А.В.Суворов говаривал: «Плох тот солдат, который не хочет стать генералом». В иносказательном смысле это значит, что в любом деле человек должен стремиться достичь вершины возможного.
Так уж получилось, что жизнь несколько раз забрасывала меня в математику. Началось это еще в восьмом-девятом классе с книг про Э.Галуа и Н.Абеля из серии «Жизнь замечательных людей». Потом, во время учебы на физфаке МГУ (1961-64), два года преподавал в вечерней школе в Москве, а однажды (по просьбе дирекции) даже замещал заболевшего учителя в Пушкинской средней школе №1.
На мехмат МГУ я поступил лишь в 1964 году, однако после первого семестра удалось перевестись на заочное отделение экономического факультета, куда меня тоже сильно влекло и куда обычным способом я поступить никогда не смог бы из-за плохого знания русского языка и истории.
По окончании факультета (по кафедре «Политическая экономия» я со странной математической базой трех университетских факультетов преподавал линейную алгебру на курсах программирования при Совмине РСФСР, а потом совершенно невероятным образом Н.Н.Вильямс (муж известной правозащитницы Л.Алексеевой – о чем я не знал до самой их эмиграции в 1974 г.) взял меня «с улицы» на кафедру экономической кибернетики в Московский инженерно-экономический институт им. С.Орджоникидзе, где я преподавал математические методы программирования и экономическую кибернетику.
Так или иначе, но математика была областью моей деятельности, ну и потому вершина интеллектуальной трудности – Великая теорема Ферма – не могла не привлекать к себе мое внимание. В первые лет пять после школы я обращался к ней изредка. Но после создания в 1985 г. своей методики изобретательства и изобретения всего возможного, в чем я хоть немного разбирался, и тщетной многолетней попытки продать хоть что-нибудь в январе 1990 г. я засел за Великую теорему (кратко – ВТФ). Нередко мне казалось, что мне удалось найти решение. Начиналась переписка с университетами, которая, однако, рано или поздно заканчивалась одним: опровержением.
В математическом мире почему-то принято считать, что не пытаться доказать ВТФ – дело не постыдное; постыдно – пытаться, но… естественно, не доказать. Так что быть ферматистом, т.е. пытающимся доказать ВТФ, требует от человека большого мужества, так как все они априори награждаются позорной кличкой: ферманьяк (а то и ферманька). Лично я – человек с крепкой психикой, меня насмешки никак не достают, а вот ближним выдерживать их бывает нелегко. Это все равно как иметь мужа или отца не просто чекнутого, а еще до смешного уродливого, на которого все тычут пальцем: «Смотрите, смотрите, а у него нос подбородка касается!». Жены ферматистов, может быть, относились бы к своим мужьям более снисходительно, если бы они занимались неразрешимой проблемой для себя и складывали бы свои расчеты просто «в ящик». Но ферматист каждый раз, найдя правдоподобный подход, непременно хочет показать его посмеивающимся над ним коллегам, которые сами никогда теоремы не касались, ибо с детства усвоили негласное решение Академии наук: Великую теорему отнести к разряду вечных двигателей. И в самом деле, за три века тысячи крупных специалистов и миллионы любителей так и не смогли найти ее доказательство! А ведь сам мэтр вроде бы недвусмысленно указывал на полях четвертой книги «Арифметики» Диофанта: полей, для того чтобы привести свое сказочное доказательство, недостаточно. Если бы доказательство требовало бы многостраничной рукописи, вряд ли П.Ферма заикнулся бы о полях. Значит, он имел в виду доказательство максимум в одну-две страны текста.
Учитывая это обстоятельство, я немедленно прекращал расчеты, если было видно, что их объем переваливает за две страницы. С другой стороны, мусолить две страницы – дело дебильное: ошибка, если она есть, должна быть налицо. Однако мой поиск ошибки в одном двухстраничном доказательстве затянулся на… тринадцать лет.
Положение усугубилось еще и тем, что однажды (в 2000 г.) я получил на него одиннадцать положительных отзывов математиков, в том числе и от специалистов по ВТФ. И только участие на мехматовском форуме показало мне, что мои расчеты не выявляют противоречие в равенства Ферма. А поскольку из многих тысяч подходов этот мой подход был самым многообещающим, с активным исследованием Великой теоремы я завязал. Я вспоминал о ВТФ лишь тогда, когда обстоятельства не позволяли мне заниматься чем бы то ни было: например, в длительной поездке или в магазине – в ожидании, пока жена «развивает свои потребности».
Однако вряд ли попытки найти элементарное доказательство Великой теоремы когда-нибудь прекратятся. В корректной форме они обычно выглядят так: найдите ошибку в представленном варианте доказательства ВТФ. Впрочем, дело тоже не бесполезное, так как тренирует математическое мышление.
Я предлагаю моим читателям несколько идей доказательства ВТФ. Доказательства ошибочны, но идеи интересны.
***
Доказательство ВТФ с помощью
Теоремы о соседних делимых
Если число g=a^n+b^n (где a и b – натуральные) делится на d, то ближайшими к g числами, делящимися на d, есть числа (a-d)^n+b^n и (a+d)^n+b^n.
(Простое доказательство теоремы основано на Лемме:
«Если число a^n+b^n делится на простое d>1, а числа a, b и простое e, где 0<e<d, на d не делятся, то число (a+e)^n+b^n на d не делится», доказательство которой будет рассмотрено позже.)
Собственно доказательство ВТФ
Из равенства
1°) A^n+B^n=C^n, где n>2 и A, B, C (C>A>B) натуральные, следует, что
2°) C/2<C/2^(1/n)<A<C (при A=B мы имеем равенство: A2^(1/n)=C^n), B>1 и
3°) A+B<AB.
Рассмотрим неравенство
4°) F=D^n-(A^n+B^n)>0, где D=A+B и, следовательно, число F делится на AB.
Найдем число G, соседнее с числом F и которое делится на AB. Согласно Теореме о соседних делимых это будет число G=(D-AB)^n-(A^n+B^n), которое, согласно 3°, является уже отрицательным, и, следовательно, целое значение числа D между A+B и A+B-AB, удовлетворяющее условиям G=0 и G делится на AB, при n>2 отсутствует.
(При n=2 отрицательное число A+B-AB по абсолютному значению может оказаться меньше числа A+B и равенство G=0 – возможным.)
6 июня 2010
++++++++++++++++++++++++++++++++
Об одном незавершенном доказательстве ВТФ
Существует очень простое и краткое (строк в пять) доказательство ВТФ, основанное на следующей теореме для степенных биномов:
Теорема
Для взаимнопростых чисел A и B и A+B не кратном простой степени n>2
каждый простой делитель числа R в тождестве
A^n+B^n=(A+B)R,
где A=a^{n^k} и B=b^{n^k}, а числа a и b не являются одновременно n-ми степенями,
каждый простой делитель m числа R представим в виде m=dn^{k+1}+1, где d не кратно n.
***
К сожалению, у меня нет полного доказательства этой теоремы. Я нашел (с помощью формулы решения линейнного диофантова уравнения) доказательство лишь того факта, что число R не содержит делителей вида m=dn^k+1.
Удастся ли доказать, что R не содержит делителей вида m=dn^{k+2}+1 и т.д.?
А может, удастся доказать ВТФ без этой части…
Пока на сегодня доказан лишь базовый случай: число R (или P, или Q) содержит хотя бы один делитель m=dn+1. (Это, в частности, означает, что теперь число A+B-C кратно n^3.)
(3 июля 2010)
+++++++++++
Доказательство Великой теоремы Ферма для взаимнопростых A, B, C и простого n>2.
(Самая великолепная шутка)
Доказательство основано на простом следствии из малой теоремы Ферма:
В системе счисления по основанию n число R в равенстве A^n+B^n=(A+B)R, где A, B и A+B не кратны n, оканчивается на цифру 1.
Случай 1: ABC не кратно n
Как известно, в этом случае в равенстве Ферма A^n+B^n-C^n=0, или
1°) (C-B)P+(C-A)Q-(A+B)R=0, имеет место следующее представление чисел:
2°) C-B=a^n, P= p^n; C-A=b^n, Q=q^n; A+B=c^n, R=r^n.
3°) При этом числа P, Q, R оканчиваются на 01.
Доказательство Случая 1
Рассмотрим равенство 1° по двузначным окончаниям чисел (т.е. по модулю n^2).
Отбросив множители P, Q, R как оканчивающиеся на 01, мы получаем уравнение
4°) (C-B)+(C-A)-(A+B)=0, или a^n+b^n-c^n=0 (по модулю n^2), которое тоже может быть представлено в виде 1°:
1_1°) (C_1-B_1)P_1+(C_1-A_1)Q_1-(A_1+B_1)R_1=0, где
2_1°) C_1-B_1=a_1^n, P_1= p_1^n; C_1-A_1=b_1^n, Q_1=q_1^n; A_1+B_1=c_1^n, R_1=r_1^n.
3_1°) При этом числа P_1, Q_1, R_1 оканчиваются на 01.
И т.д.
Очевидно, если числа A, B, C содержат хоть один делитель, оканчивающийся на цифру, отличную от 1, то процесс освобождения от сомножителей, оканчивающихся на 01, будет БЕСКОНЕЧНЫМ. Это означает, что числа A, B, C являются бесконечными.
Случай 2, когда A (или B, или C) кратно степени n, доказывается с помощью того же самого аппарата, но несколько сложнее.
В чем шутка?
Полное доказательство Великой теоремы Ферма
Допустим, что для взаимнопростых натуральных a, b, c (c>a>b) и n>2 существует равенство:
1°) a^n+b^n=c^n, где, как известно, a-b>1.
Тогда число
2°) D=c^n+a^n=a^n+b^n+a^n=2a^n+b^n является суммой двух степеней.
Однако совершенно очевидно, что ни при каких целых значениях чисел a и b этого быть не может, ибо число b^n является n-й степенью при любом b, в то время как число 2a^n не является n-й степенью ни в каком случае.
Таким образом, равенство 1° в целых числах не существует. ВТФ доказана.
==============
Показать неприменимость доказательства к случаю n=2 предоставляется читателям. Укажу лишь, что в этом случае число a-b=1 и равенство Ферма сводится к виду:
2ab+1=c^2.
(15 августа 2010)
Текст правильного доказательства см. на сайте http://www.proza.ru/2010/09/24/1