Умножение вероятностей

 
 «Примеры бывают не менее поучительны, чем правила»
 Исаак Ньютон

В наше время в развитых странах элементы теории вероятностей и математической статистики изучают в средней школе. В солидной российской школе, кажется, пока не спешат «за веком». Между тем, теория вероятностей – один из разделов математики, формирующих мировоззрение. Мы живем в мире, где происходят вероятностные (стохастические) процессы и явления (поклоны Блезу Паскалю и Лапласу), к тому же, - в нестабильной Вселенной (поклон академику Илье Пригожину).

Автор не ставит своей целью рассказать «на одной ноге» о теории вероятностей, не будет испытывать терпение читателя формулами и вычислениями. Задача моя - не получение каких-то конкретных и точных результатов, а рассказ о некоторых элементарных, но занятных математических подтверждениях наших интуитивных представлений.

Рассмотрим примеры применения действия, называемого умножением вероятностей. Почему только этого действия? По той причине, что в природе и обществе часто случаются события или явления, возникновение которых определяется несколькими (или многочисленными) факторами или предпосылками, причем каждый фактор может иметь некоторую вероятность. Они, эти явления, определяются совместным – одновременным или последовательным – воздействием случайных событий и факторов, которые могут происходить или не происходить, быть или не быть, и рассчитываются перемножением их вероятностей.

ТАК НЕ БУДЕТ, А КАК-ТО БУДЕТ

Осторожные политики избегают делать политические прогнозы. У них на слуху афоризм У.Черчилля: «Политик должен уметь предсказать, что произойдет завтра, через неделю, через месяц и через год. А потом объяснить, почему этого не произошло». Почему так?

Попытаемся предсказать какое-то политическое событие. Возьмем абстрактный пример с условными исходными данными. Случится событие или нет, - зависит от многих факторов, к примеру, от десяти различных факторов: экономических, демографических, психологических, идеологических, личности лидера или лидеров и т.п. Конечно, в реальности действующих факторов намного больше. Ожидаемый результат в нашем примере может осуществиться только при наличии и срабатывании всех факторов.

Совпадение с реальностью самых лучших годовых экономических прогнозов (по данным ведущих специализированных компаний) не превышает 70%. Таким образом, оценка вероятности экономических событий не превышает 0.7. Другие факторы, относящиеся к компетенции «неточных» наук, оценим грубо той же вероятностью. Перемножение десяти 0.7 между собой дает результат 0.028 (около 3%). Отсюда вероятность того, что получим не ожидаемый, а иной, может быть, не совсем ожидаемый, или совсем непредвиденный результат, составляет примерно 97% ! Наблюдательный Франсуа Шатобриан сформулировал афоризм: "Как и почти всегда в политике, результат бывает противоположен предвидению".

Понятно, почему получали желаемые результаты – хотя бы на время – тираны и деспоты, такие как Чингиз-Хан, Гитлер, Сталин. Они рубили головы и жестоко уничтожали, сводили к нулю опасные для их целей предпосылки, проявляли железную волю или чрезвычайное упрямство, как Юлий Цезарь. Мягкий и нерешительный лидер Горбачев хотел одно, а получил совсем другое. Конечно, при наличии предпосылок к развалу советской империи.

Говорят, если хотите насмешить Б-га, расскажите ему о своих планах. Не зря русская пословица молвит: «Так не будет, а как-то будет». Но это не значит, что не нужно заниматься предпосылками и склонять их на свою сторону.

ДЫМА БЕЗ ОГНЯ НЕ БЫВАЕТ

Второй пример. Допустим, мы что-то расследуем или исследуем. У нас есть факт, но имеются доводы «за» и «против» нашего предположения о смысле этого факта. Середина-наполовину, есть сомнения. Вероятность 50%. (Если это расследование, то сомнения толкуются в пользу подозреваемого - презумпция невиновности). Допустим, сомнительные факты встречаются еще дважды. Подозрения усиливаются. Мы говорим: «Нет дыма без огня». Сомнительных фактов становится много. «Много» – это, скажем, 5-10. Мы почти уверены в своём предположении.

Сделаем подсчет. Три факта с вероятностью достоверности каждого в 50% дают результат 87.5% в пользу того, что, по меньшей мере, один из этих фактов подтверждает подозрения (предположения). Пять фактов при тех же условиях дают 97%. Значит, мы на верном пути. Десять фактов дают вероятность 99.9%. Но не будем увлекаться. Наши подсчеты дают только аргумент для гипотезы. Для суда же требуется хотя бы один несомненно доказанный факт.

Можно утверждать: чем больше фактов (доводов), имеющих определенную вероятность, тем больше вероятность того, что подозрения имеют реальное основание. Это положение можно сформулировать в строгих выражениях и легко доказать математически наподобие теоремы. Мы это чувствуем интуитивно.

Интуиция нас обычно не обманывает. Нет дыма без огня.

ПРИРОДА – ВЕЛИКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТАТОР

Рассмотрим пример, связанный с комбинаторикой, своего рода мысленный эксперимент. Речь пойдет о создании некой гипотетической молекулы. Её создание определяют, к примеру, сорок различных факторов. Среди этих факторов – наличие исходных веществ, ферментов, катализаторов, концентрации растворов, температуры и т.п. С той или иной вероятностью эти факторы работают или нет. Оценим, сколько вариантов получается в результате при воздействии всего лишь сорока факторов. Не будем строить граф, это непосильный труд. Количество вариантов (два в сороковой степени) превышает триллион.

Триллион – очень серьезное число. Допустим, создана лаборатория, чтобы воспроизвести бессмысленную работу природы. Предположим, усилиями трех смен лаборантов, без перерывов и отпусков будут производиться эксперименты, каждый из которых занимает полчаса. Лаборатории понадобится 60 млн лет – целая геологическая эпоха, чтобы выполнить триллион экспериментов. Чтобы графически изобразить конечные результаты, понадобилась бы ленточка, которой можно 4 тысячи раз обернуть экватор. Но если результат зависит от последовательности воздействия факторов, то количество возможных экспериментов следует умножить на число возможных перестановок. Эта величина в нашем примере составит факториал числа 40, т.е. будет равна 40!= 8.16x10^47. Таким образом, результат, представляющий теоретически возможное число вариантов, будет астрономическим числом с 47 нулями.

Конечно, природа действует иначе. Она терпеливо дожидается, создадутся ли температурные условия, которые постепенно меняются в зависимости от геологической эпохи и от геологической обстановки в каждом конкретном месте, и в зависимости, к примеру, от наличия горячих источников, тех или иных веществ и т.д. Она ждет, когда появятся необходимые вещества, создадутся нужные концентрации растворов, которые плавно меняются в горячих источниках, и т.п. Природа действует методом перебора вариантов (методом «тыка») и производит не поддающееся расчетам, фантастическое количество экспериментов. Природа выполняет их в подходящий момент довольно быстро, за секунды. Она не может сама сложить часовой механизм или простенький радиоприемник, но создала неизмеримо более сложную материю – белковые молекулы, а из них - «мыслящий тростник», как говорил Паскаль. Природа – великий экспериментатор.

Разумеется, было бы любопытно рассмотреть не абстрактный пример, а вероятность невероятного, а именно - создания белковой молекулы, что имеет отношение к неразрешенной до сих пор загадке происхождения жизни. Умножение вероятностей в данном случае привело некоторых крупных ученых к выводу о том, что органическая жизнь является артефактом. Это замечательный и очень непростой вопрос, который требует отдельного обозрения.

Таким образом, мы убедились на примерах в том, что интуитивные представления имеют под собою математическую основу. И слегка подглядели, как трудится равнодушная Природа, не знающая целей, но случайно наделившая нас разумом.