Математика.
Этот термин и эта наука известны всем нам, как универсальный язык, описывающий все природные явления; язык, на котором общаются между собой другие науки.
«Царица наук» - так нередко именуют ее, стоящую в особом ряду среди всех прочих достижений человечества. Ее значение и роль трудно переоценить для нашей цивилизации. Через математические отношения мы описываем все прочие явления и понятия, начиная с бытовых и заканчивая запредельными для понимания обычным человеком. Даже послание для возможно существующего инопланетного разума составлено с использованием этого универсального языка.
Но насколько он универсален? Задумывались ли Вы когда-либо над этим вопросом? И что есть суть математики?
Уже говорилось, что математика – это язык. Надо сказать, что это не просто метафора. Что есть «язык»? Логично выделить два вида языка, как такового: устный и письменный.
Под устным языком подразумевается средство общения между людьми определенной национальности. Он состоит из определенных словоформ, описывающих те или иные объекты или явления реального мира, а также соглашений о том, каким образом они составляются в предложения для наиболее емкой передачи информации. В различных языках одним и тем же явлениям и объектам соответствуют различные словоформы. Кроме того, названия объектов никак не связаны с их реальной формой и содержанием, т.е. они никак не аргументированы. Никто не говорит, что этот цвет красный, потому-то и потому-то, или «звук тихий, потому что…» Как бы эти понятия можно было объяснить слепому и глухому соответственно? В языке реальные объекты сопоставлены со словами, являющимися идеальными.
О чем это говорит? Язык не является объективным средством отражения действительности. Он несет отпечаток условности. Кроме того, ни один язык не может описать реальность во всей полноте. Случалось ли с Вами такое, что Вы не могли описать своих чувств или переживаний, или нечто увиденное из-за того, что в языке нет слов, необходимых для этого? А как Вы думаете, если предложить одно и то же описание предмета различным людям, они воспримут эту информацию одинаково? Или же, наоборот, каково будет описание одного и того же предмета, сделанное разными людьми?
Письменный язык дополняет устный, набором символов для записи звуковых проявлений языка (алфавит) и всевозможных знаков пунктуации, а также правил правописания и стилистики. В данном случае мы снова можем пронаблюдать условность языка: буква отражает звук, но не является им. Буквы безгласны, и, кроме того, они не могут отразить всех существующих звуков, издаваемых человеком. Но мы уславливаемся обозначать звук «А» буквой «А» и в дальнейшем не задумываемся об этом условии.
Устный язык, как таковой, образует лингвистическую конвенцию, которая является внешней по отношению к алфавиту.
Письменный язык составляет языковую конвенцию. При этом надо сказать, что в рамках произвольной языковой конвенции любая последовательность символов, обладающая признаками увеличенного порядка, а значит и уменьшенной энтропии, подходит для кодирования информации, т. е. любой «код» выбирается произвольно, согласуясь с правилами данной языковой конвенции, хотя для конкретного языка учитываются не все коды, а только уже существующие. Новые же коды вводятся согласно правилам, обусловленным данной конвенцией.
Как замечает Е. Седов, «языковая конвенция, которая совершенно произвольна, просто устанавливает, что конкретная система символов или шаблонов несет некоторый определенный смысл» .
Лингвистические символы сами по себе не несут никакой информации. Способностью заключать в себе смысл их наделяет конкретная лингвистическая конвенция и источник информации, то есть, как уже говорилось, делается ничем не аргументированное сопоставление конкретного явления или предмета с языковым кодом – словом. И после этого слово становится вместилищем информации. Одна и та же последовательность символов в различных языковых конвенциях может нести информацию или не нести таковой.
Все это говорит о том, что конвенция не является первичной по отношению к объективно существующей информации и не является способной передавать эту информацию без искажения. Каждая конвенция накладывает свой отпечаток на передаваемое «сообщение». Не зря же говорят, например, о богатстве Русского языка по сравнению с языками, скажем, малых народов. Дело не в том, что мы сильно хвалим свой язык, а в том, что в Русском языке есть средства передачи информации, отсутствующие в некоторых других. Например, понятие рода, обилие падежей; словарный запас русского языка превышает многие другие. С другой стороны, например в английском языке в арсенале имеется 24 времени вместо трех времен русского языка. И это компенсирует относительную бедность этого языка. Каждый лингвист скажет, что внутри языковой группы присутствует своя логика языка, свои законы, свои правила. А значит, и сообщения, передаваемые с помощью различных языковых конвенций, не могут не отражать всего этого. «Конвенция воздействует на все процессы перевода - толкования символов, о которых в каждом конкретном случае идет речь. Экзогенная информация вводится в символ только посредством языковой конвенции», - пишет профессор Седов.
Язык понимается как система выражений, наделенных смыслом, между которыми необходимо установить связи, посредством которых затем можно сформулировать некоторые правила употребления выражений, называемые правилами значения.
По Айдукевичу (К.Айдукевич создал концепцию "радикального конвенционализма".) существует три типа:
1) аксиоматические правила значения, указывающие те выражения, отрицание которых, независимо от ситуации, в которой это отрицание происходит, указывает на нарушение присущих данному языку значений (т.е. тавтологические понятия, которые являются аксиомами языка и их признание не зависит от условий. Например, названия предметов или понятий и связанные с ними характеристики. «Красный», «квадрат» - эти слова заключают в себе смысл, который никак не аргументируется, но нельзя отрицать, что у квадрата четыре угла);
2) дедуктивные правила значения, выделяющие пары выражений такого вида, что, признав первое выражение, нужно быть готовым признать и второе, если не нарушать значений, присущих словам данного языка (Например, если А больше В, то В меньше А);
3) эмпирические правила значения, ставящие в соответствие опытным данным определенные выражения, которые нужно признавать, чтобы не нарушать значений слов данного языка (Например, если человек чувствует вкус соли, но не признает, что она соленая, то он не сопоставляет понятие и слово, характеризующее его в русском языке).
Но вернемся к позабытой на время «Царице наук».
Математика обладает своим алфавитом - набором математических символов, соглашениями или правилами составления математических предложений и их обработки. А потому, несомненно, является разновидностью письменности. Но более того, также как и в обычном, житейском, языке математика содержит набор неопределяемых понятий, а также аксиом – утверждений, не требующих доказательства, которые все вместе и составляют основания математики. То есть говорится, что это так, потому что это так. Например, «на любой прямой есть точки, принадлежащие ей и ей не принадлежащие» или «через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну». Эти утверждения никак не аргументируются, в них надо поверить, а потому мы сразу видим условность математики, как и любого другого языка. И только в случае, если мы принимаем изначальные соглашения, сделанные при создании математики, мы уже можем аргументировать прочие утверждения, а также определять объекты через неопределяемые понятия.
Таким образом, мы можем провести аналогию между естественным языком, на котором говорят люди, и языком, на котором «говорят» науки.
Кроме того, мы можем утверждать, что математика сама по себе является языковой конвенцией, так как нельзя не заметить, что она построена на соглашениях, подобных тем, которые существуют в естественных языках. Она также оперирует с аксиомами, дедуктивными выводами и эмпирическими истинами, признание которых идет в силу имеющегося опыта.
Откуда же взялись неопределяемые понятия и аксиомы? Логично предположить, что из житейского опыта. Однако житейский опыт не является источником достоверных сведений, как это уже описывалось выше, и, как это известно, из многих математических парадоксов и зрительных иллюзий. Вывод напрашивается сам собой: основания математики не являются абсолютной истиной. А, следовательно, даже при отсутствии возможных логических ошибок в дальнейшем построении теории, сама идея такого построения может быть неверной.
Кроме того, нет гарантий, что основания математики описывают полный перечень возможных неопределяемых понятий и аксиом, хотя и существуют доказательства того, что предложенные системы аксиом являются полными. Но они опять-таки исходят из того, что уже принято за истину, а потому как бы базируются сами на себе. Все равно, как «Земля на трех китах», которые плавают в море, которое по логике вещей должно находиться на какой-то другой Земле.
Итак, мы приходим к выводу, что математика – это не более чем язык, верный в рамках определенных соглашений. Он условен и не является до конца достоверным, не обладает функцией абсолютно точной передачи информации.
Однако именно математика является фундаментом для построения всего здания современной науки в целом. В какую бы область науки и техники мы не обратили свой взор, везде мы столкнемся с числовыми отношениями, тщательно продуманными формулами, (которые используют опять-таки математический аппарат)1, методами проведения расчетов и т.д. и т.п.
При всем при этом сама «голая» математика ничего не «производит». Она была бы бессмысленна сама по себе, если бы не ее приложения, не использование ее как связующего звена для всех других наук.
Стоит заметить, что форма фундамента определяет основную форму всего строения. Дом не может быть квадратным, если его фундамент прямоугольный или, скажем, круглый. Кроме того, если в доме построить стену, не опирающуюся на фундамент, то она не может быть «несущей» для дальнейшего строительства. Подобно этому, математика ограничивает научное пространство своим аппаратом. И все, что выходит за ее пределы, уже считается, в лучшем случае, гипотезой, в худшем - научной спекуляцией или, более того, шарлатанством. Однако так ли это?
С детства мы привыкли верить в непогрешимость математики и ее универсальность. Самым веским аргументом в различных спорах является именно математическое доказательство какой-либо «истины». Но надо сказать, что истоки этой веры берутся не в действительной истинности этого явления, а в привычке, не более того. Как часто человек принимает за правду не то, что является ей на самом деле, а то, что он привык считать таковой в силу того, что изначально ему твердили об этом явно и неявно с самого раннего детства. Отсутствие другой точки зрения и привычка к единственно-существующей – вот зачастую несокрушимое основание самых прочных убеждений, порой даже нелепых. «Земля покоится на трех китах», «Солнце вращается вокруг земли», «Земля – центр Вселенной», «Пространство заполнено эфиром», «Сталин – отец нации»… - этот список утверждений, вызывающих сейчас улыбки, еще долго можно продолжать. Но были времена, когда они не подлежали сомнению и, оспаривание некоторых из них влекло за собой даже репрессии. Не один человек лишился жизни, доказывая другую истину, отличную от общепринятой. Вспомним хотя бы Джордано Бруно, сожженного на костре; Галилея, прошептавшего на смертном одре: «А все-таки она вертится», сожженных на кострах инквизиции за ересь, выражавшуюся во мнении, отличном от догмата официальной церкви; миллионы репрессированных в годы правления «вождя всех времен и народов»…
Однако стоит заметить, что именно нестандартный взгляд, нелинейное мышление при решении некоторых вопросов, принципиально другой подход очень часто являются началом нового витка прогресса. Попробуем и мы посмотреть на математику с другой точки зрения.
Значение математики для нашей цивилизации не ограничивается ее языковой ролью. На самом деле, попробуйте сформулировать основную идею цивилизации, ставшую источником движения и развития? После некоторых размышлений мы можем прийти к мысли, сформулированной еще Пифагором. Думается, что именно благодаря этому он и вошел в историю человечества. И звучать она будет очень просто и достаточно привычно: «все есть число». Интересно отметить, что Пифагор был лидером некоего религиозного течения в Древней Греции, получившего название от имени его основоположника – пифагорейства. А доктрина, сформулированная им, была религиозной. Сейчас это кажется смешным, но вместо того, чтобы улыбаться наивности древних, стоит задуматься над этим фактом. А говорит он ни о чем ином, как об отсутствии абсолютности в математике. До Пифагора никто, может, и не помышлял о том, чтобы благоговеть перед «Царицей» и на ее фундаменте строить все научные изыскания.
Представьте же, что фундамент современной науки был бы другой формы? Или вообще был бы изготовлен из принципиально другого материала? Какой бы была тогда современная цивилизация? Что входило бы в понятие прогресса? Состоялась бы научно-техническая революция? В каком мире мы бы с вами жили, если бы основной идеей стала бы не идея: «Все есть число», а скажем, «Все есть звук», или «Все есть Свет», или «Все есть мысль»? Попробуйте пофантазировать и представить себе этот другой мир…
А как это отразилось бы на этическом строении общества «нашего» мира? Повлекло бы это какие-то принципиальные изменения в современной морали, во взаимоотношениях между людьми, в укладе жизни?
Можно сказать, что математика и этика не особо связаны друг с другом. Но думается, что это не так. «Все есть число» - эта мысль пронизывает все сферы современного общества, потому как оно развилось собственно под воздействием и благодаря математике. То, каким мир стал сейчас, и как он исторически развивался, связано напрямую с представлениями о нем, которые были высказаны на «универсальном» языке. Но, как существует множество различных человеческих языков, верно, но другими словами, описывающих различные явления, так и языков, лежащих в основании науки может быть множество. Хотя для нас, детей числовой цивилизации, они будут не более чем набор звуков, не несущих информации привычным к другому звучанию разумам. И, конечно, речь не идет о том, что математика – это неправильный язык, неверно передающий объективную реальность, а лишь о том, что она обладает всеми недостатками других языков, а также о том, что язык дает некоторую специфическую окраску описываемым явлениям. Не от того ли так часты корысть, меркантильность, расчетливость, бережливость, экономность, что в основании нашего представления о мире (хотим мы того или нет) - лежит математическая призма? … Можно сказать, что не все качества данного списка являются негативными. Но также можно сказать, что это мнение не является однозначным даже в различных этических концепциях нашей цивилизации, не говоря уже о том, каким оно было бы в цивилизации, построенной совершенно по другим принципам. Например, Библия говорит: «Отпускай хлеб твой по водам, потому что по прошествии многих дней опять найдешь его» , а также «Давай часть семи и даже восьми, потому что не знаешь, какая беда будет на земле». Или «Но, когда делаешь пир, зови нищих, увечных, хромых, слепых, и блажен будешь, что они не могут воздать тебе, ибо воздастся тебе в воскресение праведных» . Это не сильно сочетается с бережливостью и экономией.
Не из Пифагоровой ли доктрины появилось утверждение: «Сребролюбие корень всех зол»?
Конечно, на самом деле человеческая природа проецируется на восприятие окружающего мира и его описание теми или иными средствами, а не наоборот. Возможно, математика была выбрана в качестве инструмента описания действительности из всего возможного их множества именно благодаря внутренним влечениям человеческой натуры к познанию, расчленению мира на составляющие. Однако формирование современной цивилизации уже шло именно под воздействием избранного способа познания. И, быть может, другие цивилизации (например, цивилизация Инков) развивались по другим принципам и законам, приходя к результатам, известным нам, другим путем и воспринимая мир по-другому.
Возможно ли альтернативное построение науки, а также иное восприятие объективной реальности? Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к некоторым историческим примерам.
Даже внутри самой математики могут существовать различные формы построения теории, иногда взаимоисключающие друг друга. Стоит лишь изменить основания, как все здание сразу перестроится. Ярким примером тому могут служить неевклидовы геометрии, такие как геометрия Римана или Лобачевского, появившиеся благодаря тому, что их авторы отвергли одну из аксиом, лежащих в основании привычной нам Евклидовой геометрии. Пятый постулат о единственности параллельной прямой, уже описанный выше, безрезультатно пытались доказать многие ученые в течение очень долгого времени. Но требовалось принципиально иное решение, нестандартный подход. Стоило отвергнуть привычную точку зрения, и получились принципиально новые геометрии, в которых через точку, не лежащую на данной прямой можно провести более одной прямой, параллельной данной, или вообще не провести ни одной. До сих пор не известно, какая же из геометрий отражает истинное положение вещей в пространстве.
История другого примера берет начало в незапамятные времена, в Древнем Египте, славящимся развитием науки и высокой цивилизацией. Там существовала школа писцов, верхом мастерства, которых было сложение обыкновенных дробей. Можно подумать, что люди тогда были глупее современного человека, так как мы учимся складывать дроби еще в шестом классе. Но на самом деле, математический аппарат тогда был настолько неудобен и тяжеловесен, что сложение дробей действительно превращалось в искусство, освоение которого под силу не каждому современному студенту ВУЗа. А это, несомненно, тормозило развитие науки.
Для того чтобы найти новый способ сложения дробей, человечеству пришлось сначала забыть старый, так как это знание препятствовало рождению принципиально нового подхода к решению проблемы. И на это ушли тысячелетия…
Кто знает, может быть много времени спустя, современный математический аппарат тоже будут вспоминать с улыбкой, решая в уме сложнейшие для нас дифференциальные уравнения, или перемножая мысленно десятизначные числа. А может быть, цивилизация изобретет себе другой язык для описания всевозможных явлений. Но это будет уже другая цивилизация.
И напоследок приведу принцип лингвистической относительности Сепира – Уорфа и основной тезис радикального конвенционализма Айдукевича.
Б. Уорф утверждал, что "сходные физические явления позволяют создать сходную картину Вселенной только при сходстве или, по крайней мере, при соотносительности языковых систем".
Айдукевич принцип радикального конвенциализма формулирует так:
«...Все суждения, которые мы признаем и которые составляют нашу картину мира, не являются еще однозначно детерминированными опытными данными, а зависят также от выбора понятийного аппарата, с помощью которого мы отображаем данные опыта. Мы можем, однако, выбрать тот или другой понятийный аппарат, вследствие чего изменится и вся наша картина мира. Это значит, что, пока кто-либо пользуется некоторым понятийным аппаратом, данные опыта заставляют его признавать определенные суждения. Однако... он может выбрать другой понятийный аппарат, на основе которого те же самые опытные данные не вынуждают его больше признавать эти суждения... Вместе с изменением понятийного аппарата меняются и проблемы, которые мы решаем, опираясь на те же самые опытные данные».