В прикладной математике зачастую применяется термин «некорректная задача». Единообразия в понимании этого термина, к сожалению, не наблюдается.
Не ссылаясь на авторитеты, целесообразно на основе простых соображений дать некоторую классификацию задач, которые справедливо или ошибочно называют некорректными.
Начнем с алгебраических примеров.
1. Рассмотрим уравнение
1 – x^2 = 0.
Корректность этой задачи не вызывает сомнений. Задача имеет два решения:
x1 = - 1, x2 = 1.
2. Рассмотрим уравнение
1 + x^2 = 0.
В пространстве действительных чисел задача не имеет решений, но остается корректной.
В пространстве комплексных чисел задача имеет два решения:
x1 = - j1, x2 = j1.
3. Рассмотрим систему уравнений
y + x = 1,
2y + 2x = 10.
Задача не имеет решений. Указание на отсутствие решений – это тоже «решение» задачи. Здесь нет парадокса. В первом случае решением мы называем значения неизвестных величин, а во втором – выводы относительно значений неизвестных величин. Отсутствие решений-значений является решением-выводом. Но правильнее было бы избегать двойной терминологии, например, в первом случае пользоваться терминологией «искомые значения неизвестных».
То есть задачу, не имеющую искомых значений, мы не считаем некорректной, поскольку решение этой задачи существует, и оно состоит в выводе об отсутствии искомых значений.
4. Рассмотрим систему уравнений
y + x = 1,
2y + 2x = 2.
Задача имеет бесконечное множество искомых значений, превращающих уравнения в тожества. Указание на наличие множества решений – это тоже «решение» задачи.
То есть задачу, не имеющую множество искомых значений, мы не должны считать некорректной, поскольку решение этой задачи существует, и оно состоит в выводе о большом количестве искомых значений. Достаточно вернуться к рассмотрению первого примера и убедиться, что задачу, имеющую два решения, мы называли корректной. Никому даже в голову не приходило называть задачу некорректной только лишь потому, что решение не одно, а два. Если решений будет пять, десять или сто – тоже естественно сохранится терминология корректной задачи, потому что это, в частности, может быть естественным следствием высокого порядка уравнения (пятого, десятого или сотого). Конечное количество решений или бесконечное – практически не важно, поскольку решения все же существуют, и, можно указать на пару чисел, которые не являются решением, также как можно указать и одну или больше пар чисел, которые решением являются.
В частности,
x1 = -1, y1 = 2 – одно из решений,
x2 = 0, y2 = 1 – другое решение,
x3 = 0,5, y3 = 0,5 – третье решение и т.д.
5. Рассмотрим неравенство
min{0, ||x||} + 5 >0
Задача имеет не просто бесконечное количество решений, но вообще все значения x являются решением данного неравенства, поскольку норма любого числа, включая комплексное, может быть лишь неотрицательной, следовательно, минимум из нормы икс и нуля всегда равен нулю, а утверждение, что ноль плюс пять больше нуля является тождественным неравенством.
Задачу можно называть некорректной в том смысле, что постановка задачи никакой информации относительно значения x не добавляет. Однако если строго придираться, то можно сказать, что, во всяком случае, из формулировки задачи следует, что решения существуют, хотя их и бесконечное множество. Следовательно, называть ли данную задачу корректной, или не называть – зависит от договоренности ученых.
6. Рассмотрим неравенство
min{0, ||x||} + 5 <0
Задача имеет не имеет ни одного решения. Следовательно, она корректна в любом смысле этого понятия – ничуть не меньше, чем задача отыскания решение второго примера в пространстве действительных чисел.
7. Рассмотрим задачу отыскания x из уравнения
y + 5 = 7.
В данном случае мы не можем сказать ровным счетом ничего относительно переменной x из представленного уравнения (или набора уравнений).
Поэтому данная задача во всех смыслах некорректна.
В силу этого полезны следующие предварительные выводы (пока еще не классификация):
1. Задачу, имеющую одно или несколько решений – «искомых значений переменных величин» – назовем корректной.
2. Задачу, не имеющую решений, не будем называть некорректной, поскольку отсутствие решений – тоже решение. Такую задачу будем называть «корректно сформулированная задача, не имеющая решений», или просто корректной, как и задачу по п.1.
3. Задачу, имеющую бесконечное множество решений, также можно назвать корректной, но не достаточно определенной.
4. Задачу, решениями которой является практически любое значение аргументов из области допустимых значений, целесообразно называть неопределенной, но можно называть и некорректной, что зависит от договоренности.
5. Задачу отыскания решений из условий, не дающих не позволяющих это выполнить, будем называть некорректной. В частности, отыскание решений из условий, не дающих никакой информации об этих решениях, и даже не позволяющих методом подстановки указать, является ли выбранное значение решением данной задачи, или не является (как в седьмом примере).
6. Задачу, которая может быть разбита на подзадачи, назовем некорректной, если хотя бы одна подзадача некорректна. Действительно, рассмотрим седьмую задачу. Мы можем отыскать значение величины y. Но из значения этой величины мы не сможем отыскать величину x. Таким образом, задачу можно считать состоящей из двух подзадач, первая их которых вполне корректна, но вторая некорректна. В итоге вся задача также некорректна.
7. Задачу отыскания «единственного» решения из условий, допускающих множество решений, согласно п.5 следует считать некорректной. Действительно, разобьем задачу на две подзадачи. Первая подзадача состоит в отыскании всех возможных решений, а вторая – в выделении единственного решения. Но если для решения второй подзадачи нет никаких оснований, то она, следовательно, некорректна. А если одна из подзадач некорректна, то и вся задача некорректна согласно пункту 6.
В итоге сказанного целесообразно рассмотреть право на существование нижеследующей классификации.
I. Корректной задачей назовем задачу, в результате решения которой можно указать одно или несколько значений искомых величин, или хотя бы уточнить их область значения, или указать, что таких величин не существует, либо сделать вывод, что таких величин бесконечное множество (включая случай, когда искомой величиной может быть любая величина из области ее допустимых значений), либо доказать, что таких решений в области допустимых значений не существует.
II. Некорректной задачей назовем задачу, решение которой не может быть осуществлено принципиально, то есть результат не может быть сформулирован в той форме, которая требуется из условий задачи, не может быть сформулировано даже наличие или отсутствие решений. В частности, требование отыскание единственного решения из задач, в которых решений может существовать множество, также является некорректным. Отыскание единственного решения для задач, не имеющих решений, является корректным, и решением задачи является указание на отсутствие решений.
III. Задачи, имеющие множество решений, по своей формулировке не требующие единственности решения, следует отнести к корректным, но можно охарактеризовать как не достаточно определенные.
Эта классификация несколько отличается от принятой, и от практического представления о том, что является корректным, а что – некорректным. Скажем, если вы ставите задачу отыскания действительного значения x из уравнения второго примера, ни одному математику не придет в голову называть эту задачу некорректной. Отсутствие решения – является решением.
Но если на практике вы потребуете отыскать экстремум функции y = 2x, то большинство специалистов укажет на отсутствие решения как на некорректно сформулированную задачу. Если же на x наложены ограничения, то это будет уже совсем иная задача, которая имеет решения.
На практике мы назвали бы некорректным попытку отыскания экстремума функции или функционала, который заведомо не имеет экстремума и не может иметь по своей форме. Но ни один математик не может назвать такую задачу некорректной, в частности хотя бы потому, что вид функции или функционала может быть таким, что по нему сразу не скажешь, имеет ли он локальный минимум (или максимум) или не имеет. Поэтому задача отыскания такого экстремума вполне корректна, а указание на отсутствие экстремума – является корректным решением этой корректной задачи.
На практике если в какой-то дисциплине знания из постановки задачи ясно, что она решения не имеет, мы назвали бы такую постановку некорректной, но, видимо, правильней назвать ее безграмотной, поскольку элементарная грамотность в указанной дисциплине сообщает знания о том, что задача не имеет искомых решений.
Например, можно указать суточную потребность курицы в зерне или в кальции. Если спросить, какова суточная потребность курицы в битом стекле или в свинцовой дроби, то ответ будет – «нулевая». Курице не нужен такой «продукт» в рационе. С математической точки зрения ответ x = 0 – вполне корректный ответ. С позиции птицеводства вопрос безграмотный, что в более мягком контексте звучит «некорректный».
Столь же некорректно искать минимум функционала, не имеющего этого минимума. Иными словами, задача «оптимизации» в ряде случаев также может быть некорректной в смысле отсутствия оптимума, хотя в строго математическом понимании, например, указание на бесконечные значения аргументов, которые дают минимальное значение функционала – есть корректное решение корректной задачи.
Бытовое понимание зачастую резко отличается от математического или логического понимания корректности задач.
Например, вопрос: «Сколько волосинок в хвосте ишака?» - не достаточно определенная задача, вопрос: «Сколько волосинок в хвосте данного ишака?» - вполне определенная задача, вопрос: «Сколько волосинок в хвосте сатаны?» - не корректная задача.
Но на практике никто не станет решать ни одну из этих задач, хотя вторая задача – решаемая.
Вопрос «Насколько пушиста эта кошка?» не определен, если не введен критерий пушистости, но на практике никто не затруднится с ответом на этот вопрос, ибо у каждого имеется собственное представление о «средней пушистости кошки», поэтому любой человек с легкостью ответит что данная кошка «очень пушиста», или «средней пушистости», или же «недостаточно пушиста».
Интересен пример Карлсона из книги А. Линдгрен, когда он возражает Фрекен Бок, что далеко не на всякий вопрос можно ответить «да» или «нет», и спрашивает ее: «Ты уже перестала пить коньяк по утрам?»
Ответ «Да» или «Нет» будут оба не верными, но ответ «Вздор! Я никогда и не пила коньяк по утрам!» можно сказать не является ответом на поставленный вопрос: это опровержение условий вопроса. Если условия вопроса могут быть опровергнуты, следовательно, надо отнести эту «задачу» к задаче, не имеющей решений. То есть строго формально получаем «корректный вопрос». Насколько корректно спросить непьющую даму, перестала ли она пить – судите сами.
ВЫВОДЫ:
1. Понятие «некорректная задача» требует договоренности. Эти договоренности могут отсутствовать, или не совпадать в нескольких дисциплинах, даже порой довольно близких.
2. Существует бытовое понятие «некорректности», которое не вполне соответствует математическому, физическому или техническому понятию. Целесообразно эти понятия различать. Поэтому в статьях на тему корректности желательно формулировать это понятие или давать ссылку на источник, в котором такое понятие сформулировано, дабы избежать путаницы.
3. Задачи, для которых отсутствие решений, либо бесконечные (или нулевые) значения решений самоочевидны из знаний дисциплины, в которых они формулируются, целесообразно выделить как «нелегальные» или «некорректные». Но поскольку термин «некорректные задачи» уже существует, Понятие «не четкие» тоже уже занято другим классом задач, то называть такие задачи этим термином не следует. Целесообразно называть их иначе. Например, необоснованными задачами, или не требующими решений, или как-то иначе. Наиболее правильный термин был бы «неграмотная постановка задач», но, поскольку этот термин носит излишне эмоциональную окраску, целесообразно найти иной, более спокойный термин.