Среди мириад чисел редко встретишь совершенное число. Древние много внимания уделяли такому понятию, как делимость чисел, и их поразила особенность крайне редко встречающегося случая, когда сумма делителей совпадает с самим числом. Очень долго ученый мир цивилизации знал всего лишь четыре таких числа: 6; 28; 496; 8128. Совершенные – дали им название.
Оперирует ими раздел математики «теория чисел», но вот беда, стоит вчерашнему школьнику овладеть четырьмя арифметическими действиями, как эти самые числа перестают выходить из под его пера. Вместо них уважающий себя математик будет писать «a, b, c, d» и прочие знаки мало похожие на числа. И это в теории чисел!
Крайне неправильное поведение. Здесь читатель такого не встретит. Числа конкретны, красивы в своем истинном обличье и давайте вернемся к ним.
Вот с незапамятных времен известные совершенные числа со своими удивительными делителями.
6;1+2+3=6
28;1+2+4+7+14=28
496;1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
8128;1+2+4+8+16+32+64+127+256+508+1016+2032+4064=8128
Если эти делители подать попарно, когда их перемножение дает искомое число, то структура совершенного числа становится прозрачной.
Единица остается непарной, а далее следуют делители в парах, которые соответственно числу можно представлять парой сомножителей:
6;1+2//3=6 Здесь и далее через знак - (//) показаны не дроби, а пары цифр одна под другой.
28;1+2//14+4//7=28
496;1+2//248+4//124+8//62+16//31=496
8128;1+2//4064+4//2032+8//1016+16//508+32//256+64//127=8128
Верхняя часть пар идет по пути удвоения, начиная с единицы: 1; 2; 4; 8; и т.д.
Нижняя часть этих пар тоже удваивается в обратном направлении после замечательного перехода. Когда у числа 8128 мы рассматриваем структуру его делителей, берем делитель в середине череды всех делителей 64, и чтобы найти ему пару, сначала эти 64 удвоим, а рядом со 128 возьмем простое число меньшее на единицу – 127 (назовем ее «числом поворота») и далее удваивать будем уже его, подставляя в обратном порядке внизу под верхними для них парами делителей. При перемножении пара всегда выдаёт искомое число.
Итак, верхняя часть пар удваивается начиная с единицы, а нижняя тоже удваивается в обратном порядке, но за исход удвоения берется всегда простое число.
Важное значение в структуре делителей совершенного числа играет геометрическая прогрессия постоянно удваиваемых чисел: 1,2,4,8,16,32 и т.д. Дело в том, что сумма делителей абсолютно всех членов этой прогрессии имеет замечательное свойство – она все время меньше самого числа на единицу:
1х2=2 делитель 1
2х2=4 делители её:1+2=3 Совершенное число 6
4х2=8 делители её:1+2+4=7 Совершенное число 28
8х2=16 делители её:1+2+4+8=15
16х2=32 делители её:1+2+4+8+16=31 Совершенное число 496
С такой структурой делителей можно найти много чисел, но далеко не все будут совершенными. Обратим внимание на ряд удвоенных чисел. Сразу заметно, что после 8 поворота нет; казалось бы между 28 и 496 должно быть еще одно совершенное число. Попробуем его здесь найти. Удваиваем 8. Меньше на единицу этого удвоения будет число 15, но оно число не простое, а составное и потому не годится.
Почему не годится? Давайте проверим. Расставляем делители прежним порядком.
8//15+4//30+2//60=120
Увы, это далеко не все имеющиеся у числа делители. Коль 15 число составное, появляются дополнительные делители. Само 15 добавляет делители 3 и 5; 30 добавляет делители 6 и 10. Словом, много и еще раз много. Вот полная картина:
Сумма делителей 120;1+2//60+3//40+4//30+5//24+6//20+8//15+10//12=240
То есть 120 далека от совершенства на те же 120 единиц.
Около 16 ближайшее простое число 17. Выстраиваем пары сомножителей:
8//17+4//34+2//68. Удвоение последнего нижнего сомножителя дает искомое число – 136. Складываем все делители его и убеждаемся, это не совершенное число.
136;1+2//68+4//34+8//17=134. Такие числа называют «недостаточные». До числа совершенного не хватило 2.
Попробуем взять первое простое число меньшее 16. Это будет 13. Снова выстраиваем пары: 8//13+4//26+2//52. Удваиваем 52, впрочем можно перемножить и 8 на 13 или 4 на 26. Получаем число 104. Проверяем его, подсчитывая делители.
104;1+2//52+4//26+8//13=106. Такие числа называют «избыточными», - сумма делителей больше самого числа. Больше на 2.
Казалось бы между числами 104 (+2) и 136 (-2) должно находиться совершенное число, но его нет. Дело в том, что рядом с поворотом в парах делителей (8) при его удвоении нет простого числа меньшего только на единицу. В этом всё дело.
Находим середину между числами 104 и 136. (104+136):2=120. Характерно, что и через «поворотное число» 15, выходит тоже оно: 15х8=120. Выше мы определили, что сумма делителей 120=240. Это не просто число избыточное, а сверх избыточное. Сообразно месту появления следует признать 120 ложным совершенным числом.
При удвоении 16 около 32 есть простое число меньшее на единицу – 31. В этом случае все складывается чудесно и мы получаем совершенное число 496.
Давайте теперь попробуем в этом месте сделать поворот с другими простыми числами. Сначала пойдем в сторону уменьшения, чтобы найти предел в этой формуле (простые числа, которые удваиваются в нижней части пар делителей, где-то в районе 1,2,3 должны дать сбой в общей структуре построения таких пар).
Первое простое число меньшее 31, это 29 и далее подставляем простые «поворотные числа» по нисходящей.
Число:16х29=464 Сумма делителей:16//29+8//58+4//116+2//232+1=466+2
Число:16х23=368 Сумма делителей:16//23+8//46+4//92+2//184+1=376+8
Число:16х19=304 Сумма делителей:16//19+8//38+4//76+2//152+1=316+12
Число:16х17=272 Сумма делителей:16//17+8//34+4//68+2//136+1=286+14
Число:16х13=208 Сумма делителей:16//13+8//26+4//52+2//104+1=226+18
Число:16х11=176 Сумма делителей:16//11+8//22+4//44+2//88+1=196+20
Число:16х7=112 Сумма делителей:16//7+8//14+4//28+2//56+1=136+24
Число:16х5=80 Сумма делителей:16//5+8//10+4//20+2//40+1=106+26
Число:16х3=48 Сумма делителей:16//3+8//6+4//12+2//24+1=76+28
Это все. Если подставить в поворот 2, то структура делителей даст сбой, - появятся парные. Пример: 16х2=32 Сумма делителей по старой структуре будет следующей: 16//2+8//4+4//8+2//16. Отбросим дубли, тогда сумма делителей числа 32 будет:1+2+4+8+16=31.
Мне представляется, что это говорит об условности двойки, как числа простого. Среди простых чисел не бывает четных, и вот вдруг двойку, с которой начинается ряд четных чисел, мы объявляем числом простым.
Ну, и чтобы до конца пройти этот путь подставляем единицу: 16х1=16. Сумма его делителей:16//1+8//2+4//4+2//8. Отбросим дубли и сумма делителей 16 будет: 1+2+4+8+16=31. Да, да, снова 31, поскольку делитель 16, появившийся от деления 16 на единицу, стал делителем равным самому числу, чего ранее не встречалось. Этот случай поможет нам в дальнейшем.
Теперь будем подставлять простые числа, которые больше 31.
Число:16х37=592 Сумма делителей:16//37+8//74+4//148+2//296+1=586-6
Число:16х41=656 Сумма делителей:16//41+8//82+4//164+2//328+1=646-10
Число:16х43=688 Сумма делителей: 16//43+8//86+4//172+2//344+1=676-12
Число:16х47=752 Сумма делителей:16//47+8//94+4//188+2//376+1=736-16
Число:16х53=848 Сумма делителей:16//53+8//106+4//212+2//424+1=826-22
Число:16х59=944 Сумма делителей:16//59+8//118+4//236+2//472+1=916-28
Как видим, чтобы дойти до разрыва между основным числом и суммой его делителей в 28 единиц, в сторону минуса потребовалось меньшее число подстановок в поворот простых чисел.
Сведем полученные данные в таблицу, где первая колонка - числа полученные в результате подстановки в поворот простого числа; вторая колонка состоит из сумм его делителей; третья колонка – разница между числом и суммой его делителей; четвертая – простое число в подстановке на повороте.
48;76+28;3
80;106+26;5
112;136+24;7
176;196+20;11
208;226+18;13
272;286+14;17
304;316+12;19
368;376+8;23
464;466+2;29
496;496±0;31 Совершенное
592;586-6;37
656;646-10;41
688;676-12;43
752;736-16;47
848;826-22;53
944;916-28;59 и т.д.
Очевидно, что с увеличением простого числа в повороте в дальнейшем будут получаться только недостаточные числа.
Все эти числа объединяет единая структура их делителей, но совершенным становится только 496, в котором при повороте пар делителей на 16 при его удвоении - 32, рядом оказалось простое число 31, меньше удвоенного при повороте на единицу.
В подстановке в качестве «поворотных чисел» участвуют все простые числа начиная с 3; но, как бы ни различны были разрывы между простыми числами (общепринято в математике считать разброс простых чисел в последовательном числовом ряду абсолютно непредсказуемым и не просчитываемым), сам ряд получившихся чисел имеет прослеживаемую периодичность. Разрыв между числами то 32, то иной, но всегда кратен 32. У сумм их делителей разрывы в ряду тоже разные, но всегда кратны 30.
Вернемся к структуре делителей совершенных чисел и им подобным. Ряд все время удваивающихся чисел, а именно таковые содержит верхний ряд пар делителей совершенных чисел, таит в себе уникальную особенность. Именно здесь собраны все числа, сумма делителей которых меньше самого числа на единицу. С первыми числами в таком удвоении все понятно и неясно одновременно (об этом позже): 1; 2; 4. Четверка, первое составное число сумма делителей которого дает число предыдущее – 3. Эта тройка далее тоже играет важную роль. Впрочем, единственный делитель у двойки тоже показывает число предыдущее – 1.
Сначала представим появление самого ряда постоянного удвоения с исчислением суммы делителей чисел его составляющих:
1
1х2=2 делитель:1
2х2=4 делители:1+2=3
4х2=8 делители:1+2+4=7
8х2=16 делители:1+2+4+8=15
16х2=32 делители:1+2+4+8+16=31
32х2=64 делители: 1+2+4+8+16+32=63
64х2=128 делители:1+2+4+8+16+32+64=127
128х2=256 делители:1+2+4+8+16+32+64+128=255
На первый взгляд они все готовы породить число совершенное, поскольку суммы делителей их меньше на 1 самого числа. Однако есть еще одно важное условие. Эта сумма делителей, меньшая на 1, сама должна быть числом простым.
Представляем столбиком два ряда. Первый ряд составляют числа удваивающиеся с каждым разом. Напротив указаны суммы их делителей с примечаниями характера такого числа.
1
2;1 простое
4;3 простое
8;7 простое
16;15 составное, делится на 3 (есть и другие делители, но этого достаточно)
32;31 простое
64;63 составное – делится на 3 (эта тройка часто встречается в этом случае)
128;127 простое
256;255 составное – делится на 3
512;511 составное – делится на 73
1024;1023 составное – делится на 3
2048;2047 составное – делится на 23
4096;4095 составное – делится на 3
8192;8191 простое
Простое число из ряда суммы делителей перемноженное на число из предыдущей пары из ряда чисел удваивающихся всегда дает совершенное число.
8191х4096=33550336
127х64=8128
31х16=496
7х4=28
3х2=6
1х1=1
Общепринятым в математике является утверждение, что первое совершенное число 6, второе – 28, третье – 496, четвертое – 8128, пятое (найденное только в 15 веке) – 33550336.
Приведенное выше доказательство переворачивает эти представления. Первым совершенным числом является единица.
Это тем очевиднее, что все известные совершенные числа (кроме 6) при сложении их цифр и сведения их к числу однозначному, всегда дают 1.
Все совершенные числа пронизаны двоичностью: удваиваются делители верхнего ряда пар, удваиваются в обратном направлении делители нижнего ряда пар. Если складывать суммы обратных величин делителей и самого совершенного числа (здесь появляются дроби), то в результате всегда будет двойка.
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/28=2
Казалось бы, что единица никак не сможет вместить в себя эту двоичность. Однако, если рассматривать единицу, как число совершенное, то она удовлетворяет представленному выше требованию и сложение дробей 1/1+1/1 тоже дает 2.
Значит, единица есть число совершенное.
Любая группа чисел, которая может быть представлена в виде последовательности подчиняющейся какому-то правилу называется рядом. Иногда ряд конечен, иногда бесконечен, но начало есть всегда. Общеизвестный факт, что совершенные числа представляются такой последовательностью. Показывать будто этот ряд начинается с 6 не очень естественно. Единица часто выступает отправной точкой для многих рядов и в этом случае несомненно принадлежит этому ряду. Если толковать, что все совершенные числа являются числами треугольными, (это тоже признанный факт), то уместно напомнить, ряд треугольных чисел начинается с единицы.
Разумеется, главным барьером, лежащим веками на пути признания единицы совершенным числом, является условие, что у всех рассматриваемых чисел не берется в качестве делителя само число, хотя аналогичный делитель, присутствующий, как делитель абсолютно в каждом числе – единица, допускается.
Однако, допуская единицу, как делитель в единице, мы не рассматриваем ее в качестве самого числа. Для нас, этот есть сумма делителей следующего числа геометрической прогрессии простого числа 2, (это, как появление делителя 3 для следующего совершенного числа – он есть сумма делителей числа 4 в геометрической прогрессии удваиваемых чисел), а уж то, что он совпал с самим числом, так это частный случай.
Такой частный случай появляется всякий раз, когда мы в структуру делителей тех или иных совершенных чисел подставляем в качестве «числа поворота» самое малое простое число 1.
Для примера возьмем два совершенных числа 28 и 496 и будем в структуру их делителей подставлять самые малые простые числа 1,2,3.
Вот структура делителей 28;4//7+2//14+1=28 На место 7 (число поворота) подставляем последовательно 3,2,1 (в обратном порядке будет нагляднее).
4х3=12 12;4//3+2//6+1=16(+4)
4х2=8 8;4//2+2//4+1=7(-1)
4х1=4 4;4//1+2//2+1=7(-1)
Тоже проделываем с более обширной структурой делителей совершенного числа 496;16//31+8//62+4//124+2//248+1=496
16х3=48 48;16//3+8//6+4//12+2//24+1=76(+28)
16х2=32 32;16//2+8//4+4//8+2//16+1=31(-1)
16х1=16 16;16//1+8//2+4//4+2//8+1=31(-1)
Как видим в обоих случаях при подстановке в поворот 1 сумма делителей не уменьшалась по сравнению с подстановкой 2, хотя сами числа уменьшились наполовину. Это произошло оттого, что крупнейший делитель в структуре делителей сравнялся с самим числом, но не потому, что мы его априори взяли равным, а оттого что в подстановке простое число один меньше вдвое простого числа два и при перемножении уменьшило вдвое исследуемое число. То есть, изначально мы не берем делитель равный самому числу, но таковой у нас получается.
Следовательно рассматривать 1=1х1 и 2=1/1+1/1 корректно и единица есть совершенное число.
В погоне за совершенными числами, рассматривая массив чисел порождаемых «поворотными числами», все «следопыты математики» отлавливали из этого массива драгоценные совершенные числа, забывая обозреть массив целиком. А ведь каждое число получаемое через «поворотные числа» обладает замечательными свойствами. «Ложные совершенные» отличаются сверх избыточностью, подавляя этим качеством все ближайшие числа.
120;сумма делителей 240(+120) коэффициент 2
Только через 60 единиц появляется число сопоставимое по избыточности.
168;сумма делителей 312(+144) коэффициент 1,86
180;сумма делителей 366(+186) коэффициент 2,03
Теперь приведем таблицу «поворотных чисел» и результат от их подстановки в поворот сумм делителей. Первая колонка – геометрическая прогрессия постоянного удвоения. Вторая колонка – сумма делителей конкретного числа из геометрической прогрессии и одновременно «число поворота» в структуре сумм делителей при поиске совершенного числа. Третья колонка – результат перемножения «числа поворота» на число из первой колонки, но предшествующей строки (перемножение по диагонали таблицы), как результат поиска числа совершенного, а далее указан результат.
1
2;1;1 (1х1) Совершенное число 1
4;3;6 (3х2) Совершенное число 6
8;7;28 (7х4) Совершенное число 28
16;15;120 (15х8) Ложное совершенное 120 (+120)
32;31;496 (31х16) Совершенное число 496
64;63;2016 (63х32) Ложное совершенное 2016 (+2520)
128;127;8128 (127х64) Совершенное число 8128
24.04.2018