Медитация Вероятность

Медитация ВЕРОЯТНОСТЬ
Немного о детерминизме

Все говорят о вероятности, но никто не может сказать в удовлетворительной для других форме, что же это такое.
Дж. Биркгоф

Haпиcaнo: 1976.08 – 1976.09, 1980.06, Рига

1. Эйб, Бен и Крис
1976.08
.371. В 1975 году издательство «Наука» выпустило маленькую книжку Ф. Мостеллера в переводе с английского «Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями». В ней имеется одна скорее философская, чем математическая задача, которая очень поучительна для тех, кто хочет понять сущность вероятности. Даю ее в свободном изложении:
.372. Три узника – Эйб, Бен и Крис, одинаково хорошего поведения, ходатайствовали об освобождении на поруки. Начальник тюрьмы решил освободить двух из трех, что стало известно узникам, которые, однако, не знают, кто именно эти двое. Эйб оценивает вероятность своего освобождения как 2/3. У Эйба в охране есть знакомый сержант, который знает, кого отпустят на свободу, но Эйб считает неэтичным осведомиться у сержанта, будет ли он, Эйб, освобожден. Он говорит охраннику: «Про меня ничего не скажи, но назови имя одного освобождаемого, отличного от меня». Сержант отвечает: «Бен». Эйб думает, что его шансы на освобождение снизились с 2/3 на 1/2, т.к. в этом случае будут освобождены либо Бен и Эйб, либо Бен и Крис.
.373. Мостеллер считает, что Эйб ошибается в своем расчете, и приводит расчет, по которому вероятность освобождения Эйба осталась 2/3 и «математический расчет в конце концов отвечает здравому смыслу». А как считаете Вы, читатель? Я же сохраню пока свое мнение в тайне и предложу Вам другую задачу:
.374. Три узника – Эйб, Бен и Крис, одинаково хорошего поведения, ходатайствовали об освобождении на поруки. Начальник тюрьмы решил освободить двух из трех, что стало известно узникам, которые, однако, не знают, кто именно эти двое. Эйб оценивает вероятность своего освобождения как 2/3. У Эйба в охране есть знакомый сержант, который знает, кого отпустят на свободу. Эйб у него спрашивает: «Назови мне имя хотя бы одного освобождаемого». Сержант отвечает: «Бен». Эйб думает, что его шансы на освобождение снизились с 2/3 на 1/2, так как в этом случае будут освобождены либо Бен и Эйб, либо Бен и Крис.
.375. Как Вы считаете, читатель, прав ли в этом случае Эйб?
.376. Если Вы получили в первом случае вместе с Мостеллером и мной ответ 2/3, а во втором случае вместе со мной ответ 1/2, то Вы уже понимаете, или во всяком случае близки к пониманию сущности вероятности. Если Вы не хотите углубляться в математику, то можете пропустить остаток этой главы и сразу приступить к философскому осмыслению результатов в следующей главе. Математика, философия и «здравый смысл» ничуть не противоречат друг другу.
.377. Могут быть три случая. Освобождаются:
а) Эйб и Бен;
б) Эйб и Крис;
в) Бен и Крис.
.378. Эти три события составляют полную группу несовместимых событий (Н), т.е. обязательно должно произойти одно и только одно из этих событий. Вероятность каждого события равна 1/3.
.379. Имеются связанные с этой группой события (Е) – ответ сержанта. В первой задаче сержанту запрещено назвать имя Эйба, поэтому в случае «Эйб и Бен» он вынужден назвать имя «Бен», во втором случае он может сказать только «Крис» и лишь в третьем случае у него есть выбор между Беном и Крисом. Поэтому пространство событий будет следующим:
.380.
Н (событие) Е (ответ) Р(Н&Е)
Эйб и Бен Бен 1/3
Эйб и Крис Крис 1/3
Бен и Крис Бен 1/6
Бен и Крис Крис 1/6
.381. Р(Н&Е) – это так называемые априорные вероятности совместных событий. Если произошло событие группы Е «ответ Бен», то апостериорные вероятности события группы Н после события группы Е можно вычислить по формуле Байеса. (Пусть Н(1), Н(2), ... последовательность попарно несовместимых событий, образующих полную группу, тогда для каждой пары событий Н(е),Е имеет место формула Байеса
(формулы смотрите в полной книге)
.382. Нас интересует вероятность события «Эйб и Бен» после события «ответ Бен», так как при ответе «Бен» только в этом случае возможно освобождение Эйба.
.383.
(формулы смотрите в полной книге)
.384. Теперь посмотрим пространство событий для второй задачи, когда у сержанта нет ограничений насчет имени «Эйб».
.385.
Н(событие) Е(ответ) Р(Н&Е)
Эйб и Бен Эйб 1/6
Эйб и Бен Бен 1/6
Эйб и Крис Эйб 1/6
Эйб и Крис Крис 1/6
Бен и Крис Бен 1/6
Бен и Крис Крис 1/6
.386. Теперь вероятность события «Эйб и Бен» после ответа «Бен» будет:
.387.
(формулы смотрите в полной книге)
.388. Любопытно также вычислить вероятности в обоих случаях для Бена и Криса.
.389. Для Бена:
(формулы смотрите в полной книге)
.390. Для Криса:
(формулы смотрите в полной книге)

2. Вероятность субъективная или объективная?
.391. Что же отличает обе задачи, что изменилось от первой ко второй? Почему в первом варианте задачи вероятность освобождения Эйба осталась неизменной, а во втором снизилась? В первом варианте Эйб говорит сержанту: «Про меня ничего не говори...». Тем самым он запрещает выдавать какую-либо информацию о своем освобождении. Степень его осведомленности относительно своего освобождения осталась той же, и вероятность не изменилась. Во втором случае отрицательный ответ сержанта тоже несет какую-то долю информации об освобождении Эйба, поэтому вероятность меняется и, поскольку ответ для Эйба отрицателен, меняется на меньшее. Для Бена же ответ положителен и вообще рассеивает всякую неосведомленность. Для Криса ответ тоже отрицательный, и вероятность его освобождения уменьшается, причем в первом случае уменьшается сильнее из-за того, что, быть может, освобождается Эйб и Бен, но Эйб не был назван лишь потому, что запрещалось его называть, поэтому ответ «Бен» имеет двойной вес.
.392. В начале, перед опросом сержанта, у всех узников вероятность была одинаковой, но при поступлении информации картина сильно изменилась, причем в первом варианте она исказилась из-за того, что Эйб запретил давать информацию о себе (и тем самым поставил дополнительную информацию для Криса). В начале вероятность у всех узников была одинаковой; при поступлении информации она изменилась; при блокировке информации – не изменилась. А ведь все было решено, кто освобождается, а кто нет, уже задолго до вопроса сержанту, и ни вопрос Эйба, ни ответ сержанта ничего не меняли и не могли менять в этом решении. Начальник тюрьмы и сержант знали решение, и для них не было никакого смысла вычислять какие-то вероятности. Вероятности вычисляли те, кто не знал, что будет в действительности, а эта действительность была и осталась однозначно определенной независимо от всех вычислений узников.
.393. Как видите, здесь все вероятности субъективны, зависят от степени осведомленности, существуют лишь пока есть неизвестность, неосведомленность, точнее, частичная осведомленность. Для Бена после ответа сержанта осведомленность стала полной, и всякая вероятность исчезла. Для начальника тюрьмы и сержанта никакой вероятности освобождения того или иного узника вообще не было с самого начала. Исчезла бы неосведомленность и вместе с ней вероятность для всех узников и если бы сержант сказал, например: «Освобождаются Эйб и Бен». Не было никакой вероятности (во всяком случае вероятности, сравнимой с теми, которые фигурируют в нашей задаче) и до того, как узники получили известие о том, что освобождают именно двух из трех, а не, скажем, всех или никого.
.394. Итак, говорить о вероятности был смысл лишь пока была частичная осведомленность и вероятность эта полностью зависела от имеющихся у узников сведений.
.395. «Хорошо» – скажут мои оппоненты, «то была вероятность субъективная, лишь произвольные оценки узников, мающихся в неизвестности. Но есть и вероятность объективная, поставляемая самой природой, характеризующая реальные объекты внешнего мира, присущая самим вещам».
.396. Я считаю, что таких вероятностей нет, что всякая вероятность, где бы и когда бы она не появилась, есть лишь субъективная оценка человека, только частично, не полностью осведомленного о том, что происходит и должно произойти, в то время, как само событие происходит или не происходит однозначно определенно без всяких там вероятностей точно так же, как и в случае с нашими узниками.
.397. Что же, рассмотрим эти «объективные» вероятности, в основном, как это принято в теории вероятностей, на примерах с игральными костями, картами и разноцветными шариками.

3. Ящик с шариками
.398. Решите такую задачу: перед Вами урна – ящик с отверстием, в которое можно просунуть руку, но нельзя заглянуть. Что находится в урне, неизвестно. Какова вероятность того, что Вы оттуда вытяните красный шарик?
.399. Эту задачу Вы, конечно, можете решить только в шутку. Ни о какой серьезной оценке вероятности не может быть и речи при данном уровне осведомленности о содержимом ящика.
.400. Но вот я уточняю задачу: в урне находятся только шарики – красные, белые и черные. Теперь, получив такую исходную информацию, Вы оцените вероятность выборки красного шарика как 1/3.
.401. Но я продолжаю уточнять задачу: белых шариков в ящике половина, черных – одна треть, а красных – одна шестая часть из числа всех шариков. Теперь Вы, конечно, скорректируете свою оценку с 1/3 на 1/6. Заметьте, как меняется Ваша оценка в зависимости от степени Вашей осведомленности, хотя шарики из урны я не вынимал и не добавлял, т.е., объективно ничего не менялось.
.402. Скажете, что объективная вероятность с самого начала была 1/6, а та 1/3 – лишь ошибка из-за отсутствия информации? Хорошо, хорошо, теперь-то Ваша оценка совпадает с «объективной» вероятностью?
.403. Но я продолжаю уточнять задачу: шарики лежат шестью слоями – в самом низу слой красных шариков, над ним два слоя черных и сверху три слоя белых шариков (для простоты вытянутым будем считать тот шарик, которого первым коснется Ваша рука). Теперь вероятность выборки красного шарика равна нулю, Вы уже знаете слишком много, чтобы оценивать вероятность.
.404. Конечно, Вы можете потрясти ящик, чтобы шарики перемешались. Что изменилось? Только то, что Вы опять не знаете расположения шариков и поэтому оцениваете вероятность, исходя из их общего числа. Но достаточно Вам заглянуть в ящик и убедиться, что теперь на поверхности лежит слой, в котором оказалось две трети красных и одна треть белых и черных шариков, чтобы Вы переоценили вероятность касания красного шарика с 1/6 на 2/3. Если же Вы к тому еще будете знать и точное направление движения Вашей руки, то Вы опять знаете слишком много, и задача перестает быть для Вас вероятностной. Вы уже заранее знаете, вытянете ли Вы красный шарик или нет.

4. Усредненное действие
.405. Если Вы действительно убежденный сторонник объективной вероятности, то все сказанное Вас, конечно, не убедило. «Когда я трясу ящик – Вы скажете – в верхний слой могут попасть шарики всех цветов пропорционально их количеству в ящике. И чем больше раз я проведу этот опыт, тем ближе среднее число красных шариков в верхнем слое будет к 1/6. В этом объективность вероятности!».
.406. Но этого-то я как раз и не отрицаю. Именно этот факт и позволяет Вам из того обстоятельства, что красных шариков 1/6, сделать оценку вероятности в 1/6. Именно этот закон, выведенный индуктивно из многолетнего опыта или дедуктивно из соображений о поведении шариков при случайных толчках, именно этот закон, наряду с информацией о количестве шариков, и составляет тот минимум знаний, который необходим для начала оценки вероятностей, ту частичную информацию, без которой всякая оценка вероятности бессмысленна (вспомните первоначальную постановку задачи – ящик, в котором находится неизвестно что). И этот закон несомненно объективен, он несомненно правильно описывает среднее поведение шариков, не говоря нам ничего о конкретном случае. Если бы он был чисто субъективным и неверным, то вероятностями вообще никто не занимался бы, кроме, возможно, шизофреников. И я не отрицаю эту его объективность. Я отрицаю то, что этот закон сам по себе может быть причиной размещения шариков, размещения, которое потом определит выбор или не выбор красного шарика при определенном направлении движения руки. Я утверждаю: причиной того или иного размещения шариков являются те толчки, которые получил ящик, когда Вы его трясли. Если бы Вы знали начальное положение шариков до тряски, точную силу и длительность толчков, потери энергии из-за (микроскопической) деформации ящика при передаче толчка через него, массу каждого шарика, те ускорения и скорости, которые они получили, если бы Вы рассчитали, как движутся шарики, рассчитали их столкновения между собой и со стенками ящика и потери при этих столкновениях, словом, если бы Вы учли вообще все, что влияет на движения шариков, то Вы бы точно знали и конечное расположение шариков, и Вам не нужно было бы прибегать к помощи вероятностей для определения возможности выборки нужного шарика. И только потому, что Вы не в состоянии все это знать и учесть, Вы прибегаете к простой и приблизительной оценке с помощью вероятности.
.407. Закон, о котором мы говорили выше, описывает усредненное, суммарное действие всех этих скоростей, сил и столкновений, которые по отношению к шарикам случайны, т.е., как говорят философы, не вытекают из самой сущности шариков. Но их случайность не означает беспричинности. Поведение шариков так же детерминировано, как и, по моему убеждению, все в этом мире. И не следует путать две совершенно разные вещи: среднюю величину какого-нибудь действия и реальные его причины.
.408. Закон этот описывает усредненное действие фактических причин. Он объективен потому, что это усредненное действие объективно и реально. Он такое же законное обобщение наблюдений, как и все законы природы, нами выведенные. Но от того, что мы вывели закон усредненного действия реальных причин, сами эти причины никуда не исчезли. Они остались, и именно они вызывают конкретное действие. Если мы можем рассчитать точное действие этих причин, то нам незачем прибегать к помощи усредненного действия. Но если точно рассчитать действие фактических причин мы не можем, – или по техническим причинам (слишком сложен расчет и слишком много труда он потребовал бы) или потому, что не имеем возможности точно учесть все факторы, или потому, что довольно туманно представляем себе фактические причины, или, наконец, потому, что у нас вообще нет ни малейшего понятия о фактических причинах, – вот тогда на помощь приходит закон усредненного действия, и на арене появляются вероятности.

5. Точный расчет или оценка вероятности?
.409. Попробуйте решить такую задачу: Над поверхностью планеты, не имеющей атмосферы, пролетает разведывательный летательный аппарат, высланный из космического корабля. Поверхность планеты странна на вид – она совершенно ровная и до самого горизонта простилаются ровные полосы – белая шириной в 300 метров, черная шириной в 200 м и красная – 100 м, потом опять белая, черная, красная и т.д. (очевидно состоящие из минералов различной окраски). Пилот аппарата решил выбросить зонд – небольшую коробку с измерительными приборами и передатчиком. Скорость летательного аппарата V=500 км/час параллельно поверхности планеты, высота h=1 км, курс a=63 градуса по отношению к полосам. Ускорение свободного падения на планете g=10 м/сек2. Зонд был свободно отпущен в момент, когда летательный аппарат пересекал границу белой и красной полосы. Что Вы можете сказать о том, на какой полосе упадет зонд?
.410. Вы несомненно сможете точно рассчитать, на какой полосе упадет зонд, особенно, если отыщете свой старый школьный учебник по физике и таблицы тригонометрических функций. Но вероятность падения зонда на полосу каждого цвета Вы можете определить гораздо проще, причем эта оценка усредненного действия останется неизменной даже при изменении таких факторов, как скорость полета, высота, курс, момент выброса зонда и ускорение свободного падения. Преимущества такого характера и есть то, почему мы так часто пользуемся усредненными результатами вместо расчета точного результата и еще чаще получаем вполне удовлетворяющие нас результаты там, где точный расчет совершенно невозможен. Но разве можно поэтому отрицать существование фактических причин? Разве можно поэтому утверждать, что вероятность сама по себе и есть причина?
.411. Вы берете и бросаете игральную кость. Если Вы учтете все силы, которые действовали на кость пока Вы ее толкали, пока она летела и пока катилась, учтете полученную ею скорость, момент вращения, потери энергии при воздействии микроскопических неровностей кости и микроскопических неровностей стола – разве Вы не сможете предсказать, какая цифра выпадет? Вы скажете, что недетерминированы и непредсказуемы движения человеческой руки? Детерминированность человека – тема особая и очень обширная, и здесь мы не будем ее развивать. Я считаю, что и человек – система вполне детерминированная, но, если Вы сохраняете в силе возражение насчет человека и не найдете других возражений, то Вам придется ограничить область существования «объективной» вероятности только областью, связанной с деятельностью человека. Вероятность только там, где присутствует человек? Нет вероятности ни на звездах, ни в микромире? Вряд ли Вам самому покажется убедительным такой исход: какая-то странная объективно–субъективная вероятность.
.412. Возьмем игральные карты. Какова вероятность при игре в покер получить сразу на руки каре из тузов? Ваш партнер раздает карты. Наверное каждый из нас хоть раз в жизни играл в карты и знает как это выглядит. Ваш партнер берет колоду со стола (в этот момент карты, конечно, лежат в каком-то порядке). Он их тасует и начинает раздавать. Стоп! Зафиксируем этот момент – рука партнера только коснулась первой карты. В этот момент карты в колоде уже лежат в каком-то порядке, который вместе со строгим законом раздачи точно определяет, какие карты к Вам придут. И если Вы продолжаете размышлять о вероятности прихода туза, то только потому, что Вы не знаете этого расположения карт в колоде. Когда Вы уже получили один туз, Вы снижаете вероятность прихода следующего туза, поскольку тузов в колоде осталось меньше. Но Ваш сосед, который не знает, что к Вам пришел туз, продолжает вероятность прихода туза считать прежней. Где та вероятность, которая не зависит от Вашей осведомленности? Когда она появляется? В момент тасовки? Рассмотрим этот процесс крупным планом. Ваш партнер берет половинку колоды, прижимает ее край к краю другой половины колоды и надавливает. Знай Вы точно силу и направление нажима, знай Вы все неровности краев карт вплоть до уровня отдельных молекул, знай как эти неровности сцепляются, сопротивляются, изгибаются – и Вы могли бы рассчитать, каким именно образом карты одной полколоды раздвинут карты второй полколоды и втиснутся между ними. Где вероятность? Или она опять поступает от непредсказуемой руки человека?
.413. Возьмите молекулы газа. Каждая молекула имеет какую-то вероятность двигаться в определенном направлении и с определенной скоростью. Но разве она движется в этом направлении потому, что имеет вероятность? Или все-таки потому, что только-что столкнулась с другой молекулой, которая ее толкнула в этом направлении, сама полетев в противоположном?
.414. Но довольно! Мы никогда не дойдем до конца этой медитации, если я начну перечислять все примеры, где мы встречаемся с вероятностью, и показывать, каким именно образом эта вероятность зависит от нашей осведомленности и какие именно реальные, физические, материальные причины определяют исход дела в данном случае. Мне не известен ни один пример, где я не мог бы хотя бы приблизительно указать на те реальные, действительные причины, которые скрываются за вероятностью. Если Вам, читатель, кажется, что Вы нашли такой пример (кроме квантовой механики), то сообщите мне, пожалуйста, об этом!
.415. И вдруг: вопиющее противоречие! Квантовая механика! Волновая функция! Чистая вероятность сама по себе как причина! И где? На самом краю человеческого познания, где в сущности ничего толком не известно. Но об этом подробнее немножко ниже.

6. Природа вероятности
.416. Так что же такое вероятность, о которой мы тут столько толкуем? Существует ли она в природе? Я отвечаю: «Нет, не существует». В природе, в реальном, материальном мире нет ничего такого, что мы называем вероятностью. «Существует только материя, ее отношения и движение – изменение этих отношений». Вероятность же не первое, не второе и не третье. Вероятность существует только в человеческой голове, как и все остальные абстрактные понятия, например, как понятие «число». (Конечно, там, в человеческой голове, она существует вполне реально – как отношения материи, как движение материи, но это уже другая тема – о материальной сущности идеальных понятий).
.417. Человек выработал у себя это понятие, в конечном счете основываясь на том многократно наблюдаемом им явлении, что при действии случайных причин фактические, разбросанные результаты неизменно группируются вокруг какого-то постоянного, фиксированного (среднего) результата. Если Вы будете бросать игральную кость шесть миллионов раз, то шестерка выпадет именно миллион раз плюс-минус небольшое отклонение. Если Вы повторите свою шестимиллионную серию опытов второй, третий, четвертый раз, то получите почти тот же результат. Вот что существует в природе, вот что дало человеку основу выработать у себя в голове понятие о том, что вероятность падения шестерки есть одна шестая.
.418. Если бы я был на месте своего противника, я бы здесь незамедлительно дал автору этих строк такой удар: Но почему из шести миллионов бросаний шестерка выпадает именно миллион раз? Потому, что она имеет вероятность 1/6 !!! Вот она – вероятность! Вероятность, хоть и немножко туманная и нечеткая, но объективная и существующая вне головы человека!
.419. Но будучи автором этих строк, я уже приготовил контрудар. Действительно, если бы я не мог объяснить, почему из 6.000.000 бросков «6» выпадает всегда почти ровно 1.000.000 раз, мое положение было бы весьма шатким.
.420. Когда я бросаю игральную кость, ее полет однозначно определяется набором факторов, влияющих на полет и падение кости. Такие факторы, как сила броска, неровности стола, случайны. Случайны – это не значит, что они не действуют однозначно определенным образом; это значит, что они не вытекают из сущности игральной кости, не зависят от того, бросаю ли я игральную кость или косточку от сливы, и поэтому меняются от броска к броску. Даже неровности самой кости случайны, т.к. различны у разных костей. Но наравне с этими случайными факторами при бросании кости присутствует и постоянный, не случайный фактор, вытекающий из самой сущности кости, и поэтому присутствующий всегда. Какой же это фактор? Читатель уже давно все понял: ну, конечно, форма кости – ее шесть граней. Сколько бы Вы не бросали кость, этот фактор присутствует всегда. Случайные факторы дают разброс результатов. Постоянный фактор удерживает результат вблизи среднего результата, который определяется именно этим постоянным фактором. Куда исчезла вероятность?

7. Постоянный фактор
.421. На мой взгляд все выглядит очень просто: В любом вероятностном процессе исход однозначно определяется действующими причинами. Постоянно присутствующая причина вносит некоторую статистическую закономерность при большом числе опытов. На основании этой закономерности человек построил представление о вероятности, которое использует в условиях частичной, неполной информации о всех действительных причинах.
.422. И если при большом числе опытов результат приближается к ожидаемому из расчета вероятности, то не потому, что эта вероятность объективна и действительно причина, а потому, что само понятие вероятности выведено в конечном счете из того, что при большом числе опытов постоянно действующие причины уравновешивают действия случайных причин. Говоря в форме, так любимой нашими философами, факт, закон усредненного действия первичен, вероятность же вторична. Не вероятность порождает закон, а закон дает человеку возможность вычислять вероятности. Сам же закон порождается постоянной причиной по всем правилам моего строго детерминированного мира. Измените постоянно действующую причину – и моментально изменится закон распределения результатов и вместе с ним все оценки вероятности. Бросайте не шестигранный куб игральной кости, а тетраэдр – и вероятность фиксации определенной грани будет не 1/6, а 1/4.
.423. Я не зря придумал пример со странной планетой и падающим зондом. По-моему в этом примере отчетливо виден весь механизм действия случайных и постоянных причин, абсолютная детерминированность и появление вероятности. Результат падения зонда можно всегда вычислить соверешнно точно, как бы мы ни меняли факторы V, h, a, g и момент начала отсчета. (По линии, перпендикулярной полосам, зонд пролетит
(формулы смотрите в полной книге)
и упадет на черной полосе).
.424. Мы можем заставить летательный аппарат пикировать или подниматься вверх в момент выброса зонда, можем зонд не отпускать свободно, а катапультировать с какой-то начальной скоростью под каким-то углом к поверхности планеты, можем наделить планету атмосферой и учитывать сопротивление воздуха и силу ветра в разных слоях атмосферы. Это усложнит расчет, но не сделает его невозможным. Мы можем проделать миллионы бросков зонда, различным образом меняя все эти факторы, и каждый раз мы можем вычислить точный результат, но, тем не менее, из 6.000.000 бросков зонд упадет на красной полосе около миллиона раз, пока будет присутствовать постоянный фактор – сама планета, 1/6 поверхности которой занимает красный минерал. Отсюда и все вычисления вероятности. В то же время в точном расчете никакие вероятности не присутствуют.
.425. На мой взгляд объективную вероятность придумали те, кто не смог разобраться, что объективно и что субъективно, что существует в реальном мире и что в человеческой голове, кто перепутал объективность усредненного действия постоянной причины в потоке случайных причин с объективностью человеческих оценок.

8. Резюме предыдущего
.426. Теперь, следуя своему убеждению, что четкость изложения – свидетельство ясности мысли в прошлом и залог ясной мысли в будущем, я попытаюсь в сжатом виде резюмировать свои высказанные выше взгляды на вероятность:
.427. 1) Вероятности нет там, где царит полная неизвестность или полная известность. Вероятность появляется только там, где имеется частичная осведомленность. Нет вероятности без неизвестности, отсутствия информации.
.428. 2) Никакого реального объекта под именем «вероятность» в природе не существует. Вероятность существует только в человеческой голове на таких же правах, как и другие абстрактные понятия.
.429. 3) Но действия случайных факторов часто группируются вокруг некоторого усредненного действия. Эта связь в природе вполне реальна и объективна.
.430. 4) Наличие постоянного усредненного действия случайных причин вызвано постоянным компонентом в потоке случайных факторов.
.431. 5) Человек, находясь в условиях частичной осведомленности (известна ситуация и усредненное действие случайных причин в этой ситуации, но неизвестно точное действие причин), строит у себя в голове предположения, соответствующие усредненному действию, и называет это вероятностью.
.432. 6) Реальные причины же продолжают действовать однозначно определенно, независимо от всех построений в голове человека.
.433. 7) Утверждение, что при возрастании числа опытов доля положительных исходов все больше приближается к вероятности, есть неточное, перевернутое отражение того факта, что вероятность есть в конечном счете индуктивное обобщение большого числа реальных действий.
.434. Последний пункт станет для Вас яснее, если Вы попытаетесь разобрать два следующих примера:
.435. Пример обычного утверждения: «Вероятность появления шестерки при бросании кости есть 1/6. Поэтому чем больше я буду бросать кость, тем ближе доля выпада шестерки в общем числе бросков будет к 1/6».
.436. Это утверждение неточно, перевернуто вверх ногами, и у Вас есть все шансы моментально запутаться и не найти никаких концов. Вот то же самое, сказано более точно:
.437. «Кость имеет шесть граней, поэтому чем больше я буду бросать кость, тем ближе доля выпада шестерки в общем числе бросков будет к 1/6. На этом основании перед очередным броском я могу для собственного удобства говорить, что вероятность выпада шестерки – 1/6. Но ни на минуту я не должен забывать, что эту вероятность придумал я сам для своего удобства, что реально-то существуют и все решают только эти материальные шесть граней, а не моя вероятность».
.438. Ну вот, наш краткий разговор о сущности вероятности близится к концу. Я попытался Вам показать свой взгляд на эти вещи. Доказать какие-нибудь взгляды можно только, опираясь на те или иные постулаты. Свои постулаты я четко осознаю и изложил уже раньше (СРАВНЕНИЕ). Все в мире имеет причину. Не существует ничего, кроме материального, поэтому причина должна быть материальной. Вероятность же не является ни материей, ни ее отношением, ни движением, поэтому реально не существует и причиной чего-то не может быть и подавно. Разумеется, что это доказательство приемлемо только для тех, кто принял постулаты, поэтому я даю его лишь мимоходом, а основной упор делаю на те соображения, которые вместе со многими другими, изложенными в этих медитациях, вели меня к принятию самих постулатов.

9. Программы прогнозирования
1980.06
(через 3 года, 9 месяцев)
.439. Главы, которые Вы только что прочитали, я написал в 1976 году. Непосредственной причиной, побудившей меня коснуться вероятности, была книжка Мостеллера, а также одна беседа с Сергеем Суховым, отстаивавшим объективность вероятности.
.440. С тех пор мои взгляды на вероятность не изменилась ни на йоту. Я крайний субъективист. В реальном мире существуют материальные объекты, но вероятности нет среди них.
.441. Сегодня мне хочется пополнить разговор о вероятности размышлениями о ней с позиций теорики.
.442. В человеческой голове работает много программ прогнозирования событий. Прогнозирование – чрезвычайно важный элемент программного обеспечения такой вычислительной системы реального времени, как человеческий мозг, которая предназначена для одной цели: управлять организмом так, чтобы сохранить его жизнь, существование. Без прогнозирования выполнить эту задачу невозможно (даже переходя улицу, Вы прогнозируете движение автомобилей и останавливаетесь, если Ваши программы прогнозирования сообщают о том, что будет столкновение Вас с автомобилем; если бы у Вас не было этих программ, Вы погибли бы в течение первого получаса Вашего пребывания на улице).
.443. Как все программы, программы прогнозирования могут работать только по какому-то алгоритму и на основе какой-то информации. Когда Вы рассуждаете о вероятностях, на самом деле Вы рассуждаете о программах прогнозирования, о их алгоритмах, исходной информации и результатах. И эти программы, и эти алгоритмы, и эта информация, и эти результаты существуют только в голове человека.
.444. Вспомним нашу задачу о ящике с шариками {.398}. При первой постановке задачи («в ящике неизвестно что; какова вероятность вытянуть красный шарик?») Вы не обладаете ни алгоритмом прогнозирования такого события, ни исходной информацией, поэтому Ваши программы прогнозирования полностью пасуют (внешне это выглядит так, что Вы улыбаетесь и разводите руками).
.445. При второй {.399} постановке задачи («в урне только шарики: белые, красные, черные») Ваши программы прогнозирования рьяно берутся за дело. Они прогнозируют возможность трех событий:
а) вытянут белый шарик;
б) вытянут красный шарик;
в) вытянут черный шарик.
.446. В отличие от первого случая, Ваши программы смогли построить «пространство событий», но это «пространство событий» не что иное, как продукты, «выход» Вашей программы прогнозирования, это набор предсказываемых ею событий. Естественно, что эти продукты будут зависеть от того, какие алгоритмы Вы используете в своей программе.
.447. При третьей {.401} постановке задачи («белых шариков половина, черных – треть, а красных – одна шестая часть из общего числа») пространство событий, построенное Вашей программой прогнозирования, будет другим (не будем углубляться и уточнять: то ли потому это, что Вы применили другой алгоритм прогнозирования, то ли потому, что старой программе подана новая информация; важно одно: речь у нас идет о продуктах Ваших программ прогнозирования и ни о чем другом).
.448. Когда Вы узнаете о том, что в ящике на поверхности лежат только белые шарики {.403}, Ваши программы прогнозируют уже только одно событие: касание белого шарика.
.449. Таков, на мой взгляд, в самых общих чертах механизм возникновения вероятности.

10. Как прогнозировать?
.450. Я бы определил вероятность как соотношение множества «благоприятствующих» прогнозов и множества всех прогнозируемых событий, построенных той или иной программой прогнозирования по тому или иному алгоритму на основе той или иной исходной информации. При таком понимании вероятности для «правильной» оценки вероятности какого-нибудь события все сводится к тому, как «правильно» выбрать алгоритм прогнозирования.
.451. Если Вы, например, затрудняетесь оценить вероятность того, что проживете до 70 лет (или вероятность объединения Аргентины и Чили в одно государство в ближайшие 10 лет), то эти затруднения возникают у Вас из-за отсутствия алгоритма прогнозирования. Вы, конечно, можете применить какой-нибудь алгоритм, «взятый с потолка», но в таком случае у Вас, видимо, и у самого не будет доверия к Вашему прогнозу.
.452. Так что же отличает «правильный» алгоритм прогнозирования от «неправильного»? Как нужно выбирать алгоритмы прогнозирования, чтобы прогнозы были более менее достоверными? Почему, глядя на приближающуюся машину, я уверен, что она наедет на меня, если я выскочу на мостовую? Почему я уверен, что, бросая двенадцатигранник (которого я в глаза не видел), одна определенная грань будет выпадать примерно один раз из двенадцати?
.453. Этот вопрос слишком сложный и обширный, чтобы его здесь разбирать. Сейчас я хотел показать только одно: «Правильная оценка вероятности» – это на самом деле не что иное, как выбор алгоритма прогнозирования, приводящего к «хорошим» прогнозам. И отсюда вся субъективность (в общем-то могу выбрать какой угодно алгоритм) и вся объективность (один алгоритм дает лучше прогнозы, другой хуже), и вся условность вероятности (прогноз есть только прогноз).
.454. Чебышев определял теорию вероятностей как математическую дисциплину, которая дает правила, как по первоначально известным «элементарным» вероятностям вычислить вероятности других событий. Откуда берутся эти «элементарные» вероятности, теория вероятностей не интересуется. Таким образом, все вероятности оказались разделенными на две группы:
.455. а) вероятности элементарные, полученные до применения теории вероятностей;
.456. б) вероятности, вычисленные по правилам теории вероятностей.
.457. Я бы сказал, что любая вероятность определяется по какому-то алгоритму. Некоторые алгоритмы составляют предмет теории вероятностей (вспомните положение теорики {NATUR.753} о том, что всякая теория – набор алгоритмов и номиналий!). Другие алгоритмы (определения «элементарных» вероятностей) в эту теорию не входят. Вот и вся разница между обеими группами вероятностей.
.458. Итак: теория вероятностей – это наука, изучающая некоторые алгоритмы прогнозирования (часть этих алгоритмов). Все законы, теоремы и формулы теории вероятностей (такие, как закон больших чисел, предельная теорема Лапласа, формула Байеса и т.д.) «на выходе» дают вероятности тех или иных событий, т.е. действительно являются алгоритмами определения вероятностей, алгоритмами прогнозирования.
.459. Для этих алгоритмов характерно, что «на вход» им подаются также вероятности. Другая часть алгоритмов прогнозирования в теории вероятностей не рассматривается, но от этого они не становятся менее реальными.
.460. Один из самых лучших способов прогнозирования – это экстраполяция прошлого, о котором мы знаем на основе статистики (но все же это только один из возможных алгоритмов прогнозирования). Если на протяжении многих лет каждый год умирали 10 человек из 1000, то можно прогнозировать по алгоритму экстраполяции, что и в будущем году умрут 10 человек из тысячи. «Вероятность смерти одного человека равна 0,01» – это лишь то же самое, сказанное другими словами. И это только прогноз, прогноз и ничего больше. Да, он хороший прогноз, который почти всегда оправдывается, но это все равно только прогноз, и к истинным причинам смерти этих десяти человек он не имеет никакого отношения.
.461. Опишем распределение случаев смерти по возрастам людей какой-то математической закономерностью и назовем это (не без иронии) «волновой функцией смерти». Теперь наша волновая функция смерти «определяет», какова вероятность умереть в данном возрасте (или, что то же самое, сколько человек умрут из какого-то контингента в том или ином возрасте).
.462. И вот – действительно так и случилось: ровно столько человек и умерло в каждой возрастной группе. Среди них был и мой дядя, погибший в 1973 году в городе Цесис под автомобилем. Но Вы можете мне 24 часа в сутки рассказывать об объективной природе волновой функции смерти, я все равно (такой уж у меня склад ума) до последней своей минуты буду считать, что мой дядя умер потому, что кто-то бросил без ручного тормоза на горке автомобиль, а не потому, что ему умирать предписала волновая функция смерти.
.463. И никогда я не поверю, что электроны летят куда-то только потому, что это предписывает им волновая функция.

11. Два объекта при вероятности
.464. Когда Вы рассуждаете и говорите о вероятности, Вы, на мой взгляд, должны четко, ясно и строго различать и разграничивать два объекта, чтобы не приписывать свойства одного из них другому, не смешивать их, и чтобы Ваши читатели или слушатели ясно понимали, о котором из этих объектов Вы утверждаете то или иное.
.465. Первый объект – это человеческие прогнозы. Они иногда могут быть высказаны в форме количественной характеристики – вероятности. Они субъективны в том смысле, что полностью зависят от выбранных человеком способов (алгоритмов) прогнозирования. Они «имеют под собой нечто объективное» в том смысле, что прогнозы могут оправдываться лучше или хуже. Они условны в том смысле, что полностью зависят от информации, которая имеется в распоряжении прогнозирующего.
.466. Второй объект – это статистические закономерности, существующие в реальной жизни. Допустим, что из поколения в поколение средний рост (при весьма сильных колебаниях индивидуального роста) в Европе был 1,70 м, а в Китае – 1,60 м. Причина этому – присутствие в генофонде европейцев определенных генов, порождающих более высокий рост. Этот постоянный фактор и определяет статистическую закономерность, наблюдаемую из поколения в поколение. К вероятности это все не имеет ни малейшего отношения.
.467. Примеров статистических закономерностей можно назвать безгранично много. Хороший пример – демографические закономерности (смертности, рождаемости, браков и т.д). Я не хочу оскорблять своего скептического читателя, но, по моему, только совершенно запутавшийся в своих понятиях человек может утверждать, что люди рождаются, женятся и умирают из-за вероятности. И, тем не менее, вероятностные расчеты великолепно точно описывают (и прогнозируют) демографические процессы. Если бы кто-нибудь из другого мира видел бы только эти кривые вероятностей и не имел бы ни малейшего представления о том, как протекает земная жизнь, как люди встречаются, любят, рожают и гибнут, то у него вполне могло бы создаться впечатление, что все протекает не только «по» его демографическим уравнениям, но и «из-за» них.
.468. На мой взгляд в роли такого иномирянина находятся те физики и философы, которые в уравнениях волновой функции (этого великолепного прогноза) видят действительную причину тех процессов, о скрытой природе которых они не имеют ни малейшего представления.
.469. Итак – два разных объекта, которые, как я считаю, безнадежно смешаны в теперешних представлениях о вероятности. Для первого объекта – человеческих прогнозов – я предпочитаю употреблять слово «вероятность». Для второго объекта – статистических закономерностей, я предпочитаю слово «вероятность» не употреблять.

12. Путь Вероятности
.470. Теперь взглянем на Путь Вероятности – на эволюцию людских взглядов о ней.
.471. Хотя к различным оценкам возможности или невозможности тех или иных событий прибегали и раньше, но впервые решения типично вероятностных задач изложили в 1654 году в своих письмах друг к другу 31-летний сын юриста Блез Паскаль (Pascal 1623–1662) и 53-летний юрист, советник парламента в Тулузе, Пьер Ферма (Fermat 1601–1665). Эти письма были опубликованы спустя 25 лет в 1679 году в Тулузе.
.472. Узнав в 1655 году о теме, но не зная содержания этих писем двух самых знаменитых математиков Франции, 26-летний голландец Христиан Гюйгенс (Huygens 1629–1695), уроженец Гааги, взялся сам за эти вопросы, и через два года в 1657 году (22 года до публикации писем Паскаля и Ферма) обнародовал работу «О расчетах при игре в кости», в которой теория вероятностей была развита дальше и глубже, чем в письмах обоих французских математиков. Эту работу и следует считать началом науки о вероятностях.
.473. Еще столетие до этого другой голландец Якоб Бернулли (умер в 1583 году) переселился в Швейцарию, где в Базеле разросся род его потомков, давший целую плеяду знаменитостей. Первым из этих знаменитостей был родившийся в том же году, когда Паскаль и Ферма писали свои письма, и получивший имя патриарха рода, Якоб Бернулли (Bernoulli 1654–1705).
.474. Гюйгенс ввел понятие вероятности (не называя ее так), Бернулли дал ей имя и сделал ее предметом новой теории – «искусства предположений». Бернулли сформулировал свое «главное предложение», которое, спустя более ста лет, Пуассон назвал «законом больших чисел» и которое потом не раз пополнялось и обобщалось другими учеными.
.475. Взгляды Паскаля, Ферма и Гюйгенса о сущности вероятности мне не известны, Бернулли же впервые отчетливо и ясно определил, что стоит в позициях полного детерминизма: «Совершенно несомненно, что при данном положении кости, скорости и расстояния, она не может падать иначе, чем падает на самом деле. Так что эти явления из своих ближайших причин следуют не с меньшей необходимостью, чем затмения из движения светил. Однако, обычно только затмения причисляются к явлениям необходимым, падение же кости – к случайным. Причина этого исключительно та, что для определения последующих действий нам недостаточно известно» (цит. по Л.Е. Майстров «Развитие понятия вероятности», с.93–94).
.476. Вопросами о вероятностях занимался и английский пастор Томас Байес (Bayes 1702–1761). Среди его бумаг после его смерти друзьями был найден и опубликован в 1763 году «Опыт решения задачи по теории вероятности», в котором впервые рассматривается условная вероятность, но знаменитой формулы Байеса {.380} там нет. Эта формула, видимо, была приписана ему в конце века 1800 из-за схожей тематики.
.477. Следующий крупный вклад в теорию вероятностей внес Пьер Симон Лаплас (Laplace 1749–1827), о котором я уже много писал. Лаплас дал «классическое» определение вероятности («вероятность события есть отношение числа благоприятствующих случаев к числу всех возможных случаев, причем все случаи предполагаются равновозможными»). Он доказал предельную теорему о распределении отклонений частоты появления события от его вероятности при независимых испытаниях.
.478. Я уже писал о том, что Лаплас был первым представителем механистического материализма, философию которого (с коррекцией времени, разумеется) я признаю безоговорочно. Это касается и взглядов о вероятности. Лаплас начисто отрицал случайность и считал, что вероятность порождена только нашим незнанием.
.479. Убежденным сторонником механистического детерминизма Лапласа был и профессор Парижского университета Симеон Дени Пуассон (Poisson 1781–1840), следующий крупный ученый, работавший в области теории вероятностей. Он сформулировал «теорему Пуассона», частным случаем которой стало «главное предложение» Бернулли.
.480. Взгляды Бернулли, Лапласа и Пуассона на вероятность безраздельно доминировали весь век 1800. Их придерживались и русские представители науки о вероятностях: президент Петербургской академии наук Виктор Яковлевич Буняковский (1804–1889), профессор офицерских училищ Михаил Васильевич Остроградский (1801–1861), профессор Петербургского университета, уроженец Калужской губернии Пафнутий Львович Чебышев (1821–1894), уроженец Рязани Андрей Андреевич Марков (1856–1922) и другие.

13. Появление объективной вероятности
.481. Таким образом, как это ни парадоксально, но теория вероятностей была создана практически исключительно людьми, которые начисто отрицали ее объективную природу и считали вероятность лишь мерой нашего субъективного ожидания в условиях незнания. Как же случилось то, что случилось: почему на вероятность стали смотреть как на что-то объективное?
.482. Повинны в этом физики и та болезнь, которой физика заболела в конце прошлого века. Болезнь эта называется «успехи математики». Применение математики в физике было настолько успешным, что в конце концов физику было уже не обязательно знать материальную природу происходящего, было достаточно написать уравнение, чтобы предсказать результаты экперимента и доказать этим свою правоту. Физики все меньше и меньше оперировали понятиями о материальных вещах, и все больше и больше манипулировали грудами дифференциальных уравнений. В результате некоторые перестали вообще видеть материю за математикой. В настоящее время эта болезнь только усиливается.
.483. Первым из великих ученых, кто отступился от пути Лапласа, был австриец Людвиг Больцман (Boltzmann 1844–1906). При помощи теории вероятностей он описал поведение огромного числа движущихся молекул (иными словами: составил прогноз суммарного поведения молекул). Прогнозы Больцмана были настолько великолепны, что ни он сам, ни его последователи не видели уже необходимости искать движениям молекул другие причины, кроме вероятности.
.484. «Случай, когда все молекулы в газе имеют в точности одинаковые и одинаково направленные скорости, ни на волос не менее вероятен, чем случай, при котором скорость и направление скорости каждой молекулы точно такие, какие она имеет в действительности в определенный момент в газе» – писал Больцман (цит. по Л.Е. Майстров «Развитие понятия вероятности». «Наука», 1980, с.194).
.485. Эти взгляды послужили предметом долгих споров между мной и физиками-целинниками еще в 1967 году в степях Казахстана. Студенты-физики отстаивали взгляды Больцмана, а я их категорически отвергал. Для меня было тогда и остается теперь невозможным (невозможным, а не очень маловероятным), чтобы молекулы газа «ни с сего, ни с того» двинулись все в одну сторону только потому, что каждая из них «имеет вероятность» двигаться в эту сторону. Я считал (и считаю теперь), что если одна молекула полетела вправо, то, значит, ее толкнула туда молекула, которая сама отскочила влево, и невозможно, чтобы все полетели одновременно вправо. Такое возможно только тогда, если считать причиной движения не толчок, а вероятность. Приведенная цитата показывает, что Больцман уже считал вероятность чем-то реальным.
.486. Больцман дал физике мощнейшее оружие – прогнозирование при помощи теории вероятностей, и его заслуги перед наукой несомненны. Но природу своего оружия он понимал неверно, как я считаю. В тяжелой идеологической борьбе, которая, возможно, стоила ему жизни (он покончил самоубийством в условиях враждебного к нему окружения современников), Больцман отстаивал молекулярно-кинетическую теорию, и за это ему вечно будут благодарны все механицисты и материалисты. Но одновременно он положил начало пониманию вероятности как чего-то объективного.

14. Квантовая механика
.487. Планк и другие творцы квантовой механики не отрицали влияния на них идей Больцмана. Если за вероятностями Больцмана еще видны механические движения молекул, то за вероятностями Гейзенберга не видно уже ничего. Остались одни функции вероятностей, и мало кто ищет за ними что-то другое.
.488. Так вероятность из прогноза превратилась в «реальность». Это имело обратное воздействие и на современных творцов теории вероятностей: «Употребление расчета вероятностей для подтверждения наших оценок не должно давать повода к мнению, что математическая вероятность является только числовым выражением нашей субъективной уверенности в наступлении некоторого события. Такое идеалистически субъективное понимание смысла математической вероятности является ошибочным» – так писал в 1971 году в статье «Вероятность» для БСЭ-3 68-летний академик Андрей Николаевич Колмогоров (род. 1903 в Тамбове), который еще будучи «только» 30-летним профессором Московского университета в 1933 году создал знаменитые аксиомы теории вероятностей.
.489. Я же считаю, что вероятности Гейзенберга не менее субъективны, чем вероятности Больцмана, а те и другие не более объективны, чем оценки Эйба, Бена и Криса, с которых началась эта медитация. Вероятности квантовой механики – прогноз и только прогноз, как вероятности термодинамики или демографии, и за всеми этими вероятностями одинаково стоят подлинные физические, материальные причины, и разница между ними только в том, что о настоящих причинах процессов демографии мы знаем очень много, о подлинных причинах процессов термодинамики можем догадаться в весьма общих чертах, а о реальных причинах процессов квантовой механики никто вообще ничего не знает. Единственное, что о них известно: некоторая статистика результатов.
.490. Если бы я был физиком и работал в области квантовой механики, я бы в первую очередь задумался над тем, каковы могли бы быть процессы, если усредненный результат их так хорошо прогнозируется волновой функцией.
.491. Чтобы читатель не подумал, что я стою в оппозиции к физикам вообще, я еще раз напомню ему, что наиболее знаменитый физик нашего века – Альберт Эйнштейн – всю жизнь категорически отвергал объективную вероятность.
.492. В медитации СРАВНЕНИЕ я уже с общих позиций рассмотрел эти вопросы, и то были не просто слова, а описание глубинной логики моих убеждений:
.493. Мир можно объяснить при помощи постулата объективной вероятности.
.494. Но мир так же хорошо можно объяснить и без этого постулата.
.495. Вторая система постулатов проще. Поэтому я ее придерживаюсь.
.496. История теории вероятностей показывает, что я имею о вероятности такие взгляды, каких придерживались ее творцы, и которые безраздельно доминировали в науке до появления статистической физики и квантовой механики. Это, естественно, может навести на мысль, что мои взгляды – анахронизм. На это я могу ответить только одно: хоть и теорию вероятностей создали представители механицизма, но во времена Лапласа и Пуассона они, по сравнению с верующими в бога, находились в еще более ужасающем меньшинстве, чем сегодняшние представители механицизма по сравнению со сторонниками объективной вероятности. Никогда еще раньше механистический материализм не был так силен и не располагал таким громандным количеством фактов, говорящих в его пользу, как сейчас.

*** Конец фрагмента, полная книга в
http://vekordija.narod.ru/R-VIEWS.PDF или в http://vekordija.blogspot.com/2008/07/i.html