...незабвенному любителю "Изящной арифметики"
__________________________________________ 300-летию Леонарда Эйлера, посвящается
Привет, мой друг!
Увы, в течении двух месяцев после отправки 6-го письма я не мог определиться в том, какой из двух элементарных методов решения "задачки" Ферма (уравнение xx+2=yyy в области натуральных чисел) выбрать тебе для очередного письменного изложения. В общем-то, оба метода хороши по своей простоте, но... тот, который будто бы короче в идейном плане, требует большего внимания и терпения при раскрывании скобок в арифметических выражениях (формулах). Этот "краткий" способ (пожалуй, оригинальный по своей элементарности) был мною открыт ещё до 2002 года и применён в качестве воплощения Эйлеровой идеи для доказательства Последней теоремы Ферма на случай кубов. (Заодно появилась возможность упростить так называемый метод "неопределённого спуска", упраздняя традиционный перебор вариантов в хорошо известных попытках "строгого" доказательства.) Теперь мне остаётся надеяться на то, что у тебя хватило немного терпения проверить, к примеру, такое (хотя бы в лоб, ещё не самое сложное!) равенство ppp=ss+2tt из 6-го письма с условием: p=aa+2bb, s=a(aa-6bb), t=b(3aa-2bb). К подобным формулам нам придётся вновь обратиться в дальнейшем.
В общем, пока я ещё не решился на что-нибудь определённое! Более того, у меня не умерла надежда (одна из причин моей задержки с письмом) на 3-ий вариант, который для нас стал бы, пожалуй, совершенно другим по сравнению тем, что основано на идеях Леонарда Эйлера.
Как бы там ни было, а здесь нам не избежать, пожалуй, так называемой Основной теоремы арифметики, если мы желаем одолеть и "задачку" Ферма, и его Последнюю Теорему, хотя бы в каких-нибудь частных случаях! В связи с этим нам весьма желательно определиться с понятием "канонического" (от греч. kanon - норма, правило) разложения на простые множители любого составного числа, сначала в области натуральных чисел, как обычно. Более того, целесообразно иметь такое понятие, чтобы была мозможность легко, но строго ставить вопрос (в каком-то смысле) о единственности разложения на простые множители. При наличии нескольких путей к разложению на множители составных чисел, решение вопроса о единственности некоторых разложений для этих чисел почти непосредственно связано с поиском достаточно простых методов решения разнообразных задач.
Кстати говоря, мой друг, эта "главная" теорема арифметики имеет забавную многовековую историю! В отличие от традиционного изложения, я предложу здесь соответствующую теорему в такой форме, которая будет более удобной и, пожалуй, наиболее подходящей к достижению нашей цели. При этом, можно будет легко убедиться в равнозначности нашей "новой" теоремы и Основной теоремы в любых (традиционно классических) хорошо известных формулировках. Да к тому же, можно будет легко и почти буквально(!) распространить "новую" теорему из области натуральных чисел на всё множество целых (а в перспективе даже на некоторые множества так называемых алгебраических чисел).
Для достижения главной цели здесь, в первую очередь, желательно приступить к понятию "канонического разложения", начиная с тех чисел, которые называются "степенями" по какому-нибудь "основанию" с некоторыми "показателями степени". Они определяются (индукционно) последовательностью произведений (умножений) с одним и тем же числом (основанием) в качестве множителя (множимого). При этом, их можно представить именно через последовательность разложений на два множителя (с применением обозначения деления). Для начала, любое натуральное число объявляется "первой" степенью по основанию самого себя, а точнее - каждое число m в качестве степени по основанию m выделяется так называемым её показателем, который задаётся равным единице, естественно. Далее, пусть зафиксированы ещё два натуральных числа n и j, и при этом: n//m и j>1. Данное число n можно провозгласить степенью числа m (по основанию m) с показателем j, если оно разложимо в произведение n=(n/m)m, где натуральное число n/m - тоже степень числа m, но с меньшим показателем на единицу: j-1. (Если j>2, тогда деление можно продолжить: следующее число (n/m)/m - это степень с показателем j-2). А так как число m, в частности, объявлено первой степенью самого себя (по основанию m с показателем равным единице), процесс деления очередной "меньшей" степени - каждый раз на число m - обязательно закончится с появлением единицы: (..(n/m)/m...)/m = 1, но только тогда, когда число делений ("косых" чёрточек), а также и количество экземпляров числа m (в качестве знаменателя дроби) окажутся равными числу j - показателю степени числа n. (Для знатоков в арифметике, с учётом соотношений m>1, m=1·m и 1[/]m, можно и целесообразно было бы объявить единицу в качестве "нулевой" степени числа m - как и степень по основанию любого натурального (ненулевого вещественного) числа с нулевым показателем. Вслед за этим, число m непосредственно определилось бы как первая степень самого себя согласно равенствам m=(m/m)m, m/m=1.)
Раньше мы уже имели дело с некоторыми степенями: квадрат n=mm, куб n=mmm = (mm)m=m(mm) = mm·m=m·mm (см. 1-ое письмо). Здесь имеют место соответствующие равенства: (n/m)/m=1 - для квадрата, ((n/m)/m)/m=1 - для куба. Таким образом: квадрат - вторая степень числа, а куб - третья. В существовании других (натуральных) степеней можно убедиться естественно через последующее умножение - повторное с тем же m в качестве множителя или множимого, например, (mm·m)m = m(m·mm) - четвёртая степень, и так далее: (mm·...·m)m = m(m·...·mm) - с очередным привлечением(применением) справа или слева числа m в качестве сомножителя. Поскольку и здесь, и при других всевозможных способах умножения с использованием одного и того же количества экземпляров числа m получится, как известно, один и тот же результат, принято упрощённое изображение (обозначение) степени: n=mm...m. В таком представлении (определении) степени числа m, её показатель равен количеству используемых экземпляров числа m, что должно быть заодно и тем же количеством делений на число m с последующим итогом появления единицы, в чём нетрудно убедиться.
Здесь и в других письмах степень числа m с показателем j будет обозначаться "одноэтажным" символом m^j, в отличие от принятого "двухэтажного", к примеру: m·m·m·m = m^4. (В связи с отсутствием у меня подобающего навыка в работе с компьютерной техникой я не смогу воспроизвести современное "математическое" изображение степени с его показателем. Возможно, это и к счастью!)
Однако, даже в случае степени простого числа p (m=p) возникает вопрос: любая ли степень
p^j какого угодно простого числа p (особенно с большим показателем j) имеет лишь единственное разложение на простые множители n=pp...p? И здесь мы вновь встанем перед принципиальной необходимостью воспользоваться свойством альтернативной делимости простых чисел (см. 2-ое письмо). Если бы мы не знали этого свойства делимости на простые числа, нам всё ж таки пришлось бы как-то доказывать, невозможность, к примеру, таких равенств pp=qr=ttt с различными простыми числами p,q,r,t (они для нас как очевидные нелепости, и это можно подтвердить, но... пока лишь на конкретных сугубо частных примерах в ограниченном числе, естественно). И чтобы не было никаких сомнений, я предлагаю здесь (наконец-то! - см. внизу) убедиться в двух принципиально важных и равнозначных свойствах любого простого числа, таких как альтернативная делимость и признак простоты. К тому же, я надеюсь на то, что для тебя равнозначность таких двух свойств совершенно очевидна, поэтому мы будем называть основным свойством простого числа каждое из этих двух. Итак, учитывая основное свойство простого p, нам желательно убедиться в том, что любая степень n простого числа p не имеет другого простого делителя q. Действительно: если бы нашёлся такой делитель q числа n, то он был бы делителем каждого из чисел: n/p, (n/p)/p, ... и т.д. И в конце концов, обнаружилась бы нелепость: p//q.
Любое натуральное число с единственным простым делителем среди всех его делителей будем называть "метапростым" (от греч. meta - через, после). В частности, любое простое число, в силу определений, теперь можно называть и метапростым. И более того, любая степень простого числа, в силу основного свойства простых чисел, оказывается метапростым числом. С другой стороны, очевидно мы имеем и обратное: любое метапростое как число с единственным простым делителем p является некоторой степенью числа p. Стало быть, каждое метапростое число n с делителем p как некоторая степень с основанием p и показателем j имеет символическое изображение: n=p^j=pp...p, и в связи с этим, его мы и будем называть именно "каноническим разложением на простые множители" данного метапростого числа. Число j будет называться "порядком" метапростого числа n. В частности, любое простое p - это метапростое число первого порядка - имеет "канонический" вид p=p^1, поскольку единица получается уже после первого деления простого числа на себя. Далее, можно получить метапростые числа второго и третьего порядка: "простой" квадрат pp=p^2 (вторая степень простого числа) и "простой" куб ppp=(pp)p=p(pp)=p^3 (третья степень).
Для краткости и удобных обозначений, любое метапростое число (степень), мы будем обозначать прописной (большой) буквой в соответствии с той строчной, которой был обозначен простой делитель данного числа (основание степени). В частности, буква P будет обозначать одно из метапростых чисел: p, pp, ppp, ..., и т.д., и любое такое число, с конкретным указанием на простой делитель p, будет кратко называться "метапростым от p".
В качестве некоторого итога из предыдущих рассуждений можно предъявить (сформулировать) по существу уже доказанное утверждение:
Лемма. Любая степень некоторого простого числа p является метапростым от p - числом P. И любое метапростое число P не что иное как некоторая степень с основанием p и с неким показателем j, и она сама собою определяет единственное(!) "каноническое разложение на простые множители" данного метапростого числа: P=pp...p=p^j.
Пусть нам дано: два числа n, p и делимость n//p, где p - простое. Тогда метапростое число P в качестве делителя числа n будет называться "метапростым делителем от p" (для) данного числа n, а если оказалось ещё: (n/P)[/]p (или равнозначное n[/]pP), тогда число P будет называться "mega-простым делителем от p" (mega - большой, от греч.) или "полным" метапростым делителем числа n. Стало быть, если P=p^j, n//P, но при этом: n[/]p^(j+1), тогда P - mega-простой (полный метапростой) делитель от p (для) числа n. Для любого заданного числа, которое делится на некое простое p, существует метапростое P в качестве mega-простого (полного метапростого) делителя от p для данного числа. Это следует из очевидного свойства монотонного увеличения метапростых чисел в зависимости от возрастания порядка: p^j=P < P+(p-1)P=pP=p^(j+1). Как натуральное число метапростое достаточно большого порядка обязательно превзойдёт по величине любое заданное число. Поэтому mega-простой делитель P числа n равнозначно определяется через наименьшее метапростое число, скажем, p^k (k>1) среди тех, которые не делят данное n. Тогда имеем метапростое число P=p^(k-1) в качестве mega-простого делителя числа n (n//P). Число j=k-1 равное порядку метапростого числа P=p^j как полного (mega-простого) делителя числа n будет называться "показателем делимости" (числа n на p) или попросту "порядком" mega-простого делителя числа n (n//P=p^j). Здесь, я думаю, можно оставить в качестве лёгкого простого упражнения такое утверждение (без доказательства): два разных числа, метапростых от p, R=p^j, S=p^k удовлетворяют неравенству R>S в том и только в том случае, когда R//S, и при этом: j>k. В связи с этим, нетрудно убедиться в единственности mega-простого делителя от p произвольно взятого числа n.
Теперь можно кратко приступить к достижению нашей основной цели в связи с "каноническим разложением на простые множители" любого натурального числа (кроме единицы). Семейство метапростых чисел [P,Q,...,R] соответственно от p,q,...,r, которые упорядочены по величине: p<q<...<r, будет называться "каноническим".
Определение (Каноническое разложение на простые множители).
Равенство n=PQ...R, в котором некоторое число n предъявляется (символически изображается) как произведение метапростых чисел из канонического семейства [P,Q,...,R], называется "каноническим разложением на простые множители" данного числа.
Чтобы исключить какие-нибудь возможные недоразумения, желательно иметь в виду следующее: равенство n=PQ...R - это символическое изображение (предъявление) одного и того же результата в качестве числа n, что можно получать разнообразными путями через произведения некоторых двух чисел, последовательно возникающих в заданном порядке, например, так: (PQ)·...·R, где последовательность умножений двух чисел начинается слева и продолжается вправо, или P·Q(...R) - в обратном направлении, когда начало последовательности умножений двух чисел находится в правом конце, где расположено число R в качестве сомножителя вместе с предыдущим (слева).
Справедливо следующее утверждение (равнозначное Основной теореме арифметики в других традиционных формулировках):
Теорема 1 (в качестве Основной теоремы арифметики).
Любое натуральное число, за исключением единицы, имеет одно и только одно "каноническое разложение на простые множители".
Доказательство этой "главной" теоремы, хотя и весьма несложное, я оставляю на следующий раз и надеюсь: его может найти любой заинтересованный читатель, знающий так называемый метод математической индукции (здесь этот метод можно применить относительно количества множителей с учётом леммы о метапростом числе, уже выше доказанной).
В заключение, я предлагаю давным-давно обещанное доказательство Основного свойства простого числа, но в виде "обобщённого признака простоты", чтобы стало более очевидным то, что его два хорошо известных свойства альтернативной делимости и признака простоты (см. 2-ое письмо) равнозначны друг другу.
Теорема 2 (об Основном свойстве простого числа).
Любое простое число p не может быть делителем никакого (составного) числа вида ms, если дано: p[\]s и 1<m<p.
Предположим, что существует число в виде произведения ms с данными условиями леммы, и при этом: ms//p. Тогда мы можем предполагать, что такое число ms - либо единственное среди всех составных, удовлетворяющих условиям леммы, либо наименьшее среди тех составных, которые в условиях леммы обладают той же делимостью на p. Далее, воспользуемся равенством p=m[p/m]+{p|m}, где {p|m}<m (применение формулы общего разложения числа на множители с остатком, который как некое натуральное число присутствует, поскольку для простого p равенства p=m[p/m] не существует). Умножение на s всех чисел данного равенства, приводит к ещё одному: ps=ms[p/m]+{p|m}s, из чего следует делимость {p|m}s//p. Появление такого числа противоречит некоторым нашим предположениям относительно свойств числа ms, поскольку число {p|m}s удовлетворяет условиям теоремы 2, и соблюдается неравенство ms>{p|m}s (как следствие).
Наличие противоречия убеждает нас в справедливости теоремы: ms[/]p.
Всего доброго тебе и успехов!
_________
Примечания
а) простое p имеет разложения в виде произведения двух (и более) чисел лишь с помощью единицы (к примеру: p=p·1=p·(1·1)=p·1·(1·1)=1p), поэтому его изображение p=p^1 с названием "каноническое разложение на простые множители" имеет переносный смысл - всё это принимается для удобного и весьма полезного единообразия в формулировках;
б) кстати, ради того же единообразия желательно иметь подобное изображение и для единицы 1=p^0 как частный случай нулевой степени произвольного ненулевого числа и называть единицу заодно метапростым числом нулевого(!) порядка от того или иного простого p в зависимости от ситуации;
в) единица 1=p^0 на случай, когда p[\]n, может играть роль mega-простого делителя нулевого порядка для числа n, что согласуется с простым числом p=p^1, которое здесь является наименьшим в семействе всех метапростых от p, тоже не делящих данное число n (символически обозначенная соответствующей буквой P, единица как бы становится метапростым числом от p с "нулевым показателем делимости" (нулевого порядка) и, заодно, неким общим mega-простым делителем от p для всех чисел, которые не делятся на p);
г) в области целых чисел отрицательные метапростые P от p (p>1) порядка j, когда число j чётное, не являются степенями, и при этом для любого метапростого, в общем случае, допустимы варианты p^j=(-p)^j = P>0 или -1·p^j = -(-p^j) = P<0, где j - чётное, и соответственно p^j = -(-p^j) = P>0, -p^j = -1·p^j = P<0 с нечётным j (здесь порядок j - это число делений или на p, или заодно и на -p: P/p, (P/p)/(-p),... до тех пор, пока очередная (точная) делимость окажется невозможной), поэтому мы будем допускать определение "канонического разложения" с применением степеней неединственным образом (в строгом смысле!) - для метапростого P под единственностью разложения будет пониматься лишь единственность его правильного(!) простого делителя p и его порядка j.