юному другу... как любителю оной
______________________________ 300-летию Леонарда Эйлера, посвящается
Привет, привет, мой друг!
Возможно, ты не забыл моего сообщения ещё в 1-ом письме о том, что я решил сочинить учебник по арифметике (с предварительным названием "Изящная арифметика"). Однако до сих пор я не определился насчёт того, с чего бы целесообразно начинать учебник, какими хорошо известными фактами относительно натуральных чисел можно было бы увлечь и тебя, и твоего ровесника, и вообще случайного читателя. В связи с этим я и надеюсь на твои отклики, в частности, хотя бы на некоторые мои письма из девяти предыдущих! (При этом, я предполагаю, что и ты, и любой другой будущий читатель моего учебника хорошо усвоил ещё в обычной средней школе арифметические действия: сложение, вычитание, умножение... включая их основные свойства). Кстати, я не забываю о своих обещаниях, данных тебе в моих письмах, и всё обещанное обязательно будет изложено и в следующих (открытых!) письмах, и в моём будущем учебнике, естественно.
Поскольку мои 1-ое и 2-ое письма были связаны с сообщением о теореме Ферма/Эйлера, мне пришлось использовать, в частности, основное свойство простого числа (под названиями "альтернативная делимость" и "признак простоты") без предварительного обоснования (так сказать, авансом). Более того, ещё тогда тебя и себя я "поставил на одну доску", предполагая о том, что нас в средней школе учили арифметике одинаково по одной и той же программе, и по одним и тем же учебникам. - Так что, если у тебя возникнут какие-нибудь существенные сомнения и даже возражения насчёт моих "выкрутас", тогда смело объявляй мне об этом, по возможности обращая моё внимание на соответствующую публикацию (книга, статья и т.п.) по арифметике. Я буду рад любому отклику от тебя, мой друг!
Итак, предположим, что моё 1-ое письмо - это как некое "введение", с которого будет начинаться мой учебник "Изящная арифметика". Тогда, продолжая изложение (сочинение) и приступая, скажем, к "1-ой главе" учебника, можно открывать её сразу же с Основной теоремы арифметики в традиционной формулировке о единственности разложения натурального числа в произведение простых чисел, или разложения, другими словами, на простые делители (множители) данного числа. При этом, для её доказательства достаточно привлекать лишь "формулу разложения (представления) целого числа в виде произведения (двух чисел) с остатком" (неточное деление) и элементарные свойства натуральных чисел, по мере необходимости. Поскольку "формула разложения с остатком" (деление с остатком) является как бы непосредственным обобщением понятия составного числа на основе тех же элементарных свойств натуральных чисел, можно сказать, что мною на будущее предполагается так называемое "прямое" доказательство Основной теоремы. Кстати, здесь хочется отметить, что я знаю лишь одно учебное пособие(*) по арифметике с прямым доказательством этой теоремы, в котором тоже используется только одно свойство простого числа, непосредственно вытекающее из определения его как простого: не быть составным числом (неразлагаемость).
Раложение натурального числа в произведение простых чисел иногда, для краткости, будем называть "полным" (или "конечным") разложением данного числа. При этом и любое простое число само по себе целесообразно рассматривать в качестве своего (полного, конечного) разложения, в котором единица оказалась как бы случайным и ненужным сомножителем (делителем).
В 8-ом письме было введено упорядоченное семейство простых чисел p<q<...<r, в котором каждое простое является делителем заданного натурального числа n (семейство простых делителей) и в котором содержатся все простые делители данного числа (полное семейство). Такое семейство простых делителей здесь и в дальнейшем будем называть "каноническим prima-спектром" данного числа n (под влиянием английских слов: prime number - простое число; и к тому же: spectre - призрак), или упрощённо "prima-спектром", когда распорядок делителей уже не будет иметь особого значения. (Каждому числу, имеющему лишь один-единственный простой делитель p, в 7-ом письме было дано название "метапростое от p"; см. 7-ой абзац.) К тому же, отметим: любой множитель из какого-нибудь разложения заданного числа n естественно является делителем числа n, и следовательно, каждый множитель полного разложения в качестве простого принадлежит prima-спектру данного числа по нашему здешнему определению.
Теперь с использованием всех наших понятий и обозначений можно предложить некий вариант формулировки Основной теоремы арифметики в рамках традиционного стиля.
Теорема (Основная теорема арифметики).
Каков бы ни был способ разложения на простые множители произвольно заданного составного числа n, весь prima-спектр числа n будет содержаться в искомом полном (конечном) разложении. И при этом, любой множитель, входящий в какое-либо полное разложение, принадлежит prima-спектру числа n, а количество возможных повторных появлений одного и того же множителя в каком-нибудь полном разложении также не зависит от способа разложения.
В качестве следствия, к примеру, получается вполне ожидаемый результат: любая "простая" степень p^j (простое p используется j раз в качестве множителя для произведения pp...p = p^j, когда j>1) является числом метапростым от p, поскольку в силу данной теоремы оказывается, что её prima-спектр и в самом деле состоит из одного-единственного простого делителя p (см. 7-ой абзац в 7-ом письме). Более того, можно говорить, что Основная теорема по существу утверждает единственность разложения на простые множители любого натурального составного числа, если учёт какого-либо порядка расположения множителей (делителей) в результате разложения не имеет значения для нас. К примеру, если такое (дьявольское!) число 666 из уже упомянутой книги(*) разложено: 6·111=(2·3)·(37·3), тогда мы, естественно, имеем: 2\666, 3\666, 37\666, 9\666, а в силу Основной теоремы можно не сомневаться в том, что это число не делится (без остатка) на числа 5,7,11,13,17,19,23, а также на 4=2·2 и 27=3·3·3.
Почти непосредственно (скажем, по индукции) можно, оказывается, доказать Основную теорему с помощью Леммы "о двух простых делителях одного числа", которая в качестве самостоятельного утверждения, да к тому же с прямым и весьма простым обоснованием, мне ещё не встречалась. И более того, из неё напрямую вытекает свойство альтернативной делимости простого числа, что можно легко увидеть здесь, в частности, и как побочный результат в процессе доказательства Основной теоремы.
Лемма (о двух простых делителях одного числа).
Пусть два различных простых числа s,t делят некое число n, тогда имеется и такая делимость n//st.
Если предположить, что n - наименьшее число, удовлетворяющее всем условиям леммы, и при этом оказалось n[/]st, тогда n<st. Иначе, разность n-st будет совершенно в той же роли числа n: s\n-st, t\n-st, n-st[/]st, но к тому же, обнаружится и противоречивое неравенство n-st<n. (Например, для чисел s=21, t=7, которые делят число n=42, имеет место неравенство n<st, но здесь s//t, - не удовлетворяется условие леммы о простоте числа s). Далее, если n<st, тогда окажется: n=sm<st, где m=n/s - некоторое натуральное число, и при этом 1<m<t (при m=1 оказалось бы n=s, и возникло бы противоречие s//t). В таком случае, поскольку здесь t - простое, при (нестандартном) делении его на число m (с учётом остатка) получается t=m[t/m]+{t:m}, где остаток {t:m} - некое натуральное число, удовлетворяющее неравенству {t:m}<m. В итоге, после умножения на число s появляются равенства s·t=s·m[t/m]+s·{t:m}=n[t/m]+s{t:m}, в которых число s{t:m}=st-n[t/m] оказывается в той же роли числа n относительно тех же его свойств: s{t:m}//s, s{t:m}//t и s{t:m}<st. И при этом получается противоречие: s{t:m}<n, из которого возможен лишь один "выход": n//st.
Лемма справедлива, и она почти непосредственно помогает доказать Основную теорему арифметики. Вновь будет возникать некий бесконечный "спуск", если мы будем предполагать, что Основная теорема неверна.
Пусть дано какое-нибудь полное (конечное) разложение числа n, которое начиналось с произведения n=uv, где u>1, v>1. Предположим, что некий простой делитель r из prima-спектра числа n (n//r) не обнаружился в данном (полном) разложении. Однако очевидно, что найдётся другой простой множитель (делитель) q, к примеру, из разложения числа v (v=qw; для нас допустимо, в частности, и само число v в качестве простого, q=v), который вместе с числом r образует такое произведение qr, что в силу Леммы оно делит n: qr\n. Таким образом, поскольку имеют место равенства v=qw, n=rqm, где w,m - некие натуральные числа, мы получаем: n=uv=u(qw)=rqm, где u,w в своих полных (конечных) разложениях тоже не содержат число r. После сокращения на число q появляется число uw=rm<n, у которого тоже имеется полное (конечное) разложение, не содержащее число r, но последнее всё же остаётся делителем и этого нового числа. Число uw=rm - тоже составное, поскольку невозможен такой случай: m=1 и как следствие w=1, u=r, что противоречит предположению о полном разложении числа n=uv, в котором не нашлось множителя r. Итак, можно и далее получать меньшее составное число, которое будет в той же роли предыдущего по отношению к простому r. Вот и вновь появляется бесконечный "спуск"! - Якобы существует ряд чисел, которые неуклонно-монотонно приближаются к единице и делятся на одно то же простое число! В силу такого противоречия не избежен вывод: любое полное (конечное) разложение числа n обязано содержать весь prima-спектр данного числа.
Теперь, пожалуй, мне можно надеяться на то, что любой читатель, хорошо разобравшись во всём вышеизложенном, сможет сам догадаться о том, почему каждый множитель полного (конечного) разложения находится в prima-спектре и количество его повторений в любом полном разложении одно и то же - независимое от способа разложения. Не правда ли, мой друг?...
Всего доброго и удачи тебе!
__________
(*) Г.Дэвенпорт. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел. // М.: Наука, 1965 (Впрочем, для знатоков, искушённых во всех тонкостях основных законов арифметики относительно умножения, сложения и вычитания имеется и весьма - пожалуй, самое-самое! - короткое прямое доказательство Основной теоремы в книге: Р.Курант, Г.Роббинс. Что такое математика? 3-e изд. - М.: 2001)
PS. Пожалуй, весьма желательно здесь сделать три замечания:
а) я надеюсь, внимательный читатель сможет сам убедиться в том, что "множитель из какого-нибудь разложения заданного числа n естественно является делителем числа n", если вспомнит "переместительный" и "сочетательный" законы чисел: ab=ba и a(bc)=(ab)c = a·bc=ab·c (см. 1-ое письмо), и уж по крайней мере он сможет доказать такое утверждение: "делитель делителя некоторого данного числа n тоже является делителем числа n" - например, число ab является делителем числа ab·c, а число b как делитель, в первую очередь, числа ab заодно делит и число ab·c постольку, поскольку в силу числовых законов имеют место равенства (ab)c=(ba)c=b·ac, а также имеются и такие: (ab)c=c(ab)=ca·b (круглые скобки обычно опускают, и нам тут тоже можно было бы, поскольку для посвящённых уже всё едино: abc=acb=bca=bac=cab=cba, а новичку такие равенства можно предлагать как лёгкие упражнения по обоснованию таких перестановок с учётом числовых законов);
б) в качестве усиления, обобщения Леммы (о двух простых делителях...) можно было бы предложить другое утверждение: "пусть два натуральных числа s,t делят некое натуральное n, но при этом, t - простое, которое не делит число s (s[/]t), тогда имеет место делимость n//st";
в) доказательство такой "новой леммы" из замечания б) почти не отличается от доказательства предыдущей (с двумя простыми делителями), но такое усиление (обобщение) позволяет намного упростить обоснование Основной теоремы арифметики (подробнее об этом в следующий раз).
г) можно также без особых усилий обобщить и "новую лемму" из замечания б) и назвать обобщение "теоремой о двух взаимно простых делителях..."!
Успехов тебе!