“Люди не любят логику, — считает кандидат физико-математических наук, преподаватель с более чем 30-летним стажем, Радий Игоревич Храпко. — Она (логика) мешает обманывать себя и других и выдавать желаемое за действительное. Возможно, поэтому замечательный драматург Эжен Ионеско издевался над логикой: некто Логик, персонаж его пьесы “Носорог”, говорит Старому господину: “А вот вам еще силлогизм. Все кошки смертны. Сократ смертен. Следовательно, Сократ — кошка”.
Р. И. Храпко недавно опубликовал в Интернете статью “Логические парадоксы в физике и математике (www.mai.ru, журнал “Труды МАИ”), в которой разбирает некоторые логические парадоксы, в частности, апорию Зенона “Ахиллес и Черепаха”. Ниже мы приводим соответствующий фрагмент — и наш комментарий к нему.
Ахиллес догнал черепаху
В парадоксе Зенона утверждается, что быстроногий Ахиллес не сможет догнать черепаху, которая в момент старта находится на некотором расстоянии от него. Ход рассуждения тут таков. Прежде, чем догнать черепаху, Ахиллес должен достичь места, где она находилась вначале. Но за это время черепаха, конечно, немного удалится от Ахилесса. Далее герой снова будет вынужден пробежать разделяющее их расстояние, но черепаха снова хоть немного, но уползет вперед. И Ахиллес, занятый этим бесконечным процессом, никогда не сможет его завершить и поэтому не сможет догнать черепаху.
Более того, даже если черепаха, услышав сигнал к старту, не сдвинется со своего места, Ахиллес, все равно не достигнет ее, так как ему нужно будет пройти сначала половину разделяющего их промежутка, но прежде — половину его половины и так далее до бесконечности. В этом заключается второй парадокс Зенона, известный под названием "Дихотомия", из которого делается вывод, что Ахиллес вообще не сможет сдвинуться с места и движение вообще невозможно. Ибо, чтобы пройти даже как угодно маленький отрезок, требуется бесконечная последовательность действий.
Обсуждению парадоксов Зенона посвящена обширная литература, в том числе и современная. В частности, как это ни странно, по мнению английского философа и математика Бертрана Рассела (1872—1970), решение парадоксов Зенона требует теории типа канторовской теории множеств.
На наш взгляд, мнение Рассела является сильным преувеличением. Совсем нетрудо принять, что при суммировании бесконечного количества слагаемых может получиться конечное число, если величина слагаемых быстро убывает: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1. Поэтому бесконечная последовательность действий может быть выполнена за короткое время, если длительность каждого последующего действия быстро убывает, и Ахиллес, конечно, быстро догонит черепаху, потому что при постоянной скорости его движения члены ряда 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,,... представляют не только отрезки пути, но и отрезки времени.
Зенон, конечно, понимал, что если стрела летит из пункта A в пункт B со скоростью v, а расстояние между A и B равно S, то время полета будет t = S/v. Надеемся, Зенон понимал, что если отрезок S разделить пополам, а потом половину еще пополам и т.д., то от этого длина отрезка S не увеличится. Но, видимо, абстрактное мышление в Древней Греции не было развито достаточно для того, чтобы перенести это рассуждение на отрезок времени, t. Зенон считал, что если отрезок t разделить пополам, а потом половину еще пополам и т.д., то от этого деления длина отрезка t увеличится до бесконечности.
В качестве примера здравых оценок парадоксов Зенона приведем высказывание известного французского математика Поля Леви. В 1959 году он писал:
"Как можно воображать себе, что время остановится из-за того, что некий философ занимается перечислением членов бесконечного ряда. Признаюсь, я никогда не понимал, как люди, в других отношениях весьма разумные, могут оказаться смущенными подобными парадоксами. Мой теперешний ответ есть тот самый, который я дал, когда мне было 11 лет, старшему, рассказавшему мне этот парадокс. Я резюмировал тогда такой немногословной формулой: "Этот грек был идиотом". Я знаю теперь, что нужно выражать свои мысли в более вежливой форме и что, возможно, Зенон излагал свои парадоксы только для того, чтобы проверить разумность своих учеников. Но мое удивление перед умами, смущаемыми сходящимся рядом, осталось тем же."
Ахиллес не догнал ее
(наш ответ Р. И. Храпко)
К. Э. Циолковский, услышав аргументацию Р. И. Храпко, возможно, рассмеялся бы и ответил:
— Если речь идет о времени, измеряемом часами то вы конечно правы. Часы — водяные клепсидры — существовали и в эпоху Зенона. Но неужели вы думаете, что греческий философ был настолько глуп, чтобы в своем парадоксе иметь в виду время, измеряемое физическими часами? А что, если он имел ввиду субъективное ощущение времени? Вообразите, что по мере того, как Ахиллес догоняет за черепаху (или, для большего реализма, прекрасную вакханку), его нетерпение все возрастает, а в этом состоянии всегда кажется что время ползет слишком медленно. Поэтому нет ничего удивительного в том, что в субъективном восприятии временных промежутков у бегущего Ахиллеса первая половина пути до черепахи (или вакханки) имеет ту же продолжительность, что и половина от оставшейся половины. А если его возбуждение и нетерпение будет должным образом возрастать, то каждая следующая половина пути, т. е. 1/8, 1/16 и т. д. от начального расстояния до черепахи субъективно будет пробегаться за одно и то же время. Поэтому потребуется бесконечное количество субъективного времени (вечность), чтобы догнать черепаху. Как говорил один персонаж Достоевского: “Есть минуты, вы доходите до минут, когда времени не будет, и будет вечно”. Он имел ввиду именно такие “минуты”, которые переживает бегущий Ахиллес. Он не выдержит такого напряжения и погибнет от инсульта, не добежав до цели, но почти ее настигнув, и в последний свой миг будет все также бесконечно к ней приближаться, деля интервалы пространства пополам и переживая их за равные интервалы времени. Это не метафизика, а психология. Ахиллес не догонит черепаху по собственным часам, которые заберет с собой в вечность и никому не покажет.
2001