Вариации на тему Гёделя, или Тезисы Мата
"Слабый" тезис Мата:
Любая теория, включающая в себя счисление предикатов(мат. логику)и натуральные числа - с операцией суммирования, но отрицающая существование целых чисел(минус единицы, вычитания) - будет или неполна, или противоречива - ибо операция суммирования предполагает вычитание, так же, как натуральные числа, на которых она определена, неполны вне полного ряда целых чисел.
Этот "слабый" тезис доказан Гёделем, как знаменитая теорема о неполноте формальных систем. Мне принадлежит лишь её интерпретация(изоморфное отображение на систему менее формализованных, не "типографических", математических понятий).
"Сильный" тезис Мата:
Любая теория, включающая в себя счисление предикатов(мат. логику)и целые числа - с операцией умножения, но отрицающая существование рациональных чисел(дробей, деления) - будет или неполна, или противоречива - ибо операция умножения предполагает деление, так же, как целые числа, на которых она определена, неполны вне полного ряда рациональных чисел.
Примечания:
1. Операция умножения следует из суммирования. Включающая суммирование теория подразумевает умножение.
2. Теорема о неполноте, в том виде, в каком доказал её сам Гёдель, не доказывает этого, "сильного" тезиса. Прежде чем доказывать его по методу Гёделя, необходимо построить типографическую теорию чисел, основанную на целых числа, а не на натуральном ряде.
Ссылки:
Джузеппе Пеано - Теория Натуральных Чисел
Гёдель - Теорема о Неполноте Формальных Систем
Дуглас Хофстадтер - "Гёдель, Эшер, Бах"
- книга, позволяющая вникнуть в проблематику даже людям от неё далёким - при условии наличия некоторых способностей к математике, разумеется.