Из Р. Декарта «Правила для руководства ума» - конспект с комментариями
Поначалу я написал «КОНСПЕКТ С КОММЕНТАРИЯМИ».
Но получилось, что комментарии и примеры перевесили по объему обсуждаемый материал.
Возможно, кому-то интересно ознакомиться лишь с выжимками и комментариями, а мои обширные примеры из области, от которой Декарт был далек, только мешают.
Поэтому я решил разделить: конспекты правил Декарта и краткие комментарии я разместил здесь, а полные комментарии – в другом месте отдельно.
ПРАВИЛО XV
«В большинстве случаев полезно также чертить эти фигуры и представлять их внешним чувствам для того, чтобы таким способом легче удерживать нашу мысль сосредоточенной».
Мысль о полезности наглядных иллюстраций в комментарии не нуждается – ВЖ.
ПРАВИЛО XVI
«Что же касается вещей, которые не требуют наличного внимания ума, хотя и необходимы для заключения, то их лучше обозначать посредством наиболее сокращенных знаков, чем посредством полных фигур, ибо тогда память не сможет ошибаться, а вместе с тем и мысль не будет отвлекаться на то, чтобы удержать их, в то время как она занята выведением других».
Иными словами, надо стремиться к простоте и лаконичности даже в обозначениях и наименованиях, чтобы разгрузить ум и память для более важных задач, чем запоминание. – ВЖ.
Декарт предлагает, полагаясь на письменность, также разгружать память. Далее он поясняет применение некоторых математических символов и отношений.
ПРАВИЛО XVII
«Нужно прямо обозреть предложенное затруднение, отвлекаясь от того, что какие-то его термины являются известными, а какие-то - неизвестными, и усматривая благодаря правильным рассуждениям взаимную зависимость каждого из них от других».
«Четыре предшествующих правила указали, каким образом определенные и вполне понятые затруднения должны быть отвлечены от каждого из их предметов и приведены к такому виду, чтобы затем не требовалось ничего другого, кроме как познать некоторые величины на основании того, что они связаны тем или иным отношением с некоторыми данными. Теперь же в этих пяти следующих правилах мы изложим, каким способом те же самые затруднения должны быть преобразованы так, что, сколько бы неизвестных величин ни было в одном положении, все они будут подчинены друг другу и как первая из них будет соотноситься с единицей, точно так же и вторая будет соотноситься с первой, третья - со второй, четвертая - с третьей; таким образом, в последовательности эти величины, если они достаточно многочисленны, составят сумму, равную какой-то известной величине. И это обеспечивается методом настолько надежным, что мы таким образом твердо убеждаемся в том, что указанные величины никакими стараниями не могли быть сведены к более простым терминам».
«Что же касается настоящего правила, то следует отметить, что во всяком вопросе, подлежащем разрешению посредством дедукции, есть один ровный и прямой путь, которым мы можем легче всего переходить от одних терминов к другим, все же прочие являются более трудными и окольными. … Вся хитрость тут заключается в том, чтобы, допуская неизвестное в качестве известного, мы смогли в сколь угодно запутанных затруднениях представить себе легкий и прямой путь их исследования. И ничто не мешает тому, чтобы так было всегда, ибо, как мы предположили с самого начала этой части, мы знаем, что зависимость тех терминов, которые в вопросе неизвестны, от известных такова, что первые полностью обусловлены последними. Так что если мы поразмыслим над теми самыми терминами, которые поначалу встретятся нам, когда мы признаем такую обусловленность, то, хотя мы и будем причислять эти неизвестные к известным, с тем чтобы постепенно посредством правильных рассуждений вывести из них и все остальные известные, как если бы они были неизвестными, мы выполним все то, что предписывает настоящее правило…».
КОММЕНТАРИЙ ВЖ.
Если мы сначала договорились об объективности и неизменности времени и пространства, то никакой эксперимент не может опровергнуть эту договоренность. Обратно, если мы допускаем существование примеров, опровергающих объективность времени и пространства, то мы найдем примеры, «доказывающие» это.
ПРАВИЛО XIX
Посредством этого метода рассуждения нужно отыскивать столько величин, выраженных двумя различными способами, сколько неизвестных терминов мы допускаем в качестве известных, для того чтобы прямо обозреть затруднение; ибо таким образом мы будем иметь столько же сравнений между двумя равными терминами.
ПРИМЕЧАНИЕ ВЖ.
Если я правильно понимаю, то это утверждение можно сформулировать так: СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ БУДЕТ ОПРЕДЕЛЕНА, ЕСЛИ КОЛИЧЕСТВО НЕИЗВЕСТНЫХ РАВНО КОЛИЧЕСТВУ УРАВНЕНИЙ.
Добавим, что уравнения должны не быть линейно зависимыми – если речь идет о линейных уравнений. Видимо, они не должны быть однозначно зависимыми – так будет точнее, поскольку, например, квадратичная зависимость тоже не добавляет новых уравнений.
Скажем x + y = a – первое уравнение, 5(x+y)^2=5a^2 – второе уравнение, которое может быть получено возведением первого уравнения в квадрат и умножением не коэффициент 5. Эти уравнения линейно независимы, но зависимы в целом. Второе уравнение не добавляет знаний, поэтому можно его отбросить.
Если мы решаем систему из M+N уравнений c M+N неизвестными, и если лишь значения N неизвестных мы можем проверить экспериментально, то желательно ИСКЛЮЧИТЬ и M неизвестных, и M уравнений, и не делать относительно этих величин никаких однозначных выводов. Потому что может оказаться, что при других значениях этих M неизвестных получаемые N неизвестные, доступные для проверки, окажутся теми же самыми.
Это очень важно при рассмотрении «Экспериментальных доказательств теоретических гипотез».
Скажем, если три шара различного веса, про которые мы теоретически предполагаем, что их вес ранжируется с разницей на 1 кг (два уравнения) и знаем, что вес какого-то из шаров равен пяти килограммов, (еще одно уравнение), мы можем ошибочно предположить, что у нас совпадает количество уравнений и количество неизвестных.
Действительно, назовем веса этих шаров в порядке возрастания P1, P2, P3.
Тогда получаем:
P1+1=P2;
P2+1=P3.
Допустим, что P1=5. Тогда получаем три уравнения, решая их, получим три значения неизвестных:
P1=5, P2=6, P3=7.
Теперь мы взвесим два шара и убедимся, что один из них весит 6 кг, а другой – 5 кг.
Мы можем говорить, что наша теория великолепно подтвердилась, а третий шар, не доступный взвешиванию, обладает весом в 7 кг. Мы имеем ложное предположение, что коль скоро предпосылки привели к верному прогнозу, они верны.
Но может оказаться, что третий шар весит 7 кг, а 4 кг, и наше предположение оказалось не верным. То есть, если мы ввели не произвольную нумерацию, то мы уже не можем произвольно допускать, который из шаров действительно весит 5 кг. Мы создали третье уравнение, а им не располагали по условию задачи. То есть мы искусственно обузили возможное количество исходных вариантов, поэтому ошибочно считаем эксперимент окончательным доказательством истинности нашей теории.
Если бы в ходе «эксперимента» мы бы получили один из шаров весом в 7 кг, то наше предположение бы полностью было доказанным, поскольку такой исход возможен только в том случае, какой мы получили из нашего предположения. Наоборот, если бы мы в результате эксперимента получили бы один шар весом в 4 кг, мы бы убедились в том, что наша «теория» ошибочна.
ПРАВИЛО XX
Отыскав уравнения, нужно произвести опущенные нами действия, ни в коем случае не пользуясь умножением тогда, когда будет уместно деление.
Правило: «никогда не пользоваться умножением, когда уместно деление», надеюсь, не подразумевает более высокое доверие к операции деления. С таким же успехом можно рекомендовать «никогда не пользоваться делением, когда уместно умножение», или «не пользоваться молотком для завинчивания шурупов и не пользоваться отверткой для забивания гвоздей». – ВЖ.
Юридический казус с судом над Сократом: Если мы не знаем, надо ли наградить Сократа, или наказать – если тут мнения разделились почти пополам – то не правильно ли будет оставить Сократа и без награды и без наказания? Во всяком случае, это более обосновано в том смысле, что если обе противоположные крайности обоснованы в равной степени, то надо признать, что ни одна из них не обоснована достаточно сильно для ее принятия - ВЖ.
ПРАВИЛО XXI
Если имеется много таких уравнений, их все необходимо свести к одному, а именно к тому, члены которого займут меньшее число ступеней в ряде непрерывно пропорциональных величин, соответственно каковому они и должны быть расположены по порядку.
Это – специфическое правило, которое Декарту казалось несомненным для решения конкретных задач, на нынешнем уровне развития математики даже для этих задач может оказаться сомнительным: порой решение системы уравнений проще, иногда даже уравнения высокого порядка искусственно сводят к системе более простых уравнений. Впрочем, я не математик.