге. (…) Парадокс Рассела в первоначальной его форме связан с понятием множества, или класса. Можно говорить о множествах различных объектов, например, о множестве всех людей или о множестве натуральных чисел. Элементом первого множества будет всякий отдельный человек, элементом второго – каждое натуральное число. Допустимо также сами множества рассматривать как некоторые объекты и говорить о множествах множеств. Можно ввести даже такие понятия, как множество всех множеств или множество всех понятий.
Относительно любого произвольно взятого множества представляется осмысленным спросить, является оно своим собственным элементом или нет. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовём обычными. Например, множество всех людей не является человеком, так же как множество атомов – это не атом. Необычными будут множества, являющиеся собственными элементами. Например, множество, объединяющее все множества, представляет собой множество и, значит, содержит само себя в качестве элемента. Рассмотрим теперь множество всех обычных множеств. Поскольку оно множество, о нём тоже можно спрашивать, обычное оно или необычное. Ответ, однако, оказывается обескураживающим. Если оно обычное, то, согласно своему определению, должно содержать само себя в качестве элемента, поскольку содержит все обычные множества. Но это означает, что оно является необычным множеством. Допущение, что наше множество представляет собой обычное множество, приводит, таким образом, к противоречию. Значит, оно не может быть обычным. С другой стороны, оно не может быть также необычным: необычное множество содержит само себя в качестве элемента, а элементами нашего множества являются только обычные множества. В итоге приходим к заключению, что множество всех обычных множеств не может быть ни обычным, ни необычным множеством. Итак, множество всех множеств, не являющихся собственными элементами, есть свой элемент в том и только том случае, когда оно не является таким элементом. Это явное противоречие. И получено оно на основе самых правдоподобных предположений и с помощью бесспорных как будто шагов. Противоречие говорит о том, что такого множества просто не существует. Но почему оно не может существовать? Ведь оно состоит из объектов, удовлетворяющих чётко определенному условию, причём само условие не кажется каким-то исключительным или неясным. Если столь просто и ясно заданное множество не может существовать, то в чём, собственно, заключается различие между возможными и невозможными множествами? Вывод о не существовании рассматриваемого множества звучит неожиданно и внушает беспокойство. Он делает наше общее понятие множества аморфным и хаотичным, и нет гарантии, что оно не способно породить какие-то новые парадоксы. Парадокс Рассела замечателен своей крайней общностью. Для его построения не нужны какие-либо сложные технические понятия, как в случае некоторых других парадоксов, достаточно понятий «множество» и «элемент множества». Но эта простота как раз и говорит о его фундаментальности: он затрагивает самые глубокие основания наших рассуждений о множествах, поскольку говорит не о каких-то специальных случаях, а о множествах вообще». Конец цитаты (7).
РЕШЕНИЕ
После рассмотрения парадоксов «Парикмахер» и «Каталог», которые считаются вариантами данного парадокса «О множествах всех обычных множеств», можно порассуждать и над их абстрактной формулировкой.
Если не уточнить понятие «множества», то в данном виде этот парадокс нерешаем. Множество – это не что иное, как обобщающее понятие. Поэтому к его пониманию необходимо подходить, как и к пониманию множества «всё» («Логические парадоксы. Пути решения», глава «О принципах решения парадоксов», пункт 2-Б, http://proza.ru/2009/04/27/370) – с точки зрения относительности знания во временном контексте. И тогда достаточно легко можно увидеть, что множество каких-либо ВСЕХ элементов есть не что иное, как множество каких-либо ВСЕХ СУЩЕСТВУЮЩИХ, или, по-другому, ИЗВЕСТНЫХ, на момент определения объёма множества элементов. И таким образом, появляется простое правило: любое более общее множество не включает себя в качестве своего же элемента, потому что его попросту ещё не существует при постановке задачи обобщения. А это значит, во-первых, что «множество всех обычных множеств» существует, но не содержит себя в качестве элемента, потому что не подпадает под определение «обычного множества, существующего на момент появления этого множества» по временному параметру. Оно может стать равным остальным обычным множествам только в качестве элемента наряду с другими обычными множествами в более общем множестве, например, гипотетически, во множестве всех множеств (обычных и необычных), опять же, существующих на момент определения объёма такого множества (универсума). А во-вторых, при подходе к дефиниции множества во временном контексте оказывается, что необычных множеств просто не может существовать по определению. И объём этого понятия становится пустым.