Наверно, пора познакомить читателей еще с одной гранью Олиного творчества. Оля – математик и сама придумывает задачи. Цитата из опроса для Маткласса:
Ольга Ахсахалян, 13 лет, Владимирская область:
– Я люблю математику, потому что в ней есть практически всё: решение задач и примеров по алгоритму, поиск новых идей для решения задачи, в котором так много творчества. Кроме этого, есть художественное оформление задачи, которое само по себе представляет ценность. Я поняла это, когда стала придумывать свои задачи.
Выкладываю первую порцию задач. Решения можно писать в комментариях.
Ольга Ахсахалян, 12 лет
1.
Есть фестиваль, на который приглашено М коллективов (М – число, заранее неизвестное). Каждый день на фестивале выступают К коллективов (число К известно). При этом есть правило – чтобы зрители не устали, ни один коллектив не может выступать более 2 дней подряд. Отдохнув день, он снова может выходить на сцену. Вопрос: при каком наименьшем М фестиваль может продолжаться неограниченное количество времени?
Оля эту задачу ещё не решила, смогла лишь доказать, что для любого значения К общее число коллективов, приглашённое на фестиваль, не меньше, чем 1,5 К.
2.
Может ли пятая пятница какого-нибудь года быть пятым числом? Если может, в каком ближайшем году это произойдёт? Если нет, то почему?
3.
У одного ученика в портфеле были и дневник, и пенал, и учебники по нужным предметам, и тетради со сделанными домашними заданиями. Он ничего не сломал, не разбил и не испортил в школе, никому не мешал заниматься, у него на парте не было телефона. Тем не менее, на следующий день его серьёзно отругали. За что?
4.
Есть группа людей. Из них какое-то количество, нам неизвестное, говорит всегда правду. Еще какое-то количество, тоже нам неизвестное, чередует правду и ложь. Один человек всегда лжёт. Группе задаётся вопрос, на который каждый должен ответить «да» или «нет». За какое минимальное количество вопросов можно точно определить лжеца? Можно ли определить лжеца за один вопрос, и если да, что это за вопрос?
5.
Дан ряд чисел: 0, 0, 2, 6, 12, 20, 30, 42. Напишите два следующих числа. Напишите два предыдущих числа.
6.
На планете Безочковия живут два типа граждан, причём все говорят исключительно правду. Это близоруки и дальнозоры. У каждого всего один глаз, зато, взглянув на человека, они могут понять – близорук это или дальнозор. Однажды одиннадцать жителей острова выстроились в шеренгу по случаю парада. Принимать его должен был офицер с Земли. Вдруг поступило сообщение, что среди этих одиннадцати есть лжец, который всегда врёт. Офицер с Земли, конечно, не видит, кто близорук, а кто дальнозор. Он может задавать любые вопросы, но ответом ему будет либо «да», либо «нет». Не забываем про лжеца! Особенности близоруков и дальнозоров: близорукий знает, кто он, а также видит троих человек по обе стороны от себя. Дальнозор знает себя и тех, кто отстоит от него на четыре человека и дальше. Какое наименьшее количество вопросов потребуется офицеру, чтобы определить лжеца?
7.
У меня есть 12 цветных карандашей. Каждому карандашу я поставила в соответствие другой карандаш (один) из этого набора, при этом каждый соответствует ровно одному. Если я достану 1 карандаш, а потом буду вытаскивать карандаш, соответствующий последнему вынутому, я выну все карандаши. Я разложила карандаши наугад – 6 в пенал и 6 в кучку. Затем вынула случайный карандаш из кучки, сделала им чёрточку на бумаге и положила в другую кучку, а соответствующий взяла, нарисовала им кружок и положила в ту кучку, где он был (если в пенале – в первую). Потом снова взяла наугад карандаш из первой кучки и т. д., пока в первой кучке был хотя бы 1 карандаш. Какова вероятность того, что после завершения процесса на бумаге останутся чёрточки (не кружки) всех цветов?
Оля Ахсахалян, 13 лет
8.
У Братца Лиса есть прямоугольное поле, которое разбито на квадратные участки. В каждом квадрате – маленький огородик с капустой. Любые два огорода, смежных по стороне, соединены калиткой. Однажды Братец Кролик залез в загон и начал поедать капусту. Лис это предвидел и установил охранную систему. Система автоматически закрывала калитки, Братец Лис мог пройти, а Братец Кролик – нет. Лис мог зайти в любую ячейку, а система показывала ему, сколько калиток требуется пройти, чтобы добраться до загона с Братцем Кроликом. Каково наименьшее число проверок, за которые Лис может наверняка установить, где Кролик? Обе размерности поля (длина, ширина) больше единицы.
Примечание. Я пыталась применить эту задачу к трёхмерному пространству. Придумала современный многоярусный огород в виде прямоугольного параллелепипеда. Впрочем, решить эту задачу мне не удалось.
9.
На столе стоят электронные часы, показывающие время по стандартной 24-часовой системе – от 0.00 до 23.59. Петя называет время счастливым, если среди четырёх цифр, встречающихся в его записи, по крайней мере три идут в числовом ряду подряд. Например, 22.13 – счастливое время, потому что цифры 1, 2, 3 идут подряд; или 10.42, потому что 0, 1, 2. Аналогично, счастливое время – 14.23. То, что идут подряд четыре цифры, значения не имеет. А вот 01.59 – несчастливое время, 0 и 9 соседями не считаются. Сколько в сутках счастливых мгновений? Какова вероятность того, что если Петя случайно взглянет на часы, время окажется счастливым?
10.
Имеется мозаика, то есть плоскость заполнена копиями одной и той же фигуры. Фигуры раскрашены в три цвета, при этом соблюдаются следующие условия. 1. Никакие фигуры одного цвета не граничат по стороне. 2. Если вырезать из плоскости все фигуры любого цвета, фигуры оставшихся двух цветов образуют целую (неразрезанную) плоскость. Укажите условия для многоугольников, при которых возможно так замостить плоскость. Для треугольников и квадратов это невозможно, для шестиугольников – возможно. А точнее?
11.
Тридцать одноместных парт стоят прямоугольником 5х6. За каждой партой сидит ученик: либо мальчик, либо девочка. У каждого мальчика в руке бумажный самолётик. Учитель, который отлично понимает, что будет происходить в ближайшее время, рассаживает учеников так, как считает нужным, и выходит из класса. Каждые 5 секунд каждый мальчик кидает свой самолетик через две парты на третью в любом из четырёх направлений: вправо, влево, вперёд, назад. Если самолётик попадает в руки мальчику, он остаётся у этого мальчика, а если девочке – сминается и выбрасывается. Если у мальчика больше одного самолёта, он может кидать их и в одну сторону, и в разные, но только в пределах прямоугольника.
Вопрос первый. Каково наибольшее количество мальчиков в классе, при котором учитель может рассадить учеников так, что через какое-то время все самолёты будут уничтожены?
Вопрос второй. Чему равно время, требующееся на уничтожение самолётов, при рассадке из вопроса 1?
12.
Вова вырезал из бумаги равнобедренный прямоугольный треугольник и начал его складывать. Сначала он подогнул прямой угол к противоположной стороне так, что сгиб оказался параллелен этой стороне. Получился один двуслойный треугольник и два однослойных. Каждый из однослойных Вова сложил пополам так, что получился прямоугольник. Более того, Вове показалось, что одна из сторон прямоугольника в два раза длиннее другой. Но доказать это он так и не смог. Помогите Вове!
13.
Ученик стоит на расстоянии x от стены бесконечной высоты. Правая рука ученика находится на расстоянии y от пола, в этой руке лежит мячик. Ученик кидает мяч об пол под углом ;, при этом придавая ему начальную скорость v0. Отразившись от пола, мячик отлетает в сторону стены, ударяется о стену и летит обратно в сторону мальчика. В какой-то момент мячик пролетает через точку, из которой его кинули. Ученик тут же подхватывает мяч. Вопрос: в зависимости от x и y определите v0 и ;, при которых мячик пройдет через исходную точку после двойного отражения. Трением, потерями энергии при ударе и сопротивлением воздуха можно пренебречь.
14.
Как разрезать морковь, имеющую форму правильного усеченного конуса, на две равновеликие (равные по объему) части? Разрезать следует параллельно основаниям. Найти формулу.
15.
Я живу в квартире с трёхзначным номером, в котором есть одинаковые цифры. Вторая цифра в номере квартиры чётная, а последняя соответствует месяцу, в котором я родилась. Я родилась не зимой. Назовите номер моей квартиры, если известно, что квартира № 161 находится в следующем подъезде.
16. У Белочки украли грибы. Подозреваемые: Сорока-воровка, Зайчонок и Мышонок. На допросе у Филина Сорока сразу заявила, что виновен Мышонок. Мышонок обвинил кого-то из троих, но не себя, а Зайчонок так испугался, что ничего не сказал. Совы-полицейские объявили, что в момент похищения других зверей в районе дупла не было, а еще они сообщили, что преступники всегда лгут. Белочка же сказала, что преступник был один. Тогда Филин с уверенностью сказал, кто преступник. Кто же?
17. Чтобы попасть в заколдованное королевство, нужно посадить на ладонь трёх волшебных мышей – одну чёрную и двух белых, а затем поднести их к замочной скважине. Но вместе с волшебными мышами рядом всегда их друзья – обычные мыши, и любой увидит трёх чёрных и пять белых мышей. Через 5 минут ворота закроются, и целый год их не смогут открыть никакие мыши. Сколько секунд надо тратить на одну комбинацию из трёх мышей (на все комбинации тратится одинаковое время), чтобы наверняка попасть в королевство?
18. Игральный кубик подбросили 5 раз. Какова вероятность, что чётное число раз выпадут чётные числа? Ноль – число чётное.
19. Найдите значение выражения 104-36, если 5+3 > 10. Все числа записаны в одной системе счисления. Ответ запишите в этой же системе счисления.
20. У меня 45 рублей, набранные десятирублёвыми, двухрублёвыми и рублёвыми монетами. 10-рублёвых столько же, сколько остальных, вместе взятых. Сколько рублёвых монет?
Напоследок – цитата в тему:
Цитаты преподавателей Летово
9 окт 2018 в 20:09
"Если есть паралимпийские игры, то должна быть олимпиада по математике для гуманитариев. Все будут смотреть и восхищаться их мужеством..."
#учитель_геометрия
Дерзайте, гуманитарии!