...моему любителю "Изящной высшей арифметики"
____________________________________ 300-летию Леонарда Эйлера, посвящается
Мой друг, прошло уже более полугода с того дня, когда я тебе письменно сообщал о моём удивительно простом(!) методе прохождения тернистого пути к решению "задачки", которая получила название: теорема Ферма/Эйлера. (И такой метод имеет перспективы применения к решению других задач!) Более того, по существу в том письме я схематично изложил лишь один вариант простого доказательства этой знаменитой теоремы о том, что любое натуральное простое число p, имеющее вид p=4n+1 (число n естественно тоже "в натуре"), обязательно равно сумме двух (точных) квадратов: p=aa+bb, где a,b - некие целые числа.
Пьер Ферма (1601-1665) мог бы поместить такое решение задачи на полях любой тогдашней книги - сделать то, чего Эйлер не смог бы, пожалуй, сделать со своим первым доказательством, опубликованном лишь в 1758 году. ("Удивительное!" доказательство своей Великой теоремы, которая оказалась "Последней неприступной крепостью" на 330 лет для математиков после смерти П.Ферма, сам Ферма, как известно из его примечаний, не смог поместить на полях книги Диофанта!)
Поскольку я не получил от тебя, мой друг, никакого отклика на моё первое сообщение, я решил, что это связано с отсутствием навыков в так называемой "высшей" арифметике. В свою очередь, такие "пробелы" образовались в связи с отсутствием хороших (и доступных по цене) учебников по "элементарной" арифметике. К тому же, некоторые книги-учебники настолько "заумные", что вызывают отвращение и к другим подобным "наукообразным" книгам. И поэтому в этом письме я предлагаю тебе (и возможно, твоим друзьям-товарищам) начальные знания из арифметики - в частности, из моего будущего учебника, который я недавно начал сочинять (и возможно, в других письмах, если на то будет воля божья, я предложу тебе более глубокие знания).
Хорошо известно, что среди натуральных чисел имеются так называемые "составные": их можно разложить на два множителя, согласно определению произведения двух чисел: s·m=sm=m+m+...+m, где s>1, m>1; здесь слагаемое m используется (повторяется) при суммировании s раз. При этом имеем s·m=sm=m·s=ms.
С другой стороны, можно сказать, что (по определению) натуральное число n>1, является суммой единиц n=1+...+1=n·1=n1=1n, а среди всех натуральных чисел, которые больше единицы, вызывают интерес так называемые простые; будем их и в дальнейшем обозначать через p и иметь в виду, при этом: p>1. Каждое простое число представимо в виде суммы с одинаковыми слагаемыми только таким образом: p=1+...+1; т.е. согласно определению натуральных чисел, последовательное суммирование (лишь) с помощью единицы для таких простых - единственный способ представлять себя в виде разложения в сумму с помощью одного и того же числа. И следовательно, они имеют только такие разложения на множители: p=p1=1p.
Пусть дано некоторое составное число n=sm. Поскольку определение числа sm дано через суммирование sm=m+m+...+m (как произведение двух чисел), можно называть множитель s заодно и делителем числа n; оно как бы делит число n на одинаковые части в виде числа m, которое является слагаемым для нашей суммы sm. К тому же, может оказаться такой случай, когда известен конкретный вид числа s (например, в некоторой системе счисления - в виде позиционного представления с помощью цифр), но не известен вид другого множителя (число m). В таких случаях, естественно можно воспользоваться обозначением деления чисел: n/s=m. Например, если мы заведомо знаем (догадались как-то) о том, что некоторое число n - чётное (т.е. к примеру, оказалось s=2), тогда имеем n=2m, где m - тоже некое натуральное число: m = n/2. Аналогично: поскольку sm=ms, имеем n/m=s. (Обозначение деления было введено также и в связи с понятием дробей, рациональных чисел с соответствующим понятием деления для таких новых чисел.) Таким образом, множители составного числа n=sm стали называться и (точными) делителями его. Более того, единицу и само число n тоже принято называть делителями, поскольку имеем n=n·1=n1=1n. При этом, простое число p имеет только два делителя: 1,p. Его в виде произведения двух натуральных чисел можно представлять только двумя равенствами : p=1p=p1.
В связи с вышеизложенными обстоятельствами, любой делитель s некоторого числа n будем называть "правильным", если s>1. С помощью такого понятия весьма удобно и легко давать Определение Простого числа уже во множестве всех так называемых целых чисел (я в каком-нибудь другом письме сообщу тебе об этом), состоящем из семейства положительных чисел (в качестве, так сказать, образа натуральных чисел) вкупе с отрицательными числами (а между ними, как известно, располагается число так называемое нулевое - число ноль).
(Вспоминается стишок моего братишки по поводу Определения простого, но именно натурального(!) числа:
Оно лишь с единицей
Готово поделиться...
Её ж угодно Богу
Ко всем приклеить сбоку!)
На тот случай, когда некое число b является делителем числа a, будем применять два обозначения: b\a - "число b делит (точно, без остатка!) число a", либо так a//b - "число a делитсЯ (точно) на b" (здесь две косые чёрточки для того, чтобы не смешивать обозначение делимости с результатом деления: a/b - некое целое число). Если "число a НЕ делится на p", то будем обозначать так: a[/]p или p[\]a (p не делит a).
Предположим, мой друг, что нам даны два натуральных числа b и q. В тех случаях, когда q<b, но число b не делится на q (если b<q, то очевидно b[/]q) будем пользоваться обозначением [b/q] - для некоторого натурального (и единственного!) числа, которое определяется неравенствами [b/q]q < b < [b/q]q + q как целая часть "неточного деления b/q" (целая часть так называемого рационального числа b/q). При этом, когда b//q, естественно будем полагать: [b/q]=b/q. Более того, желательно ввести обозначение {b|q} = b-[b/q]q, а натуральное число, обозначенное таким образом, также, как обычно, называть "остатком" от неточного деления b/q. Такой остаток можно было бы определить однозначно, предполагая точную делимость (b-{b|q})//q и неравенство {b|q}<q. Если b<q, то целой части [b/q] попросту не существует, однако само число b можно называть, по существу, остатком (от "невозможного" деления b/q) с тем же обозначением {b|q}=b. В связи с этим, будем пользоваться обозначением {|q} для семейства чисел: 1,2,..., q-1, вкратце называя их остатками делителя q, а точнее остатками при неточном делении на q.
В области целых чисел, в силу определения [b/q] = (b-{b|q})/q, такое число [b/q] существует при любых b и q>0; оно равно нулю, когда 0<b<q. Здесь необходимо вновь отметить: остаток можно определить однозначно, предполагая точную делимость (b-{b|q})//q и неравенство {b|q}<q. Обобщённо можно сказать: используя те же обозначения (b, [b/q], {b|q}, где q>0, но b - какое угодно целое), все определения как целой части, так и остатка буквально (автоматически) можно оставить неизменными. И основные свойства определяемых чисел как натуральных, так и целых сохранятся - могут изображаться неизменно в том же (буквенном) виде. При этом, если b//q, будем иметь: {b|q}=0. Более того: [0/q]=0, естественно, и [b/q]=0, когда 0<b<q. (С другой стороны, если дано: -q<b<0, тогда, согласно определениям целой части и остатка, имеем 0<{b|q}=q+b<q и [b/q] = -1.)
Итак, при любом целом (или натуральном) q>0 обнаруживается формула: b = q[b/q]+{b|q} для всех целых (натуральных) чисел b. Что касается натуральных чисел, здесь желательно учитывать следующее: равенство {b|q}=0 имеет место лишь только в том случае, когда дана точная делимость b//q, и поэтому b=q[b/q], что для натуральных чисел имеет место в силу определения целой части именно на случай, когда b//q; если же 0<b<q, тогда [b/q]=0, и вышеуказанная формула "общего представления" целого числа переходит в равенство b={b|q}, которое согласуется с определением остатка для натуральных чисел, когда b<q. Таким образом, одно из слагаемых в "общей" формуле может: либо оказаться равным нулю для целого ненулевого(!) числа, либо попросту пропасть как бессмыслица для натурального.
Теперь, мой друг, можно было бы непосредственно напомнить тебе обоснование теоремы Ферма/Эйлера, начиная с той же самой леммы 1. Однако мы ещё не усвоили с тобой Основное (фундаментальное) Свойство простого числа: если p\ab (ab//p), то: либо p\a (a//p), либо p\b (b//p). (Его можно было бы принять даже в качестве Определения "простоты" числа!)
Пожалуй, об этом Свойстве и о некоторых других "простейших" свойствах простого числа я напишу тебе в следующем письме. Там доказательство леммы 1 будет для тебя очевидной "как дважды два" в двадцати пяти строчках всего лишь(!), а окончание обоснования теоремы Ферма/Эйлера и того будет проще!
Всего доброго тебе!