...и незабвенному любителю "Изящной арифметики"
__________________________________________ 300-летию Леонарда Эйлера, посвящается
Ах, мой друг!
Вновь спешу сообщить. Повесть моя к тебе, как некий сериал арифметических этюдов, приняла, если можно так сказать, остросюжетный поворот. В постскриптуме 4-ого письма я отметил возможность другого, пожалуй, более простого доказательства Теоремы о делимости на простое число p=4[p/4]+3. Я надеялся на твой интерес к некоторым книгам по элементарной арифметике (для юных и любознательных) и, как следствие, на твой отзыв в связи с тем, что равенство rc-sd=1 доказывается весьма просто как общезначимая хорошо известная теорема - для любых, заранее заданных, натуральных взаимно простых чисел c,d существуют некие натуральные числа r,s для этого равенства. По крайней мере я мог бы и там и здесь в пяти строках дать полную подсказку к тому, каким образом этот факт можно легко обосновать, и ждать от тебя, хотя бы такого, вопроса: "Почему нельзя было именно так и закончить доказательство (тех пресловутых) Теорем?"
Да,... но дело в том, что имеется и третий вариант доказательства, пожалуй, самый достойный для "Изящной арифметики!" Я его держал на последний момент, как фокусник иной раз к окончанию своего выступления держит несколько кроликов (где-то за пазухой?). И вместо того, чтобы этим вариантом и покончить... я вовсю старался (безуспешно?) раздвигать твой кругозор - широту твоих интересов в/к арифметике!
Предлагаю последний изящный(!) вариант доказательства Теоремы. Ещё в 3-ем письме мы убедились в том, что достаточно доказать невозможность делимости aa+bb//p, где a,b - натуральные взаимно простые числа (p=4[p/4]+3 - простое). Оказывается, вместо "взаимной простоты" достаточно лишь предполагать, что p[\]ab, допуская делимость aa+bb//p. И вот тут-то и надо брать быка за рога, о чём была речь в 3-ем письме! Далее, вместо того простого числа q (см. 3-ье и 4-ое письма) нужно сразу же удалять... да-да, именно число p, данное в Теореме, а стало быть, в согласии с частным случаем тождества Фибоначчи (ax-b)(ax-b)+(a+bx)(a+bx)=(xx+1)(aa+bb) переходить к другим целым числам c=(ax-b)/p и d=(a+bx)/p при некотором натуральном x<p. И тогда мы будем иметь xx+1//p, подобно тому, что уже выяснилось в 5-ом абзаце 4-го письма для простого q. И всё готово к применению нашего "монотонного спуска", которым было завершено доказательство Теоремы Ферма/Эйлера для простого числа p=4[p/4]+1 во 2-ом письме. Однако здесь "спуск" приводит к абсурду. В самом деле, поскольку любой "спуск" не может быть бесконечным, здесь он должен закончиться представлением числа p=4[p/4]+3 вновь в виде суммы лишь двух/!/ квадратов целых чисел, что является очевидной нелепостью.
Итак, у нас на очереди Теорема о делимости aa+7bb//n, где n>7 - нечётное (если не считать моего долга: обосновать "свойство простоты" простого числа или "альтернативной делимости" его, включая теперь и это равенство rc-sd=1, о существовании которого была речь в начале письма). Однако следуя остросюжетности моего повествования в письмах (тебе, мой друг!), коль мы "застряли" на числах вида p=4[p/4]+3, мне хотелось бы показать: как можно применить метод доказательства Леммы (для Теоремы Ферма/Эйлера) из второго письма к другой знаменитой "задачке" Ферма: о разложении простого числа p=8[p/8]+3 в "квадратичную форму" p=aa+2bb, где a,b - целые числа. Эта проблема оказалась для Л.Эйлера, пожалуй, чуть труднее, чем аналогичная для числа p=8[p/8]+1. По иронии судьбы для нас, наоборот, первый случай p=8[p/8]+3 будет несколько проще второго (так и хочется сказать: проще пареной репы!), и более того, квадратичная форма p=aa+2bb в обоих случаях обнаруживается по одной и той же схеме, которая подобна схеме нашего доказательства Теоремы Ферма/Эйлера для p=4[p/4]+1, с использованием своей "предварительной леммы", а затем - соответствующего "монотонного спуска".
Подробнее обо всём таком из обещанного мною здесь (и в других письмах) - в следующий раз! Договорились?...
Успехов тебе и всего доброго!
PS: Такой "трюк", предлагаемый здесь для краткого доказательства теорем из 3-его письма, нельзя непосредственно распространить на случай делимости "квадратичных форм", когда их делитель является составным(!) числом. Однако условие "взаимной простоты" слагаемых в квадратичных формах способствует тому, чтобы распространить такой же "трюк" на общий случай делимости! Об этой возможности я напишу, когда настанет время приступить, в частности, к решению задачи Пелля.
Удачи тебе в учёбе!