Медитация Теорика

ТЕОРИКА
Медитация о сущности и основаниях теорий

Фрагмент; всю книгу см. в http://vekordija.blogspot.com/2008/09/blog-post.html или в http://vekordija.narod.ru/R-NATUR1.PDF .


Кто я? Что я?
Только лишь мечтатель,
Синь очей утративший во мгле,
И тебя любил я только кстати,
Заодно с другими на земле.
Сергей Есенин

Написано: 1979.05 – 1979.11 Рига


1. О теорике
1979.08
(раньше на 1 год, 5 месяцев)

.410. Теорика – этим неизвестным, пожалуй, читателю словом с хорошо знакомым греческим корнем, словом, которым озаглавлена эта медитация, я называю размышления о том, как нужно излагать теории, или, если так можно выразиться, учение о теориях. Корень «theoreo» на языке первоисточника означает «наблюдаю». Теорику можно понимать как учение о том, как происходит наблюдение за миром и как нужно рассказывать о своих наблюдениях.
.411. Когда у меня появились свои мысли о том, что такое информация (несколько отличные от традиционных) и, значительно позже, о том, что такое числа, я потратил много времени, пытаясь изложить их по усвоенным еще в школе образцам в виде аксиом и теорем, то есть сделать аксиоматическое построение своих теорий. Оба раза у меня ничего не получилось, я на многие месяцы завяз в размышлениях о том, каковы же должны быть основания этих теорий, что принять за достоверное, а что доказывать, какие аксиомы избрать, почему именно такие, а не другие? Я много раз принимал очередную систему аксиом и через неделю от нее отказывался, потому что у меня не было решительно никаких несомненных доводов в пользу того, что аксиомы должны быть именно такими и что формулировать их нужно именно так, и не иначе.
.412. Трудности, правда не столь значительные, возникали и при менее строгих размышлениях по другим вопросам. Как передать читателю абсолютно точно свои мысли? Как бы я ни старался точно определить понятия, которыми оперирую, меня не покидало ощущение того, что выраженное в словах понятие расплывается, границы размазываются, четкость заволакивается туманом, что эти слова допускают разночтение, различное понимание.
.413. В конце концов я понял, что своих целей не достигну, если перед размышлениями по различным конкретным вопросам не поставлю основательное рассуждение о том, как вообще нужно излагать теории.
.414. Так появилась на свет теорика.
.415. Первоначально задуманная как одна цельная медитация, теорика разрослась до таких размеров, что мне пришлось выделить из нее отдельные вопросы и каждому посвятить целую медитацию. Таким образом, весь аппарат изложения теорий теперь описан в серии медитаций, из которых настоящая является вводной. Здесь я попытаюсь только поставить вопрос, сформулировать проблему и наметить общие пути ее решения, поразмыслить о том, с какой стороны вообще подступиться к проблеме, а конкретные ее решения оставлю для следующих медитаций.
.416. В этой серии медитаций я привожу аппарат изложения теорий развитым до такой степени, какая меня устраивает и в таком виде, в каком я им пользуюсь. Я излагаю этот аппарат полностью – как повторяя общеизвестные вещи, так и дополняя новыми. Здесь появится много неизвестных ранее понятий, и читатель вряд ли сможет их сразу запомнить, но, к сожалению, точное рассуждение невозможно без точных терминов, и я не могу ни сам опустить эти медитации, ни предложить Вам, читатель, их обойти.
.417. Наоборот, я советую Вам внимательно все это прочитать и запомнить приведенные здесь термины и приемы, если Вы, разумеется, желаете, вообще читать мои медитации. В конце концов терминов не так уж и много, но зато выигрыш огромный – даже меня поражает то удивительное сочетание завидной точности и небрежной легкости изъяснения, которое получается при последовательном их применении.
.418. Итак, задача настоящей и следующей медитаций – описать аппарат для ИЗЛОЖЕНИЯ теорий.
.419. Как правильно излагать конкретную или абстрактную теорию? Что такое вообще теория? Что такое основания геометрии, математики, вообще любой теории, откуда они берутся, как их строить, оценивать, сравнивать и почему именно так, а не иначе – вот тема этих медитаций.
.420. По традиции наиболее строгой теорией считается математика, а внутри ее по вопросам оснований наиболее показательна геометрия. К ним я и буду обращаться за примерами.

2. Метод Эвклида
1979.05
(раньше на 3 месяца)

.421. В 09669 – 09670 гг. Александр Македонский основал в завоеванном Египте город, который назвал своим именем Александрией и который с 09696 года стал столицей Египта, одного из государств, на которые раскололась огромная империя Александра после его смерти и в котором правил Птолемей, один из полководцев Александра, и его потомки. В этом городе ученик Аристотеля Деметрий Фалерский предложил царям Птолемеям построить мусейон (храм муз), в котором на полном содержании царей жили и работали бы лучшие ученые, философы и поэты тех времен. Цари согласились, и Александрийский мусейон навеки прославил имя нового греческого города в Египте. В веке 09700 в нем рядом с Архимедом и другими столь же знаменитыми мужами работал отец геометрии да и, пожалуй, всей математики великий Эвклид (Eukl;id;s, точные даты рождения и смерти неизвестны, примерно 09670 – 09725).
.422. В тихих стенах храма муз Эвклид написал сочинение, которое более двух тысяч лет считалось непревзойденным образцом логической строгости и математической точности, несомненным примером для подражания. Это были «Начала» геометрии. В них впервые с ослепительной яркостью и неуклонной последовательностью был применен тот подход к изложению теории, который до сих пор считается наиболее точным и строгим и называется аксиоматическим методом.
.423. В начале изложения Эвклид устанавливает соответствие между некоторыми основными понятиями и словами, их обозначающими («прямая есть длина без ширины» и т.д.). Он называет это определением так же, как и дальнейшие подобные операции установления соответствия между словами и понятиями, хотя между этими первыми и дальнейшими определениями имеются значительные различия, например, эти первые определения не используются нигде в доказательствах.
.424. Далее Эвклид, используя объявленные в первых определениях понятия, без доказательства провозглашает истинность некоторых основных положений, которые он разделяет на две группы: постулаты, провозглашающие конструктивные возможности построения геометрических объектов («требуется, чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность» и т.д.), и аксиомы, провозглашающие очевидные соотношения между объектами («и целое больше части» и т.д.).
.425. Все дальнейшие положения называются теоремами, уже не принимаются на веру, а доказываются из аксиом, постулатов и определений путем строгого логического рассуждения. Таков аксиоматический метод Эвклида. [*1]

[*1 2008.09.01: Когда я в 1979 году писал этот текст, я собственно «Начал» Эвклида еще не видел и не изучал, а руководствовался тем представлением, которое считалось «общеизвестным», а лично мне было известно со школьной скамьи и потом подтверждалось несчетным количеством прочитанных книг. Как и многих других рационалистически настроенных людей, меня уже в школе очаровывал «аксиоматический метод» и казался вершиной логического подхода. Так оно в общем-то и есть, но только потом я обнаружил, что тут возникают и некоторые трудности, из-за которых и пришлось писать «Теорику». Что же касается собственно Эвклида, то личное прочтение его «Начал» (и богатых современных комментариев к ним) показало мне, что вообще-то Эвклид НЕ создал аксиоматического метода (в современном его понимании). В начале своего труда Эвклид действительно дает ряд аксиом и постулатов, но, во-первых, они настолько примитивны, что из них ну никак не может вытекать вся геометрия, и, во-вторых, в доказательствах своих теорем Эвклид ни разу не упоминает свои аксиомы и постулаты и никак не опирается на них. Читателю, который бы просто читал текст Эвклида, было бы совершенно непонятно, зачем, собственно, эти аксиомы и постулаты введены. И только читая комментарии, мы узнаем, зачем это было сделано. Оказывается, дело обстояло так. В то время в греческих городах «свирепствовали» так называемые софисты, которые за деньги брались доказывать или опровергать любой тезис. И, видимо, из-за (обычной) людской зависти к разуму, находилось немало богачей, которые ради своего удовольствия платили софистам, чтобы посмотреть, как те будут опровергать геометров. И геометрам пришлось сражаться с софистами. И вот тут-то они и разработали «аксиоматический метод» (не в современном, а в древнем смысле). Они ввели аксиомы как такие положения, которые в греческом обществе считались очевидными («целое больше части» и т.п.). Если софист попытался бы оспорить такую аксиому, то зрители его просто высмеяли бы, и он оказался бы проигравшим. А чтобы софисты не могли пользоваться такими аргументами, как то обстоятельство, что реально-то невозможно чертить прямую сколь угодно далеко и рисовать круг любого радиуса, – для этого геометры ввели постулаты, которые представляли собой предварительную договоренность со зрителями: будем считать, что (в принципе) МОЖНО через любые две точки провести прямую, вокруг любой точки обвести круг любого радиуса и т.д. И посмотрим, что ТОГДА получается! Древние геометры не использовали аксиомы и постулаты в доказательствах своих теорем (во всяком случае явно не упоминали, если их положения скрыто и подразумевались), но они (уже открыто, в явном виде) использовали аксиомы и постулаты для разрушения нападок на их теоремы. Так обстояло дело с «аксиоматическим методом» при Эвклиде, если разобрать дело более точно. А в большинстве современных книг об этом деле рассказывается упрощенная легенда, в общем-то не соответствующая действительности.]

.426. С тех пор во всякой строгой и точной теории есть аксиомы (или постулаты), есть определения, есть теоремы и есть их доказательства. Что это? Единственная возможная форма строго логического изложения теории или просто дань образу мышления великого грека? Непременно ли во всякой строго изложенной теории должны быть аксиомы, определения, теоремы и доказательства, или же может быть столь же строгая теория, в которой фигурируют совсем другие объекты?

3. Поправки Гильберта
1979.05

.427. В 1899 году 37-летний профессор Геттингенского университета, уроженец Велау близ Кенигсберга, Давид Гильберт (Hilbert 1862–1943) опубликовал книгу «Основания геометрии» [*2], в которой несколько изменил систему аксиом Эвклида и предложил методы проверки систем аксиом на непротиворечивость, независимость и полноту, основанные на (умственной) «реализации» или «интерпретации» системы аксиом. Он упрекал Эвклида в недостаточно последовательном применении аксиоматического метода, достоинства же самого метода не были ни в малейшей мере им поставлены под сомнение и он, так же как Эвклид, даже не ставил вопрос о том, откуда, собственно, берутся основания теории, сам аксиоматический метод и почему именно он лучше всех других методов изложения теории.

[*2 Hilbert David. «Grundlagen der Geometrie». 1899.]

.428. Гильберт отбросил попытки Эвклида хоть что-то сказать о первичных объектах и ограничился простым их объявлением (вместо «длины без ширины» говорил «мы полагаем, что имеются известные объекты, обозначаемые словами точка, прямая» и т.д.). Он отбросил эвклидово деление основных положений на постулаты и аксиомы и ввел новую группу аксиом для формализации представлений о взаимном расположении объектов («лежит между»), которые Эвклид не считал нужным оговаривать в аксиомах, приравнивая их, таким образом, правилам логики. При помощи своего метода «интерпретации» геометрических объектов числами Гильберт доказал непротиворечивость его аксиом (если только непротиворечива арифметика), взаимную независимость их и полноту (в случае непрерывности пространства). Почти все математики мира согласились, что построение оснований геометрии после Гильберта можно считать завершенным (впрочем две тысячи лет почти все математики мира считали, что оно завершено уже после Эвклида).
.429. Система Гильберта действительно несколько стройнее системы Эвклида (естественно: она же создавалась более, чем на 2100 лет позже). Но у всякого, кто внимательно изучал систему Гильберта, другие системы аксиом и пытался сам сделать аксиоматические построения, неизбежно появляются многочисленные вопросы.
.430. Существенны ли поправки, внесенные Гильбертом? Теперь все оговорено и нет упущений такого же рода, в каких обвинялся Эвклид? Взглянем на первые две аксиомы Гильберта:
.431. 1) Каковы бы ни были две точки А, В, существует прямая а, проходящая через каждую из точек А, В.
.432. 2) Каковы бы ни были две различные точки А, В, существует не более одной прямой, которая проходит через каждую из точек А, В.
.433. До аксиом объявлено, что известно, что такое «точка», что такое «прямая» и что такое «проходит через». Но что такое «существует»? Как отличить, когда две точки различны и когда нет? Что такое «две»? Что такое «не более одной»? Почему о «проходит через» нужно объявлять, а об этих вещах не надо? В чем принципиальная разница между ними? Почему точки можно обозначать буквами?
.434. Возьмем первую теорему: «Две прямые имеют не более одной общей точки». Доказательство: «Предположим, что они имеют две общие точки А и В, тогда две прямые проходят через эти точки, что противоречит второй аксиоме». Почему после этого краткого рассуждения теорема стала достоверней? В чем суть доказательства? Почему из того, что две прямые «имеют две общие точки А и В» следует, что они обе «проходят через эти точки»? Может быть оба эти предложения – лишь выражение разными словами одного и того же факта и тогда ничего ни из чего и не следует? А если следует, то на каком основании, почему это основание не оговорено, и есть ли принципиальная разница между этим основанием и тем основанием, на котором Эвклид ссылался на наглядность рисунка, оперируя такими понятиями как «лежит между», «по ту сторону», «по эту сторону»?
.435. Где критерий того, что нужно оговаривать и что не нужно, можно ли вообще все оговорить и если нет, то в чем принципиальная разница между тем, что не оговорил Эвклид и тем, что не оговорил Гильберт?

4. Проблема оснований
1979.05

.436. Я считаю, что система Гильберта не отличается принципиально от системы Эвклида. Он лишь немножко перенес границу того, что нужно и что не нужно оговаривать, но не изменил в корне всю идеологию Эвклида, весь его взгляд и подход к геометрии, к математике, к построению абстрактных наук.
.437. В то же время проблема таких оснований, в каких сегодня, как никогда раньше, нуждается не только геометрия, но и вообще вся математика, и не только математика, но и вообще все абстрактные науки, проблема таких оснований не только не решена, но и даже не поставлена.
.438. В свете тех проблем, которые встают при обосновании теорий, улучшения Гильберта выглядят как мелкие, второстепенные поправки. Ну какая, собственно, разница как ввести понятие прямой и назвать ли этот ввод понятия определением или никак не назвать? Конечно, у Эвклида не оговорено, что такое «лежит между» и тем не менее это понятие используется в доказательствах. Но разве у Гильберта теперь все оговорено? Разве вообще можно все оговорить? Разве точно так же, как Эвклид использовал молчаливое соглашение о том, что ясно, что такое «лежит между», Гильберт не использует молчаливые соглашения о том, что известно, что такое «две», «различные», «существует» и т.д. Разве не используются молчаливые соглашения по логике, по тому, что из чего следует?
.439. Почему лучше аксиоматическое изложение, чем неаксиоматическое, и лучше ли вообще? Почему одни теории удается аксиоматизировать, другие нет? От чего это зависит? Откуда взялись аксиомы, теоремы, определения, единственный ли это возможный способ строгого изложения? Что такое аксиома? Почему порой так трудно отличить определение от аксиомы, аксиому от теоремы? Почему, собственно, аксиомы не надо доказывать, а теоремы надо? В чем состоит доказательство? Почему доказанная теорема лучше недоказанной? Истина при доказательстве стала более истинной? Что очевидно и что нужно доказывать, где граница, где критерий? Одному аксиома не очевидна, другому теорема очевидна! Почему для одной и той же теории можно строить столь разные системы аксиом, и все они верны? Значит, во всем этом нет ничего объективного?
.440. Каждому, кто сам пытался построить такую аксиоматическую систему, хорошо известно, сколь все это зыбко, как все это плывет, и ни за что не уцепиться. Что считать достаточно строгим основанием? Почему эту аксиому считать более фундаментальной, чем ту? Когда считать, что опустился уже достаточно глубоко и можно начинать строить здание теории, и когда считать, что нужно еще искать более прочный фундамент? Наверное всякий, кто пытался опуститься к фундаментам могущественных зданий абстрактных теорий, испытывал ощущение, что все эти изощренные постройки, с абсолютной точностью доказывающие любую мелочь там, наверху, стоят на зыбучем песке, а песок этот плавает в воде, а вода висит в воздухе...

5. Сущность теорий
1979.06
(через 1 месяц)

.441. Где искать ответы на все эти вопросы, куда смотреть, за что уцепиться?
.442. Естественно в этой ситуации взглянуть на теорию «сверху», разобраться в том, что такое вообще теории, в чем их сущность, откуда они взялись.
.443. «Под аксиоматической теорией понимают систему из двух множеств высказываний Т и W, одно из которых W содержит второе Т. Множество W состоит из высказываний, которые имеют смысл в рамках данной теории, а множество Т – из высказываний, которые рассматриваются в ней как истинные и доказуемые» – вот типичный пример традиционного определения теории, взятый мною из одного учебника. [*3]

[*3 Нечаев В.И. Числовые системы. «Просвещение», 1975, с.43.]

.444. После того, как тот же Гильберт провозгласил свою программу полной формализации языка науки, появилось много работ, посвященных аксиоматическим теориям, но, насколько могу судить я, далекий от того, чтобы считать себя специалистом в этой области, все они в той или иной мере страдают болезнью приведенной выше цитаты, так как нигде я не мог найти то, что жаждал услышать, не мог получить тот ответ, который так искал.
.445. Для меня совершенно неприемлем подобный подход к сущности теории. Что это за высказывания? Кто их произносит? Зачем? Кто и как проверяет их истинность?
.446. Нет, я исхожу из совершенно другой концепции теории. Моей отправной точкой служит та простая идея, которая с железной логикой вытекает из материалистического мировоззрения и на которой я еще не раз буду основывать свои рассуждения – а именно: полное убеждение в том, что всякая теория в конце концов является отражением реального мира в головах людей.

6. Идея отражения
1979.06

.447. Я пришел к выводу, что все эти вопросы может решить только теория отражения, объясняющая материалистически, как вообще происходит человеческое мышление. Только она может объяснить, что такое теория и как ее надо строить. Но, чтобы изложить теорию отражения, я должен был бы использовать многие ее же выводы и многие выводы других теорий, требующих обоснование теорией отражения. Таким образом я попал в заколдованный круг и, чтобы вырваться из него, я вынужден здесь изложить теорию отражения совершенно неформально, неточно, приблизительно, лишь в самых-самых общих чертах, надеясь, что когда-то в будущем я ее изложу, пользуясь ее же выводами, гораздо более точно.
.448. В этих самых-самых общих чертах теория отражения выглядит так: есть огромный безбрежный океан материи. Посреди его стою я – кусочек мыслящей материи, островок разума. Где-то неподалеку стоите Вы, мой читатель, – другой такой же островок разума, рядом еще другие островки – люди. Они, эти островки разума, рождаются, растут, живут и гибнут; вся их деятельность – это процесс, и все, что в них происходит, – это также какие-то процессы.
.449. Что бы ни происходило в них, в общем и в целом любая теория, любые воззрения, мышление вообще, есть отражение, отображение океана материи в эти островки разума. Это самое основное, самое фундаментальное положение теории отражения, и отсюда уже следует дальнейшее: какой бы ни была теория, она создается в процессе отражения, она должна иметь конечный объект вне островка в этом океане материи – иметь тот объект, который, собственно, она отражает, и этот объект должен быть материальным, частью отражаемого океана, а не какими-то абстрактными понятиями, в противном случае и речи не может быть о том, что данная теория окончательно обоснована.
.450. Далее, никакая теория не может «существовать вообще», непонятно где, витать в воздухе. Существует только теория в виде отражения в одном островке, похожее отражение в другом островке, и нет теории «вообще», есть только эти конкретные отдельные отражения. И эти отражения для передачи через океан материи из одного островка разума в другой могут быть закодированы на бумаге или на другом материальном носителе.
.451. Далее, в каждом отдельном островке существует на самом деле только одно общее отражение океана материи, и все границы отдельных теорий весьма условны. Только в рамках этого общего отражения и можно говорить об отдельных теориях.
.452. Итак, из концепции, идеи отражения следует, что:
.453. 1) теория суть отражение материального мира и должна рассматриваться как соответствие объектов материального мира и чего-то в голове человека;
.454. 2) отражение – это процесс, и теория должна рассматриваться в динамике процесса отражения;
.455. 3) конечными объектами теории должны быть объекты материальные, а не абстрактные;
.456. 4) отражают отдельные люди, и теория должна рассматриваться как множество отдельных отражений, а не как теория вообще;
.457. 5) люди отражают материальный мир вообще, а отдельная теория должна рассматриваться как подмножество этого отражения с весьма произвольно проведенными границами.
.458. Новая теория создается так: в каком-то островке автор строит свое отражение какого-то куска мира, какой-то части океана материи. Потом он излагает свою теорию, то есть кодирует на бумаге (или другом носителе), передает в другие островки, и те воспроизводят это отражение более или менее точно. Отсюда следует, что создание всякой теории нужно рассматривать в трех АСПЕКТАХ СОЗДАНИЯ ТЕОРИИ:
.459. 1) ПОСТРОЕНИЕ ее – то есть, создание отражения в голове автора, впервые;
.460. 2) ИЗЛОЖЕНИЕ ее – то есть, кодирование на носителе-посреднике;
.461. 3) ИЗУЧЕНИЕ ее – то есть, воспроизведение (по закодированному изложению) другими людьми.
.462. Разумеется, изучающий может потом перестроить что-то в теории или достроить заново какой-нибудь кусок ее и это опять закодировать на бумаге, после чего любой, в том числе и первый автор может стать изучающим, и так может продолжаться как угодно долго в любых переплетениях, но это ничуть не меняет основную схему теории отражения: нет и быть не может теории вообще, обитающей невесть где, в божественном или общественном сознании, есть только отражения конкретного куска мира в головах конкретных людей и кодированные изложения этих отражений на бумаге, в звуковых волнах воздуха, в магнитофонных записях, в кинопленках и других материальных носителях.
.463. Реально отражение в голове каждого человека представляет собой безнадежную смесь представлений, построенных им самим в роли автора и воспроизведенных им в роли читателя, это отражение непрерывно меняется, любой человек может часть своего отражения описать, закодировать независимо от того, построил ли он это сам или воспроизводил по описаниям; читателей описания может быть сколько угодно и т.д.

7. Надежность оснований
1979.06

.464. Я почти уверен, что Вы, мой читатель, особенно, если Вы настроены материалистически, благосклонно восприняли основную идею теории отражения и говорите про себя: «Да, да, это так, только в этом нет ничего нового, кто же не знает, что это так, все ведь знают!». Несомненно, подобные представления, может быть не столь отчетливо сформулированные, сопровождают нас уже со школьной скамьи. И тем более поразительно то, что этот подход, подход теории отражения, практически не используется при рассуждениях о теориях и о том, как их надо строить.
.465. Возьмем в качестве примера математику – образец строгой теории. «Математика начинает с понятия числа» – такое выражение столь привычно, что еще сегодня утром вряд ли вызвало бы у Вас, читатель, какие-либо возражения. Но стоит вспомнить о тех идеях теории отражения, о которых мы только что говорили, чтобы убедиться, что это выражение никак с ними не совместимо. Что за «понятие числа», когда всякая теория должна иметь объект в виде куска материального мира? Мир что ли состоит из электронов, протонов, нейтронов и чисел? Где существуют эти числа? Там, в океане материи, или в островках отражения? В одном, во всех? Или на бумаге и других носителях? Что за «математика» и как она «начинает»? Где она находится и где она начинает: в книгах ли? В островках отражения? В одном? Во всех? Когда она начинает?
.466. Я не хочу критиковать математику. Я только хочу Вас предупредить, мой читатель, – не спешите согласиться с идеей отражения – из нее очень многое вытекает. Но уж если Вы согласились с ней, то будьте готовы разрушить очень и очень многие как будто бы понятные и естественные представления! Я только хочу, чтобы Вы как можно лучше поняли, в чем суть того подхода, о котором я Вам толкую, в чем состоит его новизна.
.467. В предыдущей главе я по пунктам изложил пять следствий идеи отражения. Насколько мне известно, ни в одном разделе математики, ни в содержании теории, ни в методах ее изложения, никогда не соблюдается ни один из перечисленных там пунктов:
.468. 1) ни один из математических объектов (чисел, множеств, точек, прямых и т.д.) никогда не рассматривается как пара двух объектов, один из которых (отражаемый) находится в реальном мире, другой (отражающий) – в голове человека;
.469. 2) все математические объекты (например числа, функции и т.д.) обычно рассматриваются как данные раз и навсегда, как существующие «вообще», полностью игнорируя динамику процесса отражения;
.470. 3) ни один из математических объектов, начиная с самых фундаментальных, – таких как множества, числа, точки, прямые, – не является объектом материальным;
.471. 4) все математические объекты (например числа, функции и т.д.) всегда рассматриваются как существующие «вообще», а не как множество объектов во многих отдельных головах людей;
.472. 5) математика не рассматривается как подмножество, часть общего отражения мира, не имеющая принципиального отличия от его остальной части. Нет единых принципов и методики для рассуждений о любом отражении от феномена зрения до высшей математики. «Математика – это замкнутый в себе микрокосмос» – любят говорить математики. По представлениям теории отражения нет и быть не может «замкнутой в себе теории», любая теория – это часть общего отражения мира в головах конкретных людей. Не попытки ли математиков «замкнуться» в значительной степени повинны в том, что дела с основаниями математики обстоят так плохо?
.473. «При строгом создании математической теории приходится опираться на другие теории и пользоваться теми или иными способами рассуждений и средствами передачи этих рассуждений. Такие теории и способы рассуждений явно или неявно предполагаются более надежными, чем та теория, которая строится. Надежность такой основы, очевидно, относительна, так как сразу возникает проблема обоснования используемых средств. Надо заметить, что какой бы ни была «надежной» основа математической теории, наступает момент, когда «надежность» этой основы перестает удовлетворять математиков» – это я прочитал в учебнике (Нечаев, Числовые системы, с.4).
.474. Обычно в качестве такой «надежной» основы избирается логика – различные «достоверные» конструкции. Я в качестве такого более «надежного» и более фундаментального, чем все абстрактные теории, положения избрал глубочайшее убеждение в истинности материалистического представления о том, что какой бы ни была теория, она является частью отражения материального мира в материальной голове человека, и что из этого надо исходить, что здесь начало всех начал и что все основания, все рассуждения, все доказательства, все методы построения и формы изложения должны идти отсюда, а все попытки «замкнуться в себе» обречены на неудачу.

8. Теория множеств
1979.07
(через 1 месяц)

.475. Итак, я положил в основу своих рассуждений идею отражения, из которой следует, что теория должна рассматриваться, во-первых, как соответствие объектов действительности и их отображений в голове человека и, во-вторых, как процесс, в котором такие соответствия создаются. Теперь я эти два положения рассмотрю более крупным планом: первое – в размышлении о том, что такое множество, второе – в рассуждении о сути алгоритма.
.476. Пожалуй не будет далеким от истины утверждение, что и традиционная теория множеств является в основном аппаратом для построения других теорий; я же рассматриваю ее исключительно как средство изложения различных теорий.
.477. С тех пор, как 29-летний уроженец Петербурга, немецкий математик Георг Кантор (Cantor 1845–1918) в 1874 году прославил свою теорию множеств, нет идей, более повлиявших на формирование математической мысли. С теорией множеств мы теперь встречаемся буквально во всех областях науки (правда, уже в логике Аристотеля много от теории конечных множеств).
.478. Такая популярность теории множеств, очевидно, вызвана фундаментальностью, глубиной ее методов и самого подхода или, если сказать то же самое точнее – близостью ее методов к тому, как на самом деле происходит отражение человеком реального мира, то есть мышление. В свете этого нет ничего удивительного в том, что и в моих медитациях разные множества и всякие их переплетения играют огромную роль.
.479. Я мог бы просто сослаться на теорию множеств, и эти рассуждения стали бы лишними, если бы общепринятая, традиционная теория множеств меня устраивала. Но, как видите, это не так.
.480. В традиционной теории Кантора и его многочисленных последователей основное внимание уделяется бесконечным множествам, а изучение конечных множеств считается тривиально простым. Я же настойчиво избегаю встреч с бесконечным, потому, что подобные рассуждения мне кажутся лишенными достаточной точности. Да простят меня математики всего мира, но разговоры о том, что в бесконечном числе бесконечных множеств столько же элементов, сколько и в одном из них, где-то в глубине души я все же считаю столь же глубокомысленными, как и рассуждения о том, сколько ангелов поместятся на острии иглы.
.481. Но, разумеется, не своим отношением к бесконечности традиционная теория множеств меня не устраивает. Я нахожу ее рассуждения недостаточно точными (наиболее ярко результаты этой неточности проявляются в знаменитых парадоксах) и, хотя из всех абстрактных теорий она наиболее фундаментальна, то есть, наиболее точно отражает действительную сущность мышления, но все же далека от истины, и надо сделать ее еще более фундаментальной, то есть, еще более приблизить ее методы и категории к действительному положению вещей процесса мышления.
.482. Теория множеств с моей точки зрения содержит все то наиболее общее, что присуще всем теориям, и именно поэтому может служить аппаратом их построения. Но, с другой стороны, из этого же следует, что сама теория множеств будет тем лучше создана и описана, чем точнее она будет соответствовать тому, как на самом деле происходит построение теорий.

9. Концепции множества
1979.07

.483. Понятие множества, это фундаментальное и неопределяемое понятие я также начал рассматривать в свете идеи отражения. В традиционной теории множеств можно рассуждать о каких только Вам вздумается множествах (считая их существующими), к примеру о множестве всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента. Такой подход меня ни в коем случае не устраивал, я считал нужным при рассуждениях о множествах учитывать динамику построения теории автором, динамику ее кодировки и дешифровки, проблему достижения взаимопонимания между автором и читателем.
.484. Передо мной предстали три концепции множества, согласованные с идеей отражения, и долгое время я был похож на буриданова осла в бессильном колебании между ними. Вот эти три концепции:
.485. 1) Первую концепцию множества можно выразить аксиомой: Если существуют а(1), а(2), ..., а(к), то существует также объект A, называемый множеством объектов а(1), а(2), ..., а(к). Таким образом, достаточно при построении теории объявить о существовании каких-то первоначальных объектов (например атомов), чтобы отсюда автоматически вытекало существование бесконечно многих всевозможных множеств, подавляющее большинство которых теории никогда не понадобится. Автору для получения права рассуждать о множестве нужно лишь убедиться в его существовании путем доказательства существования всех его элементов.
.486. Эта концепция имеет то преимущество, что множества – объекты теории – рассматриваются как существующие до начала построения теории, то есть как объективные, не зависящие от хода ее построения, от автора, читателя; находятся вне их, в реальном мире, то есть они – полноправные, настоящие объекты. Но, с другой стороны, весьма странным является то обстоятельство, что какие бы причудливые множества мне не вздумалось взять (например, множество из графина, множества трех крысиных хвостов, пустого множества и одного атома из недр Юпитера), они оказываются (какое счастье!) заранее существующими. Так не лучше ли считать, что это я сам построил это множество (как и все остальные), а изначально существуют лишь исходные объекты (например, атомы)? Кроме того, при этой концепции не очень четко видна незаконность рассуждений о множествах, содержащих себя в качестве элемента, приходится специально оговаривать, что существование элементов не должно зависеть от существования множества.
.487. 2) Эти вопросы очень просто и естественно решаются при концепции множества, согласно которой множества создаются в ходе построения теории из первоначальных и ранее построенных объектов. Множество, содержащее себя в качестве элемента, тогда просто-напросто невозможно построить из-за «нехватки стройматериала», а причудливые множества полностью ложатся на совести того, кто их построил. Но возникают новые трудности. Как это автор теории одной только мыслью может построить что-то в реальном мире, да еще, может быть, в масштабах галактик на удалении миллиардов световых лет? И если построил множества автор, то что же делает читатель? Уже только изучает готовые множества, что ли? Но ведь действия их обоих столь похожи. Не лучше ли считать, что каждый из них что-то строит только у себя в голове?
.488. 3) Согласно третьей концепции, в реальном мире существуют только первоначальные объекты, автор и читатель же в своих головах строит отражение этих первоначальных объектов, а потом и множества из них. Но тогда лес – множество деревьев – существует только в моей голове, и я не имею права говорить, что страну покрывает лес, что во Вселенной существуют галактики – множества звезд – и т.д.: там существуют атомы, и только атомы. Так не лучше ли все-таки считать, что множества существуют в реальном мире, а я лишь строю их отражения, то есть, вернуться к первой концепции?
.489. Но если множества существуют в реальном, материальном мире, то где динамика построения теории, где соответствие отражаемого и отражения в головах отдельных людей, откуда появляются абстрактные множества?...

10. Универсалии
1979.08
(через 1 месяц)

.490. И вот, я до потери сил крутился в этих трех концепциях, и единственным результатом из всего этого было то, что я стал лучше понимать грандиозный спор средневековья – спор об универсалиях.
.491. Тысячелетний спор о том, что такое общее и что такое единичное, и как они соотносятся, был начат на родине философии двумя афинянами и учениками невозмутимого Сократа (Sokrates 09531/09532 – 09602). Основатель школы киников Антисфен (Antisthenes ок. 09565 – 09621) утверждал, что общее – лишь слово, а существуют только единичные вещи. Основатель Академии Платон (Platon 09573/09574 – 09653/09654), который был на 8 лет моложе Антисфена, положил начало противоположному мнению, утверждая, что общее существует реально в виде архитипов – идей из «потустороннего» мира.
.492. Но особенно ярко спор загорелся в средние века после того, как переселившийся во Францию и опекаемый королем Карлом Лысым ирландец Иоанн Скот Эриугена (Johannes Scotus Eriugena ок. 0810 – ок. 0877) положил начало течению реалистов, в духе Платона утверждавших реальность общего (универсалий) в виде духовных прообразов отдельных вещей, а уроженец того самого французского городка Компьень, где спустя 900 лет Эрцбергер в 1918 году подписал акт капитуляции Германии перед Францией, а в 1940 году Петен – Франции перед Германией, каноник кафедрального собора (то есть, член совета духовных лиц при епископе) Иоанн Росцелин (Roscellinus ок. 1050 – ок. 1120) основал течение номиналистов, утверждавших, что универсалии, то есть общее – лишь знаки и символы, создаваемые людьми.
.493. С тех пор каждый уважающий себя философ считал своим долгом высказать свое мнение по поводу того, что же такое общее в вещах.
.494. Итак, где же существует общее (множества) – в реальном мире или в нашем воображении?
.495. Разумеется, я прекрасно понимал, что на самом деле различия между описанными выше тремя концепциями множества совершенно непринципиальны, то есть, никакие дальнейшие выводы теории не будут зависеть от выбора концепции, будет отличаться лишь форма, лишь слова. Но все-же, какую форму избрать?
.496. В конце концов я решил поступить так, как Вы это видите – описать вкратце перед Вами все три концепции, а в дальнейшем рассказ по форме строить так, что в реальном мире в общем-то существуют только объекты первоначальные (например атомы), а автор в ходе построения теории создает у себя в голове отражающие объекты, соответствующие этим первоначальным, а потом и отражающие объекты, связанные с целой группой ранее построенных отражающих объектов (третья концепция), и тем самым этот новый отражающий объект соответствует целой группе первоначальных объектов, то есть он тем самым построил множество в реальном мире (вторая концепция).
.497. Итак, о множествах я буду рассуждать с точки зрения второй концепции – автор, а потом и читатель, каждый строит свои множества (из одного и того же исходного, первичного «стройматериала»), существующие после построения в реальном мире, но отдавать себе отчет ясно в том, что физически это построение множества есть построение отражающего его объекта в голове автора (или читателя). Множество и его отражение строятся одновременно, невозможно построить множество, не создав его отражение; построение отражения означает создание множества. Существует множество – это значит: существует его отражение; нет отражения – нет и множества. И, следовательно, нельзя рассуждать о множестве вообще, а только о множестве, построенном кем-то.
.498. Если говорить образно, то множество (в моем понимании) – это множество (в классическом понимании) материальных (обязательно материальных!) объектов, о которых кто-то думает (то есть построил их отражение). Такова в первом приближении моя концепция множества (в первом приближении потому, что в дальнейшем я, отправляясь от этого первичного понимания, введу все более абстрактные множества).

11. Алгоритмическая теория множеств
1979.07
(раньше на 1 месяц)

.499. Из этой концепции множества вытекает, что нельзя говорить о множестве вообще, нужно знать кем, когда и каким образом множество построено. Каким образом построено – это определяется, во-первых, набором тех приемов, действий, которыми множество создавалось и, во-вторых, совокупностью тех объектов, над которыми эти действия проводились. То, что определяет набор действий, я в согласии с традицией называю АЛГОРИТМОМ, а совокупность объектов, над которыми проводились эти действия по данному алгоритму – МАТЕРИАЛОМ. Того, кто множество строит, я называю СУБЪЕКТОМ.
.500. Согласно этой концепции, всякий, кто рассуждает о каком-нибудь множестве, должен ясно отдавать себе отчет в том, каким субъектом, по какому алгоритму и из какого материала множество построено.
.501. Теорию множеств, основанную на этой концепции, я называю АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ ТЕОРИЕЙ МНОЖЕСТВ.
.502. Можно отметить три главных отличия традиционной и алгоритмической теорий множеств (или три причины, по которым традиционная теория меня не удовлетворяет):
.503. 1) В традиционной теории множества рассматриваются как нечто извечно существующее, как объекты, которые только подвергаются изучению теорией и, если даже иногда можно встретить высказывания вроде «построим множество...», то это все же далеко не то, что требуется. В алгоритмической теории множество, прежде, чем начать существовать, должно быть кем-то построено (автором или читателем). Неразличение множеств, построенных разными лицами, есть первый источник неточности традиционной теории.
.504. 2) В алгоритмической теории множества (объекты теории) создаются в определенном порядке из ранее созданных объектов. Множество не может быть построено раньше, чем построены все его элементы. Неразличение порядка построения объектов есть второй источник неточности традиционной теории (непосредственно приводящий к парадоксам).
.505. 3) В традиционной теории множество задается либо перечнем элементов, либо указанием признака принадлежности к множеству. В алгоритмической теории множество задается алгоритмом его построения, но нужно различать множества, уже построенные и множества, которые еще только могут быть построены, поскольку известен алгоритм. Неразличение этих вещей есть третий источник неточности традиционной теории.
.506. В общем можно сказать, что традиционная теория рассматривает множества в статике извечно существующих множеств, а алгоритмическая теория – в динамике построения теории. Теория множеств мне нужна не сама по себе, а как средство изложения той или иной теории, и я рассматриваю ее в процессе создания этой теории. Построение множества, как легко понять, на самом деле есть образование нового понятия в этой теории.

12. Концепция теории
1979.08
(через 1 месяц)

.507. Теперь настало время подвести первые итоги, объединить идею отражения с концепцией множества и принять такое представление о теории, которым я впредь буду руководствоваться вместо идеи о двух множествах осмысленных и истинных высказываний {.443}.
.508. Я рассматриваю образование множества как основной, центральный акт отражения. Образование множества (то есть, согласно принятой концепции, одновременно образование множества в реальном мире и отражающего объекта в голове того, кто отражает) я впредь буду называть одним словом ВЫБОРКОЙ (из всех существующих ранее объектов актом выборки выбираются некоторые и в дальнейшем рассматриваются как новый единый объект: множество выбранных объектов – отсюда слово «выборка»).
.509. Того, кто осуществляет выборку, я называю субъектом. Это может быть человек, ЭВМ, пилот летающей тарелки – в общем: все, что угодно, если только оно способно выполнять необходимые действия по части отражения.
.510. Актом выборки субъект создает в реальном мире МНОЖЕСТВО, которое после этого начинает существовать, то есть может впредь быть выбранным для образования новых множеств тем же субъектом наравне со всеми остальными объектами. Но, чтобы в какой-то последовательности выборок образовать первое множество, какие-то объекты должны существовать уже раньше (в противном случае получится вырожденная «Теория ничего»). Такие, существующие уже до первой выборки, объекты для данной последовательности выборок я называю ТОЧКАМИ. Разумеется, что различие между точками и множествами условно и имеет смысл лишь относительно определенной последовательности выборок, так как точки данной группы выборок могут быть созданы как множества в предшествующих выборках.
.511. Объекты, которые были выбраны в акте выборки, я называю ЭЛЕМЕНТАМИ созданного множества. Отношения между множеством А и одним его элементом а(i) я буду выражать словами:
а) множество А СОДЕРЖИТ элемент а(i);
б) элемент а(i) ПРИНАДЛЕЖИТ множеству А.
.512. Отношения между множеством А и всеми его элементами а(i) я буду выражать словами:
а) элементы а(i) СОСТАВЛЯЮТ множество А;
б) множество А СОСТАВЛЕНО из элементов а(i);
в) имея элементы а(i), можно СОСТАВИТЬ множество А.
.513. Множество не что-то раз и навсегда данное. Чтобы множество начало существовать, оно должно быть составлено из выбранных в результате акта выборки элементов. Образованное в результате выборки множество также является объектом и наравне с остальными объектами участвует в следующей выборке, осуществляемой тем же самым субъектом. Множество, построенное другим субъектом, первому недоступно. Он может лишь на основании закодированных изложений теории попытаться построить сам похожее множество.
.514. Точки и множества я называю РЕАЛИЯМИ (в честь тех, кто считал, что общее существует реально). Реальный, отражаемый субъектом мир, таким образом, состоит из точек и различных множеств. Создавая в реальном мире множество, субъект в акте выборки физически создает у себя определенный отражающий объект, который я назову НОМИНАЛИЕЙ (в честь тех, кто считал, что общее существует лишь в головах людей). Номиналия всегда существует в паре с одной и только одной реалией. Такую пару реалии и номиналии я называю УНИВЕРСАЛИЕЙ (в честь грандиозного многовекового спора). Каждая выборка создает всегда одну и только одну универсалию – то есть, одну реалию и одну номиналию. [*4]

[*4 2008.09.02: Здесь, в таком абстрактном изложении, все это, наверно, выглядит малопонятно. Возможно, сущность разговора будет яснее, если знать и помнить, что речь на самом деле идет о действиях КОМПЬЮТЕРА («отражающего» «реальный мир», но все равно компьютера). Только здесь, в первой части книги этот компьютер еще в явном виде нельзя вводить; он появится во второй части.]

.515. За время своего существования и отражательной деятельности субъект осуществляет некоторую совокупность выборок и создает (в случае субъекта-человека весьма обширную) совокупность универсалий. Любое подмножество этой совокупности универсалий, созданных одним субъектом, я называю теорией. ТЕОРИЯ – это любая совокупность универсалий (одного субъекта).
.516. Совокупность всех реалий теории я называю ПРЕДМЕТОМ (теории), совокупность всех номиналий – ОТОБРАЖЕНИЕМ (предмета субъектом при помощи теории), совокупность всех выборок, создающих теорию – ОТРАЖЕНИЕМ (процессом отражения субъектом предмета), совокупность всех точек, используемых теорией – ПРОСТРАНСТВОМ (теории), совокупность всех множеств, созданных при построении теории – ЗДАНИЕМ (теории).
.517. Любое подмножество теории, то есть, любую совокупность универсалий одной теории я называю ИДЕЕЙ (теории), любую совокупность реалий одной теории – ПОЛЕМ, любую совокупность номиналий одной теории – ПРЕДСТАВЛЕНИЕМ (идеи), любую совокупность выборок одной теории – СЕРИЕЙ (выборок), любую совокупность точек одной теории – ПОДПРОСТРАНСТВОМ, а любую совокупность множеств одной теории – СТРОЕНИЕМ (теории).
.518. Такова в первом приближении, в рабочем представлении, принятая мною концепция теории. В рамках ее для каждого субъекта можно говорить о шести совокупностях объектов, и для каждой из этих совокупностей я присвоил отдельные имена, названия для
– совокупности в целом,
– для отдельного ее элемента и
– любого ее подмножества.

(..)

13. Ограничения выборок
1979.08

.522. Сквозь предыдущие рассуждения проводилась четко не оговоренная до сих пор мысль о том, что выборки можно разложить в ряд, и точно известно, какая выборка какой предшествует, то есть, что выборки – нечто похожее на команды ЭВМ.
.523. Разумеется, это очень существенное ограничение. В принципе можно рассматривать такую алгоритмическую теорию множеств, в которой выборки могут осуществляться параллельно и могут быть созданы множества, содержащие в качестве элемента сами себя или другие множества, которые, в свою очередь, содержат эти первые (я бы назвал такую теорию параллельной алгоритмической теорией множеств, а ту, которую я использую в действительности – линейной). Но я отказался от этой идеи и принял ПРИНЦИП ЛИНЕЙНОСТИ – упрощенный, но зато более ясный вариант, так как допущение параллельности выборок решительно ничего не дает для достижения преследуемой мною цели – разобраться в том, как нужно излагать теории. Более того, я наложил на алгоритмическую теорию множеств еще одно очень существенное ограничение – ПРИНЦИП ОДНОРОДНОСТИ. [*5]

[*5 2008.09.02: Это, разумеется, тоже вопросы программирования «отражающего компьютера». Рассмотреть «параллельную теорию множеств» означало бы просто рассмотреть другой принцип действия этого компьютера (другую его систему программ).]

.524. Во время построения теории при первой выборке могут быть выбраны только точки и создано то, что немножко ниже будет названо фигурой. Второй выборкой уже можно выбрать фигуру вместе с точками и создать какое-то неоднородное множество. В дальнейшем это множество может быть выбрано в любом сочетании с точками и различными множествами любой степени неоднородности, создавая самые невообразимые ублюдки. Допущение такой возможности опять создает никому не нужную сложность, и ни на шаг не приближает меня к цели.
.525. Поэтому я принял принцип однородности, который допускает лишь создание ОДНОРОДНЫХ МНОЖЕСТВ, а именно – точки могут быть выбраны только вместе с точками, создавая множества – реалии первого УРОВНЯ (точки можно рассматривать как реалии нулевого уровня). Реалия первого уровня может быть выбрана только вместе с реалией того же уровня, создавая реалию второго уровня и т.д. Таким образом получается теоретически неограниченная иерархия уровней реалий. В конкретной теории имеется определенное число уровней реалий (непересекающихся полей), и в соответствии с этим можно говорить об аналогичных уровнях универсалий, номиналий, выборок и множеств.
.526. Если бы меня не отпугивало такое нагромождение терминов, то свой ограниченный этими двумя принципами подход я назвал бы линейной алгоритмической теорией однородных множеств.
.527. Для реалий первых четырех уровней (в большинстве случаев именно с ними мы и будем иметь дело) я введу специальные названия подобно тому, как реалии нулевого уровня уже называются точками. Реалии первого уровня (множества точек) я называю ФИГУРАМИ, реалии второго уровня (множества фигур) – ОБЩНОСТЯМИ, реалии третьего уровня (множества общностей) – АБСТРАКЦИЯМИ. Остальные уровни должны довольствоваться только номерами.
.528. Из принципа линейности следует, что невозможно построить (значит не может существовать) множество, содержащее себя в качестве элемента, так как выборка осуществляется из объектов, существующих до нее, а новый объект (множество) начинает существовать после нее.
.529. Не всегда возможно построить также множество «всех объектов, обладающих каким-нибудь свойством», так как этим свойством может обладать и вновь построенное множество или дальнейшие множества, построенные на нем или с его участием. Если я говорю «множество всех множеств...», то это всегда сокращение предложения «множество всех множеств, построенных в анализируемой теории...».
.530. Таким образом, алгоритмический подход избавляет теорию множеств от знаменитых парадоксов.

14. О концепции теории
1979.08

.531. Итак, в предыдущих главах я принял концепцию теории, на которой основаны все эти размышления и, таким образом, затянувшаяся экспозиция близится к концу, я уже вплотную подошел к тому, чтобы заговорить об основной теме этих медитаций.
.532. Какова эта концепция? Верно ли она показывает действительность? Для того, чтобы правильно ее оценить, нужно четко иметь перед глазами преследуемую цель.
.533. Создание теории идет по схеме: построение – изложение – изучение. В этих медитациях (в теорике) я размышляю лишь о втором этапе – как правильно излагать теорию. Двух остальных этапов я касаюсь лишь в такой мере, в какой это нужно для такой цели.
.534. Выяснение того, как на самом деле происходит построение отражения и его конкретной части – теории, потребовало бы обширных рассуждений по физиологии мозга и другим вопросам, которые не всегда еще ясны науке и что далеко выходит за пределы цели медитаций о теорике. Тем не менее какое-то представление о том, как происходит построение отражения, нужно было для того, чтобы рассуждать о правильном изложении этого построения.
.535. В качестве такого рабочего представления и следует рассматривать принятую здесь концепцию теории.
.536. Понятно, что представление, даваемое ею об отражении, упрощенно, схематично, но, на мой взгляд, в нем верно показаны три очень важных МОМЕНТА ОТРАЖЕНИЯ:
.537. 1) отражение есть установление соответствия между множествами объектов внешнего, реального, материального мира и чем-то в голове субъекта;
.538. 2) отражение – это процесс, динамика, и выборка – это тоже процесс, имеющий механизм, работающий по определенному алгоритму;
.539. 3) отражение дискретно, это построение конечной совокупности дискретных отражающих объектов и конечное число дискретных операций с ними.
.540. Если эта концепция и не во всех деталях верна, то все же она мне кажется более близкой к действительности, чем представление о множествах осмысленных и доказуемых высказываний. Ее предназначение не в том, чтобы в деталях объяснить процесс мышления, а в том, чтобы найти ответ на вопрос: «Как писать теории?», и это свое предназначение она выполнила, как станет видно из следующего размышления дальнейших глав и медитаций: я уже не колеблюсь в сомнениях о том, как излагать теории.
.541. Но, прежде, чем взять быка за рога, я хочу все же в виде отступления установить хотя бы самую приблизительную связь этой концепции с физиологией.

15. Физиология выборки
1979.06
(раньше на 2 месяца)

.542. Понятие выборки я счел более фундаментальным, чем понятие множества, и ввел множества на его основе. Выборки стали элементарными актами отражения, этого основания всех оснований. Что же такое выборка?
.543. Выборка – это процесс, создающий в островке разума – голове человека (или вообще любого субъекта) номиналию – то есть, отображение какого-то куска мира, который в дальнейшем рассматривается человеком как единое целое, как один объект. Как происходит этот процесс, каковы ТИПЫ ВЫБОРОК?
.544. Первый тип выборок, которые я назову СЕНСОРНЫМИ, доставляют информацию от материальных объектов на входы мозга, границы «островка разума». Если бы я задался целью детально рассмотреть этот тип выборок, то говорил бы об электромагнитных световых волнах, звуковых колебаниях, молекулах веществ, плавающих по воздуху, и других процессах, доставляющих информацию о внешних объектах к датчикам нервных окончаний, о том, как периферийная нервная система доставляет эту информацию к границам мозга и создает там, на пороге мозга, море сигналов, содержащих отображение внешних объектов. Но здесь я молчу обо всем этом и говорю просто: сенсорные выборки создают совокупность первичных отображений – ведь каждый сигнал на пороге мозга в конце концов соответствует какому-то кусочку внешнего мира, значит это уже номиналия, свершившаяся выборка.
.545. Второй тип выборок, которые я назову ПЕРЦЕПТИВНЫМИ, выбирают из моря первичных отображений те, что относятся к одному объекту, выделяют этот объект как единое целое. Если бы я хотел детально рассмотреть, как это происходит, то вспоминал бы знаменитые эксперименты с лягушкой, не реагирующей на неподвижную муху, бросающейся на маленький движущийся предмет и бегущей от большого движущегося предмета, вспомнил бы эксперименты, свидетельствующие о том, что зрительная система игнорирует однообразную середину предмета и ловит контур и т.д. Но здесь я говорю просто: перцептивные выборки создают отображения цельных предметов.
.546. Третий тип выборок, которые я назову ИНДУКТИВНЫМИ, создают отображения множеств, состоящих из различных предметов и других множеств, отыскивая их общие черты. Если бы я захотел детально рассмотреть эти процессы в мозге человека, то, к сожалению, смог бы о них сказать гораздо меньше конкретного, чем о предыдущих двух типах, так как наука до них еще не докопалась. Но зато мне, пожалуй, гораздо легче, по сравнению с предыдущими, представить как на современной ЭВМ реализовать именно эти процессы.
.547. Четвертый тип выборок, которые я называю ДЕДУКТИВНЫМИ, создают множества путем «логики». Именно с ними мы в основном и будем иметь дело в дальнейшем.
.548. В области психологии эти типы выборок очень приблизительно соответствуют ощущению, восприятию, представлению и мышлению.
.549. Практически все теории, с которыми мы будем иметь дело, создаются дедуктивными выборками и, следовательно, предполагают наличие пространства реалий, созданных сенсорными, перцептивными и индуктивными выборками.
.550. Но, несмотря на то, что с каждым новым типом выборок наши знания о точных ее деталях сужаются, можно сделать некоторые выводы:
.551. Любая выборка – это процесс, и происходит он по определенному алгоритму, который становится все сложнее с каждым новым типом выборки. У сенсорных выборок стержень этого алгоритма – «лови все, что приходит!»; у перцептивных выборок – «лови изменения, движение, контур, отбрасывая однообразие!»; у индуктивных выборок – «лови одинаковое, схожее, общее!», у дедуктивных – «по общему создавай частное!».
.552. Хотя, согласно принятым концепциям, я говорю, что выборка устанавливает соответствие между номиналией – «чем-то в мозге» – и объектами внешнего мира, но непосредственно обработке алгоритмами всех выборок, кроме первичных, сенсорных, подвергаются не внешние, а внутримозговые объекты – номиналии, созданные предыдущими выборками.
.553. Отсюда следует, что реалии всех универсалий, кроме сенсорных – объекты в очень значительной степени воображаемые, о чем нужно ясно отдавать себе отчет, и все операции с ними контролировать сопоставлением соответствующих операций с номиналиями или вообще все рассуждения базировать на номиналиях, как на объектах физических, материальных, действительно реальных (я все же воздержусь от соблазна вообще отказаться от реалий и опять пуститься в колесо концепций множества {.484}). Кстати, отсюда хорошо видно, что такое фата-морганы и галлюцинации или кентавры и циклопы, номиналии которых построить нет проблем, а существование соответствующих реалий довольно сомнительно.

16. Концепция алгоритма
1979.10
(через 4 месяца)

.554. Я познакомил Вас с главными действующими лицами своей пьесы, такими как множество, теория, субъект. Но до сих пор в тени осталась одна очень важная персона – алгоритм. Как профессиональному программисту мне приходилось много иметь с ним дело. Если бы меня спросили, что самое основное из того, что я о нем думаю, я бы ответил так:
.555. Алгоритм – это предписание кому-то делать то-то и то-то в таких-то случаях. Следовательно, алгоритм существует уже до того, как эти случаи действительно имеют место и эти действия на самом деле предпринимаются. Но реально существовать может только материя, следовательно, алгоритм может существовать лишь как материальный объект. Как и в случае с теорией, не может быть алгоритма вообще, существующего невесть где, в общественном или божественном сознании; есть только отдельные конкретные предписания, закодированные на материальных носителях или «зашитые» в механизмах, реализующих алгоритм. Алгоритм двигателя внутреннего сгорания встроен в его конструкции, алгоритм ЭВМ закодирован на перфокартах, магнитных дисках или ферритовых сердечниках.
.556. Итак, алгоритм – это не совокупность действий, принимаемых субъектом, эти действия лишь осуществляются по алгоритму, согласно алгоритму, а сам алгоритм, – это нечто другое, это объект, напоминающий номиналию тем, что находится он в субъекте и определяет целый ряд фактически осуществленных действий (то есть соответствует им). Эти действия, предписанные алгоритмом, но реально наступающие лишь тогда, когда случаются определенные события, выполняются определенные условия – эти фактические действия я называю РЕАЛИЗАЦИЕЙ алгоритма.
.557. Легко понять, что один и тот же алгоритм может быть реализован многократно, и в то же время могут быть алгоритмы, которые так и не были реализованы субъектом в какой-то интервал времени. Понятно также, что два субъекта могут иметь одинаковые алгоритмы.
.558. Реализация алгоритма (то есть действия, предписанные алгоритмом) осуществляются над некоторыми объектами, которые я назвал материалом и имеют результат, то есть объекты, созданные реализацией алгоритма, которые я назову ПРОДУКТОМ алгоритма.
.559. Итак, реализация алгоритма осуществляется над конкретным материалом и создает конкретный продукт. Естественно, что продукт полностью определяется материалом и алгоритмом.
.560. Но сам алгоритм, еще нереализованный, лишь предполагает наличие какого-то материала и какого-то продукта. Такие материал и продукт, неопределенные в момент рассмотрения самого алгоритма и определяющиеся лишь в момент его реализации, я называю АБСТРАКТНЫМ МАТЕРИАЛОМ и АБСТРАКТНЫМ ПРОДУКТОМ.
.561. В теорике меня интересуют главным образом алгоритмы, материалом которых служат множества, а продуктами являются новые множества (на самом деле, конечно, субъект по данному алгоритму осуществляет действия над своими внутренними объектами – номиналиями). В этих алгоритмах, оперирующих с множествами, так же нужно различать сам алгоритм и его реализацию, КОНКРЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА (конкретный материал и продукт реализации этих алгоритмов) и АБСТРАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА (неопределенный материал и неопределенный продукт этих алгоритмов).
.562. Вообще в нашем строго детерминированном материальном мире создание какого-нибудь объекта, в том числе номиналии, не может осуществляться иначе, чем каким-нибудь физическим механизмом по определенному алгоритму. Следовательно, если мы имеем номиналию (и универсалию, и реалию), то мы имеем и алгоритм ее построения. Если же мы имеем алгоритм, то можем построить универсалию.
.563. Разные универсалии могут быть построены по одному алгоритму при разном материале, разных «исходных данных». Следовательно, надо различать алгоритм и материал, и этот алгоритм должен существовать отдельно от различных построенных по нему номиналий. Следовательно, можно располагать одним только алгоритмом без исходных данных. Можно «держать на готове» алгоритм, подвергать обработке по нему исходные данные «по мере их поступления» и «включать» их в некоторое множество, и тогда это множество изначально задано только самим алгоритмом.

17. Абстрактные множества
1979.10

.564. Теперь в свете предыдущих размышлений приглянемся по-пристальней к выборке, этому элементарному акту создания множества.
.565. Во-первых, выборка, как всякий процесс, может быть осуществлена лишь определенным механизмом по определенному алгоритму, она является реализацией этого алгоритма, который, в свою очередь, может существовать лишь как объект внутри субъекта.
.566. Во-вторых, выборка осуществляется из группы объектов, которые являются полем для выборки и материалом для ее алгоритма. Эти объекты реально существуют как номиналии, как объекты внутри субъекта.
.567. В-третьих, результатом выборки или продуктом ее алгоритма является вновь созданное множество, которое реально начинает существовать как вновь созданная номиналия, то есть новый объект внутри субъекта.
.568. В-четвертых, состав нового множества, очевидно, определяется установлением связей между новой и старыми номиналиями.
.569. Таков полный акт выборки, полная реализация ее алгоритма над конкретным материалом. Но отсюда же легко увидеть, что нет никаких причин, запрещающих субъекту реализовать выборку лишь частично, а именно, построить новую номиналию (то есть, новое множество) и не полностью указать все ее связи со старыми или вообще не указать никаких связей со старыми номиналиями, а вместо этого лишь сослаться на алгоритм, по которому такие связи могут быть установлены на конкретном материале. Иными словами, субъект вполне может создать не только конкретное, но и абстрактное множество (или множество, лишь частично конкретизированное, то есть СМЕШАННОЕ).
.570. Более того, нет причин, не позволяющих субъекту (разумеется, по какому-то алгоритму) построить множество (то есть, номиналию), не содержащую ссылок не только на другие номиналии, но и на алгоритм установления таких связей, то есть построить совершенно НЕОПРЕДЕЛЕННОЕ МНОЖЕСТВО, которое, однако, существует в такой же степени реально, как и множества конкретные и абстрактные, так как имеет столь же реальную номиналию.
.571. Итак, если субъект построил множество, то это на самом деле может быть:
.572. а) конкретное множество (задано перечнем всех элементов);
.573. б) абстрактное множество (задано алгоритмом);
.574. в) неопределенное множество (ничем не задано, известно лишь, что существует).
.575. Физически конкретное множество представляет собой номиналию с ссылками на другие номиналии, абстрактное множество представляет собой номиналию с ссылкой на алгоритм, а неопределенное множество – одну голую номиналию без всяких ссылок.
.576. Перечень элементов может быть неполным (задана лишь часть ссылок на номиналии, входящие в данное множество), и он может быть дан одновременно с указанием алгоритма (ссылки как на номиналии, так и на алгоритм).
.577. Алгоритм, по которому происходит выборка, не может существовать невесть где, он «зашит» в том механизме, который его реализует. Сложный алгоритм требует и больших возможностей разнообразного его «зашивания». (В ЭВМ, например, программа внешне неотличима от данных). Следовательно, и в мозге алгоритмы должны существовать в виде внутримозговых объектов, возможно, похожих на номиналии, созданные в результате отработки этих же алгоритмов.
.578. Если так, то обработке алгоритмами, наравне с другими внутримозговыми объектами, могут быть подвергнуты и алгоритмы, а продукт, результат такой обработки может быть как номиналией, так и алгоритмом, и вообще стирается граница между номиналией и алгоритмом.
.579. Вот так, – не успел я еще принять концепцию теории, как она уже разрушается такими вот рассуждениями. Единственным моим утешением является то, что все эти размышления мне было бы очень трудно высказать, не приняв я раньше концепцию, на которой уже тогда поставил отметку «первое приближение» {.498}.

18. Соглашения кодировки
1979.08
(раньше на 2 месяца)

.580. Итак, мой читатель, экспозиция закончилась, на сцену вышли все действующие лица, перед Вами расстилается то исходное представление, лежит та отправная точка, из которой я подступаюсь к решению проблемы оснований теории. Теперь можно по-другому взглянуть на те вопросы, которые были поставлены в первых главах этой медитации. Определения, аксиомы, теоремы, доказательства – что это такое, откуда берутся и какими они должны быть? Как, исходя из принятой концепции теории, было бы наиболее правильно ее излагать?
.581. Океан материи расстилается перед моими ногами и я наблюдаю за ним, и путем последовательных выборок строю различные множества – свою теорию. И вот я ее построил, она у меня в голове. Это гигантское нагромождение всяких понятий – множеств. Теперь я хочу передать ее Вам, Вы другой островок разума в океане материи. Вы не видите всех тех множеств, которые я своими выборками построил, Вы видите только исходные точки, начальное пространство – сам океан материи, и то не совсем те точки, за которыми наблюдал я. Задача – построить в Вашей голове такие же множества-понятия, какие построены у меня. Как это сделать? Возможно ли вообще это?
.582. Для достижения этой цели я свою теорию излагаю, то есть кодирую в колебаниях молекул воздуха (звуковых волнах), приклеивая молекулы красителя к бумаге (письменно), засвечивая участки пленки со светочувствительным слоем и т.д. Нет принципиальной разницы между различными носителями – посредниками, поэтому я ограничусь рассмотрением только одного из них – самого распространенного до сих пор – бумаги и чернил.
.583. Размазывая чернила по бумаге, я хочу передать Вам какие множества я построил, а Вы, глядя на эти пятна, желаете воссоздать эти множества у себя. Разумеется, это возможно лишь в том случае, если между нами существуют определенные соглашения о том, какие пятна что означают. Как достичь этих соглашений – вопрос другой, но допустим, что у нас есть возможность заключить некоторое конечное число четких соглашений.
.584. Тогда моя задача сводится к тому, чтобы в соответствии со своими множествами и по принятым нами соглашениям размазывать чернила, а Ваша – глядеть на бумагу (и океан материи) и в соответствии с соглашениями строить множества. Следовательно, вся оставшаяся часть этой медитации должна быть посвящена размышлениям о том, каковы должны быть эти соглашения, чтобы мне было удобно мазать, а Вам – легко строить.
.585. Все соглашения можно подразделить на две группы (ТИПЫ СОГЛАШЕНИЙ):
.586. а) ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СОГЛАШЕНИЯ – принимаемые до начала изложения теории;
.587. б) ДИНАМИЧЕСКИЕ СОГЛАШЕНИЯ – принимаемые в ходе ее изложения.
.588. Мы увидим, что при изложении необходимы обе группы и нельзя обойтись лишь одной (если отсутствуют предварительные, то как же описать динамические; если нельзя вводить динамические, то как же определить новый термин?).
.589. По другому признаку соглашения можно подразделить на:
.590. а) ОГОВОРЕННЫЕ, которые где-то четко описаны;
.591. б) МОЛЧАЛИВЫЕ, которые нигде не изложены, но тем не менее мы ими пользуемся.
.592. Заманчиво было бы иметь один обстоятельный кодекс, где четко описаны все наши с Вами соглашения по изложению теорий, а молчаливых соглашений вообще нет. Но тогда мы должны были бы перенести в него весь толковый словарь русского языка, всю грамматику и еще очень и очень много всяких других вещей (например, об употреблении поэтических образов, шуток, иронии и т.д.), или же язык нашего общения будет скуднее языка мумбо-юмбо, а стиль похож на скрип колес. Но, с другой стороны, употребление всех этих разбросанных по различным описаниям (да и там описанных недостаточно точно) соглашений, а то и использование приемов, вообще нигде не описанных, созданных импровизаций и рассчитанных исключительно на сообразительность читателя – все это весьма и весьма пагубно отражается на точность и компактность изложения теории. А ведь на самом деле точность здесь важнее хорошего стиля.
.593. Как поступить в такой ситуации? Я решил принять и по необходимости употреблять при описании своих размышлений четыре СТАНДАРТА ТОЧНОСТИ высказываний:
а) фундаментальную точность;
б) теоретическую точность;
в) философскую точность;
г) поэтическую точность.
.594. В этом цикле медитаций я опишу полностью все соглашения по изложению теорий с фундаментальной точностью. Естественно, что эта система соглашений ориентирована на жесткую экономию, простоту и лаконичность, язык до ужаса скуден и сухой, но зато я нахожу его завидно точным. Этот язык я назвал ЭУКЛИДОЛОМ в честь того человека, который первым как следует взялся за это дело и сделал в нем больше любого другого (сможет ли кто-нибудь из наших современников остаться на недосягаемой высоте более двух тысяч лет?). Окончание «-л», столь привычное уху программиста, происходит от английского слова «language».
.595. В дальнейшем я поясню по-подробнее, чем отличаются и остальные стандарты точности {TRANS.1102}.
.596. Итак, в следующих главах и медитациях я буду размышлять о системах соглашений вообще, и на этом фоне принимать правила стандарта фундаментальной точности, а также характеризовать остальные три стандарта. Принятие правил изложения теории и было, как читатель помнит {.418}, целью этого цикла медитаций.

19. Читатель Системы 360
1979.08

.597. При всем моем уважении к Вам, мой читатель, я все же считаю, что Вы обладаете одним крупным недостатком: Вы слишком много знаете. Я потрачу много сил, чтобы описать, как мне покажется, все необходимые для нашего общения соглашения, потом ошибусь, напишу что-то не по этим соглашениям, а Вы, как ни в чем не бывало, преспокойненько это проглотите и правильно отреагируете, и окажется, что на самом деле мы общаемся не по описанным, а по каким-то другим соглашениям, принятым по умолчанию весьма смутным образом.
.598. Но где найти партнера, который давал бы гарантию, что никогда не пропустит ничего, что не оговорено нашими соглашениями? Мне, профессиональному программисту, не пришлось долго искать такого партнера. Это, конечно, ЭВМ... Своей педантичной непонятливостью, она самый лучший контролер.
.599. ЭВМ – великолепный партнер и в других отношениях. Номиналии, их связи, алгоритмы, механизмы – все это пока еще столь туманно и неопределенно, когда мы говорим о человеке, и все это в одно мгновение превращается в совершенно четкие, реальные, материальные объекты вроде триггеров и намагниченных сердечников, как только мы переходим к ЭВМ.
.600. Поэтому, хотя в общем-то речь у нас идет о соглашениях между людьми, я все же параллельно буду проводить линию соглашений с ЭВМ и все примеры и интерпретации брать из этой области. Вы увидите, что все соглашения с ЭВМ отличаются от аналогичных соглашений между людьми лишь простотой, но не принципиально.
.601. Я сделал своим читателем машину конструкции IВМ системы 360 и производства ЕС. Я думаю, что она в качестве читателя отличается от Вас главным образом тем, что мыслит более организованно и последовательно (в чем заслуга, конечно, не ее, а программы) и не имеет никаких ассоциаций, связанных с сенсорными, перцептивными и индуктивными выборками, которые в данном случае только мешают. Я мог быть уверен, что машина сделает свои выводы только на основании того, о чем мы с ней договорились и того, что я ей сообщил о своей теории, и не проявит никакого самовольства и, следовательно, если она смогла сделать какие-то выводы, то я действительно учел все, что на самом деле необходимо для этих выводов.
.602. Более того, возможности реализации на ЭВМ стали для меня критерием того, что на самом деле просто и что сложно, что принципиально, а что безразлично, и действительно ясно написано то, что может понять ЭВМ.

20. Алфавит и символы
1979.08

.603. Вот Вам одно пятно на бумаге: a. Вот Вам другое пятно на бумаге: a. Оба эти пятна, конечно, разные объекты – они находятся в разных местах, состоят из других молекул. Тем не менее мы оба, и я, и Вы, читатель, располагаем алгоритмом, позволяющим найти в этих пятнах сходство и в то же время определить, что они отличаются от этого пятна: е. На этом основано наше первое соглашение: некоторые пятна мы будем считать принадлежащими некоторому множеству. Это множество я назову БУКВОЙ, его элемент – ЗНАКОМ. Таким образом, в первых двух предложениях этого абзаца даны два знака одной буквы.
.604. Начертание знака может варьировать, но до каких пределов – это определяет наше первое соглашение. Уже здесь у нас могут быть недоразумения, особенно, если я пишу от руки и небрежным почерком. Соглашение с машиной проще – пробивки должны быть в каких-то позициях перфокарты и никаких там вариаций.
.605. Целой серией таких соглашений мы принимаем АЛФАВИТ – множество букв.
.606. В некоторых системах соглашений часть алфавита является динамической, то есть, автор рисует какой-нибудь новый значок и говорит, что впредь он им будет обозначать то-то и то-то. В современных ЭВМ такое недопустимо, ни одна ЭВМ не станет вводить новую комбинацию пробивок, о которой ей пытается втолковать программист.
.607. Есть системы соглашений, в которых алфавит очень обширен – сотни, тысячи букв (например, китайский). У различных ЭВМ он обычно 32, 64, 128 или 256 букв.
.608. Применение различных значков позволяет очень коротко и наглядно обозначать важные для теории вещи, например, вместо «элемент А принадлежит множеству В» можно писать «А ; В» {.625}, вместо «В является подмножеством множества С» писать «В ; С» {.626}, что, естественно, ведет к увеличению алфавита «по китайскому пути».
.609. Какую же политику избрать относительно алфавита? Я положил в основу подхода следующие принципы:
.610. 1) алфавит должен быть узким, а все разнообразие создается путем комбинирования знаков различных букв (то есть, европейский, а не китайский путь);
.611. 2) алфавит должен содержать только такие буквы, которые имеются на современных пишущих машинках, перфорирующих и печатающих устройствах ЭВМ;
.612. 3) динамические соглашения {.587} по алфавиту запрещены.
.613. К сожалению, последовательное применение этих принципов весьма затруднительно по двум главным причинам:
.614. 1) Те пишущие машинки, с которыми мне приходится иметь дело как пишущему на русском языке, рассчитаны на русский шрифт и не имеют латинского. Последовательно применяя второй принцип, я лишил бы себя возможности пользоваться той частью латинского алфавита, которая не пересекается с русским, в то время, как научная традиция, связанная с латинским алфавитом, значительно богаче связанной с русским. С другой стороны, применяя латинский алфавит, я лишаю себя возможности напечатать на машинке свою теорию без необходимости что-то вписывать от руки.
.615. 2) Имеется сильная традиция (в первую очередь математическая) широкого применения всевозможных специальных знаков, не имеющихся на печатающих устройствах (знаки интеграла, суммы, греческие, готические буквы и т.д.). У меня руки чешутся выбросить на свалку всю традиционную символику математики, но я рискую в этом случае остаться без читателей.
.616. Поэтому более менее последовательно я смог реализовать эти принципы только в правилах Эуклидола. При изложениях с другой точностью я оставляю за собой право применять традиционную символику и даже вводить динамические соглашения. Тем не менее я по возможности стараюсь избежать нарушения этих принципов и поэтому, например, значки ; и ; Вы видите в моих медитациях здесь первый и последний раз.
.617. Вторая группа соглашений касается размещения знаков. У ЭВМ эти соглашения опять просты – знаки должны следовать в одни ряд, и все тут. В основном и люди придерживаются линейного письма, но, конечно же, непоследовательно. Размещение знаков в виде таблиц, рисунков, карт настолько эффективно помогает работать со многими видами информации, что отказываться от этого неразумно.
.618. В изложении с фундаментальной точностью разрешен только линейный текст и такие таблицы, которые могут быть истолкованы как линейная последовательность знаков (такие таблицы могут быть отпечатаны на построчных печатающих устройствах ЭВМ). При остальных стандартах точности я линейный текст строго отделяю от нелинейного – таблиц, рисунков, карт и т.д. (прием не новый), но, к сожалению, опять появляются трудности и опять в основном из-за математики (ох уж эта математика!): обозначения квадратов и других степеней, дроби, пределы интегрирования и суммирования, индексы, корни и т.д. – все это не вынесешь отдельно в рисунок, а текст получается нелинейным.
.619. Опыт алгоритмических языков программирования показывает, что математические формулы прекрасно можно разместить и линейно, причем от этого практически не страдает наглядность (все дело в привычке, например, мне, программисту, линейные формулы столь же «читабельны», как и традиционные).
.620. Я буду придерживаться линейной записи даже в этой медитации, не говоря уже о языке Эуклидола. Так, если какое-нибудь множество я обозначил символом А, то его элементы обозначаю буквой А с каким-нибудь индексом, например е, который помещаю в скобки: А(е). Если этот элемент, в свою очередь, рассматривается как множество, то на его элементы я ссылаюсь при помощи индекса: А(е,к) и т.д. На мой взгляд, линейная запись имеет много преимуществ перед надстрочными или подстрочными индексами. (Итак, впредь всюду запись А(е,к) означает: к-тый элемент е-того множества совокупности А, состоящей из множеств).
.621. Следующая группа соглашений регламентирует выделение символов. СИМВОЛОМ я называю множество знаков (обычно разных букв {.603}). Множество символов, составленных из одинаковых знаков одних и тех же букв в одинаковом порядке, я называю МОРФЕМОЙ. Отношение между символом и морфемой такое же, как между знаком и буквой, то есть, символ – это отдельный элемент морфемы. Если сочетание знаков «между» считать символом, то в предыдущем предложении имеются два этих символа одной морфемы.
.622. В традиционных системах соглашений обычно по довольно простому правилу (пробелами и знаками препинания) выделяется слово, то есть небольшая совокупность символов, а потом эти символы отделяются друг от друга и распознается их принадлежность различным морфемам по сложным правилам, принятым отдельно чуть ли не для каждого слова.
.623. Таким образом, в традиционных системах соглашений (в живых языках) существуют лексические единицы двух уровней – слово и морфема. В Эуклидоле я принял опять более простую организацию – слово и морфема совпадают.
.624. Дальнейшие соглашения при построении языка описания теорий должны касаться использования символов. Но все конкретные вопросы построения такого языка – Эуклидола, я рассмотрю в специальной медитации. Там я опишу состав алфавита {.1422}, правила выделения символов {.1468}, их использование {.1506}, здесь же я лишь мимоходом касаюсь самых основных принципов кодирования теорий.

1993.11.23 14:59 вторник
(через 14 лет, 3 месяца)

.625. В Третьей Медиотеке – прим. ред. – здесь (в {.608} и {.616}) находилось вписанное от руки в машинописный текст традиционное обозначение понятия «принадлежит», по форме напоминающее букву «э», только повернутое в противоположную сторону. В Ведде мы не имеем возможности вписать даже от руки этот математико-кретинский знак, как и другие, ему подобные.
.626. Здесь находился еще один из значков, так ярко свидетельствующих о степени глупости математиков, похожий на букву «с», только низкий и растянутый по горизонтали.

1995.02.02 15:56 четверг
(через 1 год, 2 месяца, 9 дней, 57 минут)

.627. В конце концов было принято решение в Ведде эти и другие подобные знаки заменить по принципу «взаимно однозначного соответствия» знаками из набора псевдографики кода ASCII. Таким образом, теперь «математико-кретинский знак» {.625} (как он был назван в 1993 г.), обозначающий принадлежность, изображается как « ‘», а знак подмножества как «™». [*7]

[*7 2008.09.04: Когда этот текст (и другие) в конце 1980-х годов переносились на ЕС ЭВМ, а в начале 1990-х в «персональные компьютеры» PC (как TXT файлы), существовала большая проблема с изображением специфических математических знаков, что и породило данные «примечания редакции» в тогдашних изданиях этой книги. Современные компьютерные средства уже позволяют изображать эти знаки, и такие примечания стали лишними, но мы оставляем их в тексте, во-первых, чтобы не нарушать нумерацию пунктов книги, созданную компьютером в 1990-х годах, и, во-вторых, как свидетельства истории.]


21. Проблема названия
1979.08
(раньше на 15 лет, 6 месяцев)

.628. После принятия упомянутых выше предварительных соглашений в нашем распоряжении имеются средства для образования символов и их последовательностей. Дальнейшими соглашениями нужно морфемы (множества одинаковых символов) сопоставлять объектам теории (реалиям), а потом, употребляя символ этой морфемы, ссылаться на сопоставленный ей объект. Это уже динамические соглашения, так как не могут у нас быть предварительных соглашений об объектах теории, которую я только что создал и собираюсь описать. Но как морфему сопоставить объекту теории – реалии?
.629. Я могу принятым по предварительному соглашению символом сообщить Вам, что желаю присвоить имя множеству; следующим символом могу сообщить какое именно имя, но как мне указать какому множеству? В некоторых случаях я могу ткнуть пальцем: «это стол!», «это – телефон». Но такие средства доступны не всегда, даже если я общаюсь с человеком, невозможны, если я общаюсь с ЭВМ, и вообще выходят за пределы способов описания, изложения теории. Попытка объяснить что-то ссылками на предыдущие множества, из которых я построил данное, ничего не дает и лишь отодвигает границу теории: ведь все равно где-то будет первое множество, которому не на что ссылаться. Итак, мне не остается ничего другого, как только просто объявить, что я присвоил такое-то имя какому-то множеству, полагаясь на то, что Вы сами разберетесь, какому именно.
.630. Читатель, не имеющий абсолютно никаких собственных предпосылок о значении нового слова и оперирующий только теми данными, которые я ему сообщил (лучше всего роль такого читателя выполняет ЭВМ), в этой ситуации может делать только одно – запомнить это слово и то, что у автора, значит, построено какое-то множество или, что то же самое, имеется какой-то алгоритм, позволяющий построить это множество. У себя же он может построить лишь множество, которое я назвал неопределенным {.570}, то есть «голую» номиналию.
.631. Таким образом я могу запихать в читателя (человека или ЭВМ) все придуманные мною имена построенных мною множеств, но от этого, естественно, будет мало толку. После того, как я таким образом объявил имена первых нескольких множеств, положение начинает улучшаться: я уже могу ссылаться на предыдущие, если при построении следующих эти первые или их элементы как-то затрагиваются. Ссылаться – это значит, что мы можем заключить предварительные соглашения о сопоставлении морфем каким-то отношениям между множествами или каким-то алгоритмам их построения из других (а такие предварительные соглашения мы можем заключить всегда, когда речь идет не о самой той теории, которую нужно описывать).
.632. Теперь становится ясна ближайшая задача: нам нужно принять предварительные соглашения о том, как присваивать имена неизвестно каким множествам и как обозначать отношения между множествами и алгоритмы построения новых множеств из уже имеющихся. Конкретные соглашения я предложу в медитации, посвященной Эуклидолу. Здесь же нужно решить, какие в принципе могут быть отношения между множествами и какие бывают алгоритмы построения множеств.

(..)

26. Дальнейшие направления
1979.11
(через 3 месяца)

.693. Необходимость решать различные нужные, но побочные вопросы постоянно заставляет меня отклоняться от главной линии размышлений – «как излагать теории». Я оставил эту тему в том месте {.630}, где пришел к выводу, что читатель, совершенно ничего не знающий о моей новой теории, о которой я ему пытаюсь сообщить, размазывая чернила по бумаге, сначала может лишь запоминать присвоенные мною имена начальным объектам теории и строить у себя неопределенные множества, а в дальнейшем я могу ему при объявлении о существовании нового множества в моей теории, сообщать, как это множество соотносится с предыдущим – какова их дистанция, пересекаются ли они, параллельны ли и т.д. Я могу сообщать, что новое множество пусто или непусто, что оно составлено из каких-то элементов (если, разумеется, эти элементы представляют собой ранее объявленные мною реалии), могу сообщать на каком материале и по какому алгоритму оно построено (если, конечно, алгоритм оговорен в предварительных соглашениях кодировки или если имеются средства для динамического описания алгоритмов).
.694. Когда на читателя польется такой поток информации, первоначальная неопределенность исчезнет, и на фундаменте первых неопределенных множеств возвысится стройное здание теории.
.695. Теперь отчетливо видно, что нужен язык, предназначенный для передачи именно таких сведений и поэтому максимально удобный для этой цели. Таких языков – систем соглашений по кодировке теорий – можно, разумеется, принять сколько угодно. В одной из следующих медитаций я разверну полностью, начиная с алфавита, один из возможных таких языков (я назвал его Эуклидолом).
.696. Судьей полноты и строгости описания теории я сделал ЭВМ. Сведения о множествах теории имеют дискретный и четкий характер (уровень, дистанция, один из восьми типов пересечения и т.д.). Такая информация вполне может быть подвергнута машинному анализу. В одной из следующих медитаций я опишу систему программ (я назвал ее EUKLIDOS), которая предназначена для анализа теорий, описанных на Эуклидоле.
.697. Но все это впереди. Эта же медитация подходит к концу. В начале ее я поставил вопрос: «Как нужно описывать теории? Аксиомы, теоремы, определения – единственный ли это способ строгого их изложения?». В конце ее я стою полон дум о языке, понятном ЭВМ, на котором собираюсь говорить о дистанциях множеств, о классах пересечений, о типах алгоритмов, и все это напоминает привычные и добрые аксиомы и определения лишь весьма отдаленно.
.698. В заключение этой медитации для облегчения дальнейших выкладок я опишу еще несколько очень важных алгоритмов и введу несколько понятий, которые группируются вокруг центрального понятия, которое на самом деле неопределенное и неоговоренное уже не раз встречалось в этой медитации: вокруг понятия «отношение».

(..)
29. Алгебра и алгоритмы
1979.08

.730. Итак, я описал несколько очень важных дедуктивных алгоритмов. Разумеется, в этих алгоритмах нет ничего нового, именно из таких рассуждений выведены общеизвестные правила и формулы, но я хотел бы только отметить, что в традиционном изложении не всегда подчеркивается, что речь идет об анализе именно алгоритмов.
.731. Я прекрасно понимаю, что бесконечно надоел читателю непрерывным вводом все новых и новых слов, в которых лишь профессиональный математик увидит отдаленное сходство с основами современной алгебры, и что давно пора перейти к вопросам более увлекательным и интересным.
.732. Алгебра и алгоритм – два слова, начинающиеся на арабский «аль-» своей этимологией уводят нас к одному и тому же человеку – уроженцу Хивы Мухаммеду бен-Муса аль-Хорезми (по латински Algorithmi), жившему в веке 0800 в сто лет назад захваченном арабами Хорезме, население которого, однако, говорило все еще в основном на персидском диалекте, в Хорезме, который спустя несколько столетий будет наводнен волнами узбеков и других тюрков. Автор арабоязычной работы «Китаб аль-джебр валь-мукабала» (книга о восстановлении и противопоставлении), он передал в Европу «арабские» цифры, создал алгебру и навел европейцев на мысль об алгоритме.
.733. И вот, они опять встретились в алгоритмической теории множеств – современные идеи алгебры и современные идеи алгоритмов, идеи о множествах и приемы программистов.
.734. Я приостановил свои размышления о том, что, собственно, я могу Вам рассказать о своей теории, части моего отражения мира, на том месте {.631}, где дошел до вывода, что в рамках данной теории не могу абсолютно ничего сказать о первых построенных мною множествах, а в дальнейшем могу сообщать Вам о том, в каких отношениях вновь построенное множество находится с первыми и по каким алгоритмам я ее строил, если, разумеется, у нас есть соглашения о том, в каких вообще отношениях могут быть множества, какие вообще могут быть алгоритмы построения и как все это обозначать.
.735. При более пристальном рассмотрении оказалось, что классификация отношений множеств в конечном счете основана на возможностях построения из них тех или иных множеств, то есть, опять на алгоритмах. Алгоритмы, алгоритмы, алгоритмы... В конце концов в теории остаются только одни алгоритмы, мое изложение теории на самом деле – описание набора алгоритмов, по которым я обрабатываю, сортирую, расставляю по полочкам поступившие ко мне сенсорные данные.
.736. Так вот откуда то поразительное сходство между сочинением теории и составлением программы, которое я наблюдал уже много лет! Так вот почему теория пригодна не только для тех данных, для которых ее сочинили – ведь алгоритм есть алгоритм, что ему дашь на входы, то он и будет обрабатывать! Так вот почему теории, собственно, безразлично, что из себя представляют ее исходные объекты!
.737. Но, если во втором приближении теория оказалась лишь набором алгоритмов, то будет ли удивительно, если средства ее изложения окажутся весьма похожими на современные средства описания алгоритмов, а именно – на алгоритмические языки программирования?
.738. Аль-Хорезми писал только словами, не употребляя никаких специальных средств обозначения. Но обычный человеческий язык настолько неточен, расплывчат и неприспособлен к математическим (и вообще, точным и обобщенным) рассуждениям, что можно с уверенностью сказать: если бы французский адвокат Франсуа Виет (Viete 1540–1603) и французский дворянин Рене Декарт (Descartes или Renatus Cartesius 1596–1650) и другие не разработали бы более удобные, точные и эффективные средства изложения математических теорий, то не было бы современной математики, мыслители тратили бы впустую мощь своего интеллекта, преодолевая барьеры запутанных слов, вместо того, чтобы раздвигать горизонты. Средства изложения еще не все, что нужно для создания теории, но без подходящих средств изложения, верно направляющих и сосредотачивающих внимание ученого, далеко не уйдешь.
.739. Со времен Виета и Декарта в математику было введено много новых символов и обозначений, но сами те основные принципы, на которых опирается современная система обозначения и кодирования абстрактных теорий, были разработаны тогда – в веках 1400 – 1600.
.740. Аксиоматический метод рассуждений был разработан греками до нашей эры, принципы кодирования – 400 лет тому назад, теория множеств и логика предикатов – сто лет тому назад. Есть ли действительно все основания считать, что эти методы и принципы были тогда построены на такой основе, которая приемлема и сегодня?

30. Резюме ТЕОРИКИ
1979.11
(через 3 месяца)

.741. Теперь, в заключении этой медитации, я хочу вкратце повторить основные идеи и главные моменты того, о чем здесь говорилось:
.742. 1) Знакомство с запасом знаний, накопленных естественными науками, привело меня к убеждению, что действительно реальны и действительно существуют только такие объекты, как молекулы, атомы, электроны, электромагнитные поля, то есть – только материя.
.743. 2) Будучи студентом, специализирующимся по обработке информации, я задумался над природой информации и пришел к выводу, что все известные мне теории информации при всем их разнообразии страдают тем общим недостатком, что начинают свои рассуждения с каких-то абстрактных понятий, а не с того, что единственно существует – с материи.
.744. 3) Позже, задумавшись над природой чисел, я пришел к выводу, что общепринятая теория чисел страдает тем недостатком, что начинает свои рассуждения с каких-то абстрактных понятий, а не с того, что единственно реально – с материи.
.745. 4) Свои взгляды об информации и числах я попытался изложить с максимальной известной мне строгостью при помощи аксиом, теорем и т.д., но вскоре обнаружил, что эти методы изложения страдают опять все тем же недостатком: они абсолютно игнорируют то, что существует-то только материя, что человек – это материальная система, живущая в океане материи и материальными процессами отображающая в себе этот окружающий океан.
.746. 5) В настоящей медитации описаны те принципы, которые, на мой взгляд, нужно класть в основу при разработке методов изложения теорий. Основные из них перечислены ниже.
.747. 6) Отражение человеком окружающего материального мира – это в первую очередь процесс, в котором устанавливается соответствие между объектами внешнего мира (реалией) и отображающим его объектом внутри мозга (номиналией).
.748. 7) Номиналии внутри мозга подвергаются обработке по определенным алгоритмам.
.749. 8) Алгоритм (подобно программе ЭВМ) также представляет собой материальный внутримозговой объект.
.750. 9) Результатом такой обработки являются новые номиналии или алгоритмы.
.751. 10) Такая новая номиналия может соответствовать конкретной группе прежних номиналий и в конечном счете множеству внешних объектов (конкретное множество) или может быть связана с каким-нибудь алгоритмом (абстрактное множество).
.752. 11) Отображение внешнего мира в голове отдельного конкретного человека представляет собой набор номиналий и алгоритмов.
.753. 12) Конкретная теория (например, алгебра) в его голове не может быть ничем иным, как только подмножеством этого набора номиналий и алгоритмов.
.754. 13) У других людей имеются похожие наборы номиналий и алгоритмов. Говорить вообще о теории (например, алгебре) означает допускать неточность.
.755. 14) Излагать теорию означает закодировать этот набор номиналий и алгоритмов на носителе-посреднике с целью воссоздать у читателя этот набор номиналий и алгоритмов по возможности точнее.
.756. 15) Такая передача возможна лишь в том случае, если между автором и читателем существует некоторая система соглашений.
.757. 16) Эта система соглашений, методы кодировки и дешифровки будут тем эффективнее, чем больше они будут приспособлены к описанию именно номиналий (множеств), именно алгоритмов, и чем больше они будут учитывать то, что речь идет именно о кодировании одним субъектом своих внутримозговых объектов и о воспроизведении их другим субъектом у себя.
.758. 17) Традиционные методы, разумеется, именно это и делают, но их создатели не отдавали себе об этом отчета, и эти методы недостаточно приспособлены к специфике выполняемой ими задачи.
.759. 18) Не подвергая сомнению неоспоримую ценноость традиционных методов, теорика все же представляет собой пересмотр в духе материализма главным образом трех систем традиционных методов, известных как:
.760. а) аксиоматический метод, впервые последовательно реализованный Эвклидом 2300 лет тому назад;
.761. б) теория множеств, впервые предложенная Кантором 105 лет тому назад;
.762. в) логика предикатов, начавшая распространяться с работ Фреге 100 лет тому назад и ставшая особенно популярной после работ Гильберта 75 лет тому назад.
.763. 19) Наиболее приспособленными к выполняемой функции будут такие методы изложения теорий (такой язык), которыми автор сообщает читателю:
а) какие у него имеются номиналии (множества);
б) по какому алгоритму и из какого материала они построены.
.764. 20) Эти принципы будут реализованы в проекте конкретной системы соглашений, предложенном в дальнейших медитациях.

31. О медитации ТЕОРИКА
1991.10.17 13.33
(через 11 лет, 11 месяцев)

.765. (Послесловие при публикации в CDOMe)
.766. – Какой я был гений, когда писал «Сказку бочки» [*8], – восклицал старый Джонатан Свифт, перечитывая свое написанное в молодости сочинение.

[*8 Swift Jonathan. «A Tale of a Tub». London, 1704.]

.767. Когда я сейчас, по прошествии 12 лет, редактируя ТЕОРИКУ для помещения ее в Сидиоуэм, был вынужден впервые с тех пор ее снова перечитать, мне тоже хотелось если и не воскликнуть: «Какой я был гений!», то хотя бы: «Черт возьми, какие все-таки фундаментальные идеи там заложены!».
.768. Нет, конечно, сомнений в том, что нормальный читатель не дочитал ТЕОРИКУ до конца (если он ее вообще начал). Это-то понятно, но дело не в этом... Я попытаюсь Вам вкратце объяснить, в чем же дело и что такое там, в ТЕОРИКЕ было сказано.
.769. Дело в том, что если Вы возьмете литературу по математике, по ее основаниям, по теории множеств и т.д., то Вы сразу натолкнетесь на жалобы математиков о трудностях обоснования их науки, на рассказы о том, какие ужасные там парадоксы были обнаружены, как Фреге, потрясенный этим обстоятельством до глубины души, вообще перестал дальше писать свои сочинения и тому подобные страшные истории. С этим Вы столкнетесь снова и снова, в какое бы направление Вы ни пошли. Вы услышите почти детективные рассказы о том, какие развивались школы, чтобы избежать всех этих трудностей, что предлагал тот математик и что этот... Но проблемы в сущности так и остались нерешенными.
.770. Фактически не надо большого ума, чтобы понять, что раз уж все эти проблемы так и не были решены за столетия отчаянных трудов целыми плеядами лучших математиков, то ошибка более фундаментальна, чем все они думали, то надо отступить подальше назад и начать логические построения с более ранних подступов, чем это делалось в рамках традиционной математики.
.771. В сущности, самая фундаментальная идея ТЕОРИКИ в этом и состоит: начать на порядок раньше, на этаж глубже, чтобы те понятия, которые традиционная математика считает «элементарными», с которых начинает, оказались уже совсем не элементарными, а целыми обширными системами, имеющими детали, варианты, разнообразие... Удивительно, но как только начнешь учитывать эти детали и это разнообразие якобы «элементарных» понятий, так все упомянутые вековые проблемы математики исчезают моментально и становится очевидным, что порождены они были как раз тем, что под маской «элементарности» скрывалась на самом деле путаница разных вещей, и что эта путаница как раз и порождала все проблемы и противоречия.
.772. Но математики – настоящие специалисты! Один из «законов Мерфи» утверждал, что специалист – это тот, кто, виртуозно избегая мелких ошибок, неуклонно движется к какому-нибудь глобальному заблуждению {FIFTH.264}. Математики мне в один голос закричали: «Мы хотим такое решение, которое не устраняло бы нашу глобальную ошибку! Если главная ошибка устраняется, то нам это уже не интересно, это уже не математика, и тогда ясно, что никаких проблем нет! Ты дай нам решение с сохранением глобальной ошибки, тогда мы тебя на руках закачаем, а иначе – слушать не хотим!».
.773. Так, в сущности, можно выразить итоги моего многолетнего общения с математиками. Ну что тут скажешь? Что ж, продолжайте хныкать и хлюпать о своих противоречиях и парадоксах, раз вам так нравится, но я-то знаю, что все эти ваши «проблемы» выеденного яйца не стоят...
.774. ТЕОРИКА была задумана как вводное сочинение к большому циклу работ, поэтому в ней исключительное значение придавалось установке терминологии. Это естественная вещь в начале серьезного разговора. Точно так же я поступал, например, в начале описания Хаскных программных систем – вводил «пачками» массу новых терминов, и те, кто это читал и работал с этой документацией, сначала ужасались, но потом признавали, что дальнейший текст на удивление ясен, точен и исключает всякие двусмысленности и недоразумения...
.775. Некоторое продолжение ТЕОРИКА получила, но не совсем такое, как предполагалось. Дискуссия с математиками развернулась совсем в другом направлении (теоремы Кантора) и кончилась тем, что я, порядочно обругав математиков {CANTO.2448}, бросил вообще все эти занятия, – настолько бессмысленным мне показалось доказывать что-то таким людям...
.776. Так все это кончилось, я потерял желание разрабатывать все это дальше, но в том, что все, здесь мною сказанное, правильно, я по-прежнему не сомневаюсь.
.777. Итак, ТЕОРИКА установила массу фундаментальных положений, которые одним казались тривиально простыми, а другим очевидно абсурдными. Она наметила принципы построения программной системы «Эуклидос» и языка общения с ним – «Эуклидола». Она ОПРЕДЕЛИЛА в виде алгоритмов целую кучу таких понятий, которые в традиционной математике НЕ определяются, потому что считаются «элементарными» и заранее данными (все эти «отношения», «соответствия», «пересечения» и т.д.). Здесь эти понятия определялись СЛОВАМИ, но потом, после описания Эуклидола, они давались еще раз – уже на этом машинном языке.
.778. Разработка программной системы «Эуклидос» была начата, но не была закончена, так как годами было катастрофически много работы.
.779. За ТЕОРИКОЙ следовали три медитации (ЭУКЛИДОС {.994}, ПРЕДИКАТ {.1308}, АЛГОРИТМ {.1563}), в которых детально описывались язык и конкретная программная система. Эти медитации мы в Сидиоуэме опустим, во-первых, чтобы не мучить еще дальше и без того измученного всеми этими науками читателя, во-вторых, потому что та программная система все равно не была реализована до конца (а если ее реализовывать теперь, то надо было бы уже многое менять) и, в-третьих, потому что в популярном виде Эуклидол все-таки уже был описан в МЕТАНУМЕРИКЕ {.281}.
.780. Опустив эти три медитации, мы потом (после передышки – в каком-нибудь из следующих журналов CDOM) перейдем прямо к медитации ЧИСЛА {.1692} и дальше к длинным предлинным дискуссиям с математиками. Но это потом, а теперь два маленьких диалога, в сборнике «О природе чисел» следующих непосредственно за ТЕОРИКОЙ, и после них – перемена темы. (Здесь, в Ведде медитации об Эуклидосе НЕ опускаются и тема сборника, естественно, НЕ меняется – ред.).