ЗАДАЧИ ЛЬЮИСА КЭРОЛА.
(По книге LEWIS KARROL. The Complete Illustrated Works.
Dorset Press, New York, 1995)
Льюис Кэрол (Чарлз Лютвик Добсон) известен больше как автор «Алисы в стране чудес». Кроме того он написал несколько поэм и замечательный роман «Сильви и Бруно». Менее известен факт, что он был музыкантом и выдающимся фотографом, запечатлевшим многих знаменитостей своего времени, и деятелем англиканской церкви со званием дьякона. Но главное занятие Чарлза Добсона, которому он до тридцати лет учился сам, а потом до конца жизни учил других, была математика. Как мы увидим из последующего изложения, он был математиком вдумчивым, требующим от своих учеников творческого подхода и нестандартного мышления. Как говорил нам когда-то наш преподаватель математики в институте: «Математика - это философия в широком смысле слова». Вот Льюис Кэрол и был философом в широчайшем смысле этого слова.
Приведенные задачи взяты из математической рубрики, которую писатель вёл в журнале «The Monthly Packer», а затем опубликованной отдельно под названием «A Tangled Tale» (Запутанная История) в 1885 году. Я советую прочесть эту историю в оригинале, чтобы насладится истинным английским языком и непередаваемым стилем писателя. Здесь же задачи приводятся в моём пересказе упрощённо, больше с математическим уклоном, чем как художественное произведение. Но даже и в таком виде, несомненно, они заслуживают всяческого интереса. Мои решения могут не совпадать с теми, что даны автором в ответах: не обладая широким умом и опытом писателя, я прихожу к таким же ответам формальным путем, тогда как Льюис Кэрол более склонен решать свои задачи путём рассуждений.
Узел I. Эксельсиор (Ещё выше - лат).
Задача: Два путешественника - отец и сын - прошли с 3 часов до 9 сначала по ровной дороге, потом на подъём, а затем вернулись домой. По ровной дороге они шли 4 мили в час , нагору - 3 мили в час и подгору - 6 миль в час. Сколько же они прошли? С точностью до получаса, определить время, когда они поднялись на вершину холма (горы).
Решение: Искомым расстоянием, верно, является путь в 2(x + y), где x и y- расстояния по ровной дороге и по склону, соответственно. Так как на всё путешествие было истрачено 6 часов ( = 9 – 3), то 2х/4 + у/3 + у/6 = 6 часов, а искомое время прибытия на вершину холма T = 3 + х/4 + у/3. Первое уравнение, после приведения к общему знаменателю (6) и сокращений приведёт к форме:
х + у = 12, т.е. одному уравнению с двумя неизвестными, казалось бы, совсем неразрешимому. Но не спешите с выводами! Как во всех задачах Льюиса Кэрролла, сначала подумайте! ВЕДЬ в ЭТОЙ ЗАДАЧЕ НЕ СПРАШИВАЕТСЯ, КАКОЕ РАССТОЯНИЕ ПРОЙДЕНО по РОВНОЙ, а КАКОЕ по НАКЛОННОЙ ДОРОГЕ. НУЖНО ЛИШЬ ОБЩЕЕ РАССТОЯНИЕ, т. е., х + у. Мы его нашли. Это 12 миль в один конец и 24 мили всего. Надо заметить, наши путешественники были неплохие ходоки. Они отшагали без остановки 6 часов со средней скоростью 5,2 км/час. Сам Кэрол так и решил эту задачу, вычислив среднею скорость (4 мили в час).
Так как мы не знаем длины ровного и наклонного участков пути, разница между спуском и подъёмом может быть совсем незначительной или достичь чуть ли не часа, т.е. наши путешественники могли подняться на перевал в любое время между 6 (3 + 3) и 7 (3 + 4) часами. Вот почему писатель определил допуск в получаса. В пределах этого допуска искомое время будет 6-30, среднее время между 6-ю и 7-ю часами.
Узел II. Подходящие комнаты.
Задача: Два брата Хью и Ламберт со своим репетитором, которого они называли Балбус (по имени персонажа из учебника латыни), прибыли в небольшой приморский городок Литл Мендип, видимо, чтобы провести некоторое время на берегу моря. Они пытались найти подходящие комнаты, но это было нелегко. Всё, что им нравилось, было уже занято, а что было свободно - не подходило по той или иной причине. Мальчики только что получили письмо из заграницы от своего отца, в котором он писал, что губернатор Кговджни устраивает небольшой приём, куда хочет пригласить: (пишу по английские, потому что на русском языке задача потеряется в титулах и станет или очевидной или совсем непонятной) his father’s brother-in law, his brother's father-in-law, his father’s-in-law brother и his brother’s-in-law father. Мальчики недоумевали, сколько же человек придёт на приём. Они спросили своего учёного репетитора, но и он не смог сразу же ответить. Писатель предлагает своим читателям развязать этот узел.
Им пришлось довольствоваться тем, что было свободно. В поисках подходящей квартиры наша группа вышла на прямоугольную площадь. На площадь выходили двери квартир. «Номер 9 первый, где есть свободная комната»,- сказал Ламберт. Балбус воскликнул: «Двадцать дверей с каждой стороны! Какая симметрия! Каждая сторона разделена на двадцать одну равную часть. Это великолепно!». Они начали с №9. Следующим был №25, потом в №52. И, наконец, №73. Они сняли все эти четыре комнаты: 3 из них - в качестве спален, а одну - как общую комнату для нахождения там, в во время дня. «Дневной комнатой» должна быть та, от которой расстояния до остальных трёх самые короткие. Какая из них?
Ответы:
1.Эта задача не арифметическая. Но она требует гибкого нестандартного мышления. Казалось бы гостей четыре. Но это слишком просто. А вот, что если... всего был приглашён всего только… один гость, соответствующий всем этим определениям. Как это может быть!? Давайте - ка, прежде всего, рассмотрим родство в связи с браками в семье какого-либо конкретного человека:
Father-in law - тесть (отец жены) или свекор (отец мужа).
Mother-in law - тёща (мать жены) или свекровь (мать мужа)
Brother-in-law - либо брат жены/мужа, либо муж сестры
Sister-in-law - либо сестра жены/мужа, либо жена брата
Son-in-law - зять (муж дочери)
Daughter-in-law - невестка (жена сына)
Предположим, что приглашённый (будем называть его, как и писатель «Гость») - брат жены отца (которая не является родной матерью губернатору). Это соответствует первому условию. Если брат губернатора женат на дочери этого достойного человека, то и второе условие соблюдено, т.е. он тесть его брата. Далее, если сам губернатор женат на дочери брата своего гостя, то и третье условие правильно: гость является братом тестя губернатора. Соблюсти последнее условие трудней всего. Для этого надо додуматься, что гость, кроме дочери, имел ещё и сына (может же человек иметь и дочь, и сына!), а губернатор - сестру, которая замужем за сыном гостя, т.е. гость - свекор сестры губернатора. Ну и узел! .
2. Представим себе, мы смотрим на площадь сверху. Это прямоугольник, каждая сторона которого имеет по 20 рисок - дверей (конечно же, они делят сторону на 21 часть!). Начнём нумерацию с левого нижнего угла по часовой стрелке (начальная точка отсчёта не играет роли, так как расстояния не меняются). Тогда на левой стороне будут номера от 1 до 20, на «верхней» - от 21 до 40, на правой стороне от 41 до 60 и на «нижней» стороне - от 61 до 80. Это указывает на то, что каждая из комнат, снятых отдыхающими (9, 25, 52, и 73) находятся на «своей» стороне прямоугольника. Т.е. каждого «кандидата» на «дневную» комнату следует соединить прямыми с остальными тремя, определить расстояния и сравнить.
Из вычерченного в масштабе рисунка уже видно, что искомой комнатой является №9, но следует подтвердить графику числовыми величинами. Обозначим каждую дверь буквами от А до D. Предположим, что вертикальная сторона прямоугольника равна у, а горизонтальная х. Тогда, расстояние между дверьми или между крайними дверями и ближайшим углом будут х/21 и у/21 соответственно.
Расстояние от №9 до нижнего угла 9у/21 и до верхнего 12у/21
Расстояние от №25 до левого угла 5х/21 и до правого 16х/21
Расстояние от №52 те же, что у №9 (они противоположны)
Расстояние от №73 до левого угла 7х/21 и до правого 14х/21
АВ = ;(12у/21); + (5х/21); = ;0,33 у; + 0,06х;;
АС = х;
AD = ;(9у/21); + (7х/21); = ;0,18 у; + 0,11 х;;
ВС = ;(12у/21); + (16х/21); = ;0,33у; + 0,58 х;;
СD = ;(9у/21); + (14х/21); = ;0,18 у; + 0,44х;;
ВD с достаточной точностью можно принять равной у
От №9 сумма расстояний до остальных комнат
;9 = АВ + АС + АD = ;0,33 у; + 0,06х; + х + ;0,18 у; + 0,11 х;; от №25
;25 = АВ + ВС + ВD = ;0,33 у; + 0,06х; + у + ;0,33у; + 0,58 х;; от №52:
;52 = АС + ВС + СD = х + ;0,33у; + 0,58 х; + ;0,18 у; + 0,44х;; от №73
;73 = АD + ВD + СD = ;0,18 у; + 0,11 х; + у + ;0,18 у; + 0,44х;;
Сравнение выражений под корнем, содержащих, пусть неизвестные, но везде одинаковые величины, подтверждает прaвильность графического решения. Тоже узелок не из легких.
Узел III. Mad Mathesis. (что-то вроде «Бешеной Математички»).
Задача. Шестнадцатилетняя девушка Клара приехала в Лондон погостить у своей тёти. Тётушка с гордостью показывала ей «восьмое чудо света» - свой город. И действительно, в восьмидесятых годах ХIХ века Лондон был самым современным в мире городом. B частности, они прибыли на вокзал Charring Cross Metropolitan Station, конечную остановку только что тогда завершённой кольцевой городской железной дороги - прообраз всех видов общественного транспорта, в том числе легендарных московских трамвайных линий «А» и «Б». Отсюда каждые 15 минут отходили поезда в восточном и западном направлении. Но, как заметила тётя, поезда двигались очень специфическим образом. Полный круг на западном направлении завершался за 2 часа, в восточном - за 3 и на платформах всегда стояли 2 состава, готовые пунктуально отойти в противоположных направлениях. И вот тогда тёте-математичке пришла в голову мысль, сесть в противоположные поезда и посмотреть, кто увидит больше встречных поездов. Клара считала, что она встретит в два раза меньше поездов, чем её тётя. Эта последняя так не думала. И она предложила племяннице считать добросовестно, но не засчитывать отходящий и прибывший поезд, в котором каждая находилась.
Когда через три часа они встретились, девушка была сильно разочарована. Тогда тётя, предложила изменить эксперимент и начать считать поезда с момента, когда их поезда встретятся в пути. И они встретились в туннеле. Теперь юная Клара была уверена в своей правоте. А вот писатель в этом уверен не был.
Решения.
1. Длина обоих колей практически одинакова. Чтобы поезда в западном направлении могли отправляться каждые 15 минут при полном круге, завершаемом за 2 часа, на этой линии должно оперировать 8 составов. По аналогии, на восточной линии их должно быть 12. Но и скорость последних должна быть меньшей, составляя 2/3 скорости поездов западной линии. Ввиду одинаковости рельсового пути, каждый пассажир, едущий в противоположном направлении должен встретить одинаковое число поездов. Допустим, Клара села в западный поезд. Тогда она должна увидеть 12 поездов противоположной линии плюс те составы, что отправились за 2 часа до её отъезда. Это будет 12 + 2/3 Х 12 = 12 + 8 = 20. Её тётушка увидит 8 поездов противоположной линии плюс те поезда, что отправились за три часа до её отправления, т.е. 8 + 3/.2 Х 8 = 20. Т.к. по договору, поезд в котором сидит каждая из пассажирок не считается, то и тетушка, и её племянница встретили по 19 поездов.
2. B случае когда отсчёт начинается с момента встречи поездов, каждая увидит только число поездов противоположной линии, т.е. 8 и 12.
Как решил задачу сам писатель. Со свойственной ему гениальностью. Он представил железную дорогу как окружность (в конце концов, она ведь кольцевая!). В таком случае она разделена на 360;, которые писатель назвал единицами. При продолжительности путешествия в западном направлении 120 мин. и в восточном- 180, скорость составов будет 3 ед./мин и 2 ед./мин соответственно. Интервалы между составами будут 45 ед. и 30 ед., соответственно (того же результата можно достичь разделив 360 на 8 или 12). Т.к. суммарная скорость поездов при встрече будет 5 ед., западные поезда идут с 3/5 этой скорости, а восточные- 2/5. 2/5 от интервала в 45 ед. = 18 ед., также как и 3/5 от 30. Это тот интервал, между которым происходит встречи поездов. Таких интервалов 20 (360 : 18), а чтобы наметить их понадобится 19 рисок на окружности. Это то число поездов, которое увидит каждый пассажир во время кругового путешествия в любом направлении.
Во втором случае один пассажир начнёт считать только после точки встречи, т.е. пройдя 3/5 от 360 - 216 ед., что, разделив на 18, даст нам 12 отметок. Останется 7 и плюс поезд с самим пассажиром 8. Второй пассажир минует 2/5 пути, т.е. 144 ед. Поделив на 18, получим 8. Остается 11 + 1 = 12. Время до точки встречи (которое в задаче, впрочем, не спрашивается) будет 2/5 от 180 мин. = 3.5 от 120 мин = 72 минутам.
Узел IV. The Dead Reckoning (Точнейший Расчет).
Задача. Вернёмся теперь к нашим двум путешественникам, с которых и началась вся эта история. Мы обнаружим их на борту судна совеpшающего регулярные рейсы между портами острова, расположенного где-то у экватора, на котором они гостили (других путей сообщения в те времена, должно быть, не было). Спрятавшись под парусом от палящего солнца, наши путешественники с удивлением наблюдали каких-то людей с небольшими, но тяжёлыми мешками. Капитан, как раз проходивший мимо, разъяснил, что это рыбаки, а в мешках у них местные деньги, тяжёлые, но малоценные. Мы, обычно, всегда покупаем у них эти деньги по весу (на палубе, действительно, стояли весы) и за всего, примерно, десять фунтов стерлингов мы получим их все.
-Откуда мы вышли?
-Из Мхрукси.
-И куда же мы направляемся?
-Они называют это Кговджни.
Для непривыкшего шевелить своими извилинами молодого человека это было тёмным лесом.
А где мы сейчас?
-Это я могу вам сказать с точностью до одного дюйма .
-Не может быть...
-Всем, кто хоть чуть-чуть знаком с этим делом (навигацией) мои точнейшие расчеты вполне понятны.
Пока они так беседовали, порыв ветра, повернув рею, сбросил за борт в море 5 мешков с местными деньгами, которые только что были взвешены. Старший джентльмен предложил 10 фунтов, для компенсации потерпевшим, но капитан то предложение решительно отверг. «Это случилось на моём судне, под моей командой, и я полностью ответственен». Он подозвал туземцев и на мхрукси диалекте начал разбирательство. Потом он подошёл к путешественникам и поделился трудностями с вычислением надлежащей компенсации.
Дело в том, что матросы взвешивали мешки странным образом:
Первый и второй мешки весили вместе 12 фунтов
Второй и третий 13 с половиной фунта
Третий и четвёртый 11 с половиной фунта
Четвёртый и пятый 8 фунтов, кроме того
Первый, третий и пятый 16 фунтов
Капитан предложил путешественникам поломать голову, сколько весил каждый мешок, а тем временем разобраться в этом самому. «Если бы только моя сестра была бы здесь» - вздохнул старший из путешественников.
Решение. B отличии от предыдущих задач, эта представляет собой заурядную обыкновенную систему из 5-ти уравнений с 5-ю же неизвестными. Обозначив веса мешков v, w, х, у и z, получим:
v + w = 12
w + х = 13,5
х + у = 11,5
у + z = 8
v + х + z = 16
Отнимем из второго уравнения первое и получим х – v = 1,5, а - х = v + 1,5
Отнявши из третьего уравнения четвёртое, имеем: х – z = 3,5, а - х = z + 3,5 Отсюда: z = v – 2. Подставим это всё в пятое уравнение
v + v + 1,5 + v –2 = 16 или 3 v = 16,5 и v = 5,5 фунта - вес первого мешка. Тогда:
Второй мешок весит 6,5 (12 - 5,5).
Третий мешок весит 7 фунтов ровно (13,5 – 6,5 или 5,5 + 1,5).
Четвёртый мешок весит 4,5 фунта (11,5 – 7) и
Пятый мешок весит 3,5 фунта (8 – 4,5).
Узел V. Oughts and Crosses. (Нолики и Крестики)
Задача. «Из каких соображений, моя дорогая, ты выбирала поезд, в который сесть?»- спросила тётя свою племянницу Клару. «Наша excellent preceptress (так она называла свою директрису пансиона для девочек) всегда говорит нам, что если сомневаешься, всегда избирай крайний случай» в слезах ответила та. «Ну, и это всегда приводит к успеху?» - осведомилась тётушка. «Не всегда - неохотно призналась племянница - например, однажды во время чая, маленькие девочки подняли шум. И excellent preceptress сказала им: чем больше шума они делают, тем меньше джема они получат и наоборот (contra versa). Я подумала, что дети, должно быть, не совсем понимают, что такое contra versa и пояснила им. Если вы подымете бесконечный шум, вам не дадут ни грамма джема. А не будете шуметь совсем - получите его в бесконечном количестве. Но excellent preceptress сказала, что пример неудачный . Почему?» Тётя не ответила. Итак - продолжала Клара - я сомневалась и поэтому прибегла к крайнему случаю, как наша excellent preceptress и советовала. Я назвала поезда зайцами и черепахами. Я подумала, что не может же быть столько же зайцев, сколько и чeрепах и выбрала крайний случай: одного зайца и много черепах. Так разговаривая, они подъехали в кэбе к картинной галерее Burlington House. И тут Mad Mathesis предложила посостязаться в оценке картин. Она назвала три критерия: тема, композиция и уменье пользоваться цветами. Наличие достоинства оценивается крестиком и отсутствие - ноликом. Предлагалась найти 2-3 картины, обладающих наличием достоинств по всем категориям, т.е. заслуживающих 3 крестика. 4-5 картин должны заработать по 2 крестика, причём, первые 2-3 картины могут быть включены в это число. Выходит, достаточно найти 2-3 картины этой категории. И, наконец, нужно найти 9-10 картин, заслуживающих лишь один крестик. По аналогии, предыдущие картины тоже засчитываются. B этом раунде выигрывает пометивший меньше картин или, при равенстве числа картин, кто присвоил большее число отметок. Но это было ещё не всё. Во втором раунде нужно было отыскать 1-2 совершено «плохих» картин с тремя ноликами, 3-4 картин с двумя ноликами и с одним ноликом - 8-9 картин. Стараясь оценивать картины, Клара встретила двух пресимпатичнейших сестёр-старушек. Однако, узнав чем она занимается, те здорово усомнились, в своём ли Клара уме.
Ответ. Давайте сформулируем задание.
Задача: Каждая картина оценивается (пусть субъективно) по трём категориям, т.е. имеет 3 отметки, какими могут быть либо крестик, либо нолик. Причём: в первом раунде 2-3 картины должны иметь по 3 крестика
4-5 картин (включая предыдущие 2-3)- по крайней мере, 2 крестика
9-10 картин (включая все предыдущие) - по крайней мере, 1 крестик.
Во втором раунде - 1-2 картины должны иметь по 3 нолика.
3-4 картин (включая предыдущие 1- 2) - по крайней мере, 2 нолика
8-9 картин (включая все предыдущие) - по крайней мере, 1 нолик.
Не забываем, что остальные 2 отметки либо нолики в первом раунде, либо крестики - во втором. Мы должны присвоить наименьшему числу картин наибольшее количество отметок.
Решение: Так как в первом раунде только 2 картины обязательно должны иметь 3 крестика, во втором раунде только одна картина должна иметь 3 нолика, а остальные картины перекрываются (как например, картина с 2-мя крестиками одновременно является картиной с одним ноликом, а с одним крестиком - картиной с двумя ноликами и т.д.), то наименьшее число картин -10 (9 + 1). Если кому-то это до сих пор не ясно, давайте-ка сделаем таблицу. Отметка в скобках (как, скажем 3-ий Х в картине 3 первого тура или 0 в картине 2 второго тура) «(Х)» или «(0)» являются необязательными (т.е. они могут быть заменены на противоположную)
ОТМЕТКИ
КАРТИНА № ПЕРВЫЙ ТУР ВТОРОЙ ТУР
1 Х Х Х 0 0 0
2 Х Х Х 0 0 (0)
3 Х Х (Х) 0 0 Х (то же, что и 1-6)
4 Х Х 0 0 (0) Х
5 Х (Х) 0 0 Х Х (то же, что и 1-4)
6 Х 0 0 0 Х Х
7 Х 0 0 0 Х Х
8 Х 0 0 0 Х Х
9 Х 0 0 (0) Х Х
10 (Х) 0 0 - - -
В десяти картинах должно быть всего 30 отметок. Но так как отметки 1 и 30 совпадают, то их 29.
Узел VI. Её Лучистость (Her Radiancy).
Между тем, судно с нашими путешественниками прибыло в порт Кговджни и они сразу же по прибытии направились во дворец. На полпути от порта их встретил губернатор (тот самый, как читатель помнит, что устроил приём для одного). Он сказал им, что слово «бамбук» потому так популярно в этой колонии, что всех, кто посмеет вызвать неудовольствие Её Лучистости, бьют палками из этого материала. На вопрос, почему так много павлинов, он ответил: «Её Лучистость» велела привести птиц в их честь. «Ваша страна прекрасна - продолжал губернатор - вот я получил недавно письмо от моего друга из Лондона. Он с братом отправился туда год назад, имея по тысяче фунтов (стерлингов) каждый, а в новогодний день они имели шестьдесят тысяч между ними . Шестьдесят тысяч золотых суверенов!»
-Каким способом,- спросил младший (его звали Норман) - что выиграли?
-Квогджнинцы никогда не играют (в азартные игры).
Они пришли во дворец и правительница после приветственных речей и угощенья, состоящего, в основном, из леденцов, предложила им быть судьями в только что закончившемся конкурсе шарфовязательниц. Категорий оценок было 3: быстрота работы, лёгкость шарфа и как хорошо он греет. Обычно разница в очках между участницами конкурса была лишь в одной категории. Так, в прошлом году, Фифи и Гого вывязали в одинаковое время (за пробную неделю), одинаковое количество шарфиков. Эти шарфики весили одинаково, но фифины были в два раза теплей, и её признали в два раза лучше, чем Гого. Но в этом году участниц трое и они разнятся во всех трёх категориях. Лоло вяжет 3 шарфика, в то время, как Мими 2. Зузу вяжет 4, пока Лоло вяжет 3. Однако, 5 зузиных шарфиков весят столько же, сколь лолин один. Но 5 миминых шарфиков весят столько же, сколько 3 зузиных. По теплоте один мимин шарфик равен четырём зузиным, в то время как лолин в три раза теплей миминых.
Губернатор затем объявил, что Её Лучистость предоставляет им для выяснения, кто есть победитель, лучшую свою темницу, где их будут кормить лучшим хлебом и поить лучшей водой. В случае неисполнения воли Её Лучистости, виновные будут подвергнуты наказанию в 10 тысяч тех самых бамбуковых палок, о которых речь шла выше. С этими словами губернатор провёл гостей в отделанную мрамором и малахитом темницу и запер их там.
Решения.
Первая задача - это шутка, каламбур, основанный на двояком значении слова «Between»- «Между» (см. сноску), но додуматься до решения современному читателю, даже великолепно знающему английский, будет нелегко. Дело в том, что во времена написания этой истории (80-е годы ХIХ века) в газетах нередки были сообщения типа: «В такой-то банк привезли 60 000 золотых суверенов...». Воровство денег из банка, а, тем более, ограбление, были вещами неслыханными и поэтому репортажи такого свойства воспринимались нормально. И вот, если «наши купчики» отправились побродить по Лондону в первый день нового года и, разделённые толпой, оказались по обе стороны того банка, где лежали эти самые 60000 золотых суверенов, то да, действительно, деньги были между ними.
Задача 2. Определить победительницу в конкурсе вязательниц шарфов. Работа оценивалась по трём категориям - быстроте, лёгкости и согревающей способности. При этом:
Скорость:
Лоло (Л) - в 3/2 быстрее Мими (М) и Зузу (З) - в 4/3 быстрее Л
Лёгкость:
З - в 5 раз легче чем Л и М - в 5/3 легче З
Теплота:
М - в 4 раза теплей, чем З и Л - в 3 раза теплей, чем М
Задача сводиться к тому, какая из вязальщиц набрала большее суммарное количество очков.
Решение: Давайте-ка сначала разберёмся по категориям.
Скорость. Если принять показатели М за единицу, то:
Л = 3/2 М ; З = 12/6 М = 2 М, и М = 1 М
Лёгкость:
Л = 1/5 З = 1/5 Х 3/5 = 3/25 М; З = 5Л = 15/25 М и М =1М
Теплота:
Л = 3М; З = ; М и М =1М
Т.к. вышеприведенные взаимоотношения являются пропорциями, чтобы узнать количество очков каждой участницы по трём категориям, показатели должны быть умножены, а не сложены, для получения правильного результата.:
Лоло = 27/50М; Зузу = 15/50М и М = 50/50М (=1) или (разделив на М и умножив на 50), 27, 15 и 50, делая Мими явной победительницей.
Узел VII. Деньги на мелкие расходы (Petty cash).
Тётушка не жалела ничего для своей племянницы, в том числе мелкие деньги на завтраки (или ленчи) в полюбившейся ей кафе-кондитерской. Однако, будучи дамой организованной и любящей порядок, тётушка Мати (как Клара её называла) требовала подробного отчёта. Вот и сейчас, по пути на вокзал, она хотела знать, сколько племянница оставила там, после последнего посещения кондитерской. Но тут Клара увидала уже знакомых читателю старушек-сестёр, которых она повстречала в картинной галерее. Вспомнив, что брала 1 сэндвич, 1 бисквит и 1 стакан лимонада, бедная девушка начисто забыла, сколько она заплатила. Сёстры-старушки, которые, оказывается, были однажды в этой же кондитерской, вспомнили, что съели 3 сэндвича, 5 бисквитов и выпили 2 стакана лимонада. И тоже не помнят, какой был счёт. И лишь у тёти, в записной книжке, на страничке, озаглавленной «Деньги на мелкие расходы», как всегда, имелись записи о предыдущих двух визитах в вышепоименованную кондитерскую. Там значилось: «3 сэндвича, 7 бисквитов и 1 стакан лимонада - 1 шиллинг и 2 пенса» во время другого посещения за 4 сэндвича, 10 бисквитов и 1 стакан лимонада было уплачено 1 шиллинг и 5 пенсов.
Задача: Помогут ли тётины записи узнать, сколько уплатила девушка и сколько ленч стоил старушкам.
Если обозначить стоимость сэндвича х, стоимость бисквита у и цену стакана лимонада z, то
Известно: 3х + 7у + z = 14 пенсов (= 12 + 2) (Уравнение 1) и
4х + 10у + z = 17 пенсов ( = 12 + 5) (Уравнение 2)
Требуется узнать х + у + z = ? и 3х + 5у + 2 z = ?
Решение: Мы имеем здесь систему двух уравнений с тремя неизвестными, что делает задачу, казалось бы, неразрешимой. Но, как всегда, в задачах Льюиса Кэрролла не спешите говорить «нельзя». Как и в Узле I, следует сообразить, что в задаче вовсе не спрашивается, сколько стоит сэндвич, бисквит и стакан лимонада в отдельности. Всё, что нужно сделать - это сманипулировать уравнения так, чтобы получить требуемые результаты. Начнём с того, что вычтем уравнение 1 из уравнения 2. Получим: х + 3у = 3 и х = 3 - 3у. Подставим это в уравнение 1
9 – 9у + 7у + z = 14 или z – 2у = 5 (3). Умножим это уравнение (3) на 2
2 z – 4у = 10 и прибавим к уравнению 1. Получим 3х + 3у + 3 z = 24 или
х + у + z = 8 – это сколько уплатила Клара. Теперь прибавим уравнение (3) к уравнению 1: 3х + 5у + 2 z = 19 (1 шиллинг и 7 пенсов) - это как раз столько, сколько уплатили старушки за свой ленч.
Узел VIII. Ребус с омнибусами (De omnibus rebus).
Не стоит и говорить, что наши путешественники Норман и его отец, победительницу конкурса шарфовязальщиц не определили. Они вообще в арифметике сильны не были (а по-моему, просто не желали беспокоить себя и напрягать своё мышление), а это было особенно сложно. По прошествии разумного периода времени и при отсутствии разумного результата, их вывели из темницы и губернатор объявил им, что Её Лучистость раздумала подвергать их наказанию в 10 тысяч палок, однако терпеть таких безмозглых посетителей в своих владениях она не желает. А посему им предлагается немедленно убраться из Кговджни. Проходя через территорию штаб-квартиры местных вооружённых сил, они увидали солдат, снующих повсюду со свиньями в руках и гигантского офицера, отдающего команды громовым голосом.
«Это главнокомандующий,- пояснил губернатор,- и у него большие неприятности. Её Лучистость приказала ему разместить 24 свиньи в этих 4-х свинюшниках таким образом, чтобы проходя по кругу двора, она бы всегда обнаруживала, что в очередном свинюшнике число свиней было более ближе к десяти, чем в предыдущем. Вот уже 4 месяца он старается это сделать и у него ничего не выходит». Да, главнокомандующему можно не позавидовать. Ведь его изгнать из страны нельзя, да и некуда. «Скажите,- спросил старший из наших путешественников,- может ли что-нибудь быть ближе к десяти, чем десять.» «Нет, ничего не может быть ближе к десяти» - был ответ. Между тем они вышли из дворца. От ворот к порту и в противоположном направлении отправлялись омнибусы - прообраз современного автобуса, только на конной тяге - каждые 15 минут. Но в омнибусе, направляющемся к порту, к сожалению, свободных мест не было. Стремясь поскорей удалиться от экспансивной и эксцентричной правительницы с её 10 тысячами бамбуковых палок (ведь она может и передумать!) они решили пойти пешком в надежде, что какой-нибудь экипаж их догонит и подберёт. Когда им встретился омнибус, идущий из порта прошло 12 с половиной минут после того как они тронулись. Через сколько же времени после встречи их, наконец, догонит следующий омнибус?
Ответы.
Часть первая. Задача: Разместить в 4-х свинарниках 24 свиньи так, чтобы при движении по кругу от свинарника к свинарнику, в каждом следующие свинарнике число животных было ближе к десяти, чем в предыдущем.
Решение: И эта задача является своего рода шуткой, основанной на том, что ничего не может быть ближе к десяти, чем... ничего. В самом деле, и 9, и 11 дaльше от 10, чем... ничего. Поэтому, решить её ни методами математики, ни логикой нельзя. Лучше всего, если бы солдаты носили бы свиней впереди своей своенравной правительницы. Правда, можно по ходу движения Её Лучистости в один свинюшник поместить 6 хрюшек, во второй - 8, в третий - 10 и в последний - ничего. Тогда, 8 ближе к 10-ти, чем 6; 10 ближе к 10-ти, чем 8 и ничего не может быть ближе к 10-ти, чем… ничего.
Часть вторая. Задача: Экипажи ходят с интервалом в 15 минут. Путники двинулись вместе с омнибусом и через 12,5 минуты поравнялись со встречным экипажем. Через сколько времени после встречи их догонит очередной омнибус?
Решение: До встречи, и путники, и омнибус двигались в противоположном направлении в течение 12,5 минут. Т.к. интервал для омнибуса составляет 15 минут, то омнибусу оставалось 2,5 минуты, чтобы добраться до точки, из которой начали свой путь путешественники. Иными словами, чтобы проделать путь, на который у путников ушло 12,5 минут, омнибусу понадобиться 2,5 минуты. Т. е., скорость омнибуса в 5 раз выше, чем скорость путешественников . Догоняющий экипаж также находился в момент встречи в 2,5 минутах от исходной точки начала пути путников. Если обозначить искомое время t, то к моменту встречи с догонным экипажем, путники пройдут путь равный v(12,5 + t), где v- скорость путников, а омнибус - 5v t. Разница между величинами этих двух путей - 2,5 Х 5v = 12,5v, это тот путь, который в течении 2,5 минут, догонный омнибус прошёл до точки старта наших путешественников, т.е. 5v t – 12,5v - vt = 12,5v . Сократив на v и разделив члены уравнения, получим: 4t = 25 и t = 6-1/4 минуты или 6 минут 15 секунд, что и требовалось узнать.
Узел IХ. Серпент с углами (A Serpent with Corners).
Поглощённые нашими задачами, мы почти забыли двух братьев и их репетитора, отдыхающих в приморском городке Little Mendip. Между тем они были на пляже. Ламберт лежал на спине. Ничего не делая и ни чём не думая. А Хью, тем временем, погрузив в ведро с водой небольшое ведёрко, бросал в него гальку, стараясь определить при каком количестве камешков, ведёрко будет оставаться на плаву. Утром Балбус рассказал им про закон Архимеда и Хью решил испытать его в действии. Однако Хью не мог понять, почему вытесненная ведёрком вода меньше чем объём ведёрка. Он спросил об этом Балбуса. Тот ответа сразу не дал, но пообещал написать на эту тему сочинение.
Тем временем он задал своим ученикам задачу. «Мой друг - начал он - имеет небольшой огород...» «Какого размера?» «Вот именно это вам и предстоит узнать. Скажу только, что длина участка больше её ширины на ; ярда (1 ярд = 3 футам =0,9 м)» Потом оказалось, что весь «огород» состоит из гравийной дорожки, шириной в 1 ярд, идущей от одной стороны к другой и обратно, причём, каждый следующий виток плотно прижат к предыдущему. «Как серпент с углами!» - воскликнули дети. «Да» - ответил Балбус и добавил: «Если пройти по центру дорожки из конца в конец, весь путь составит 2,5 мили».
Продиктовав задачу, Балбус отправился к себе писать обещанное сочинение. Он вообразил себе мерный стакан с водой, в который заталкивается какой-то цилиндр. Разумеется, уровень воды в стакане начнёт повышаться. Балбусу казалось, что по мере погружения цилиндра, этот более высокий уровень сделает цилиндр более погружённым и ещё вытисниться дополнительный объём воды и так до бесконечности. И в то же самое время, он понимал, что где-то заблуждается. Впрочем, излишне напрягать свой ум Балбус не привык. Он улёгся на софе додумывать и вскоре захрапел.
Ответы.
В своих произведениях Кэрол едко высмеивает, так хорошо знакомый ему по академии, тип «ученого мужа», который мало того, что не обладает глубокими знаниями, но ещё сам не понимает многое из того материала, который он пытается изложить своим ученикам. Это профессор и «второй профессор» из «Сильви и Бруно» и, конечно же, Балбус (странная близость к слову «балбес»). Балбус не знал и не понимал закон Архимеда. Этот закон гласит: «Тело, погружённое в жидкость, теряет в весе ровно столько, сколько весит вытесненная им жидкость». В применение к плавучести это означает: если вытесненная телом жидкость весит больше, чем само тело, то оно плавает в этой жидкости, если нет - тонет. Цельное тело плавает, если удельный вес его вещества меньше удельного веса жидкости. Что же касается оболочек, какими являются, скажем, суда, вёдра, кастрюли, коробки и т.п., то они плавают, если вытесненная ими жидкость весит больше, чем сама оболочка с грузом в ней. Кстати объём в этом деле не участвует, а вернее участвует лишь косвенно, поскольку от объёма погруженной части зависит вес вытесненной жидкости.
Эксперимент по демонстрации закона Архимеда надо было бы провести не на пляже, а на столе в «дневной» комнате, одолжив у хозяйки всё необходимое. А необходимо, помимо уже имеющихся ведра и ведёрка, следующее:
-Таз или миска, в какую можно было бы поставить ведро.
-Весы, грузоподъёмностью 15-25 фунтов с набором гирь.
Сначала следовало бы взвесить таз (миску) и ведёрко, и записать результаты. Потом на стол поставить таз (миску), в него ведро и заполнить ведро водой до краёв. Ведёрко следует поместить в воду и одну за другой вкладывать в него гири. Когда ведёрко почти полностью погрузится, его надо вынуть из воды, извлечь гири, подсчитать и записать их суммарный вес и прибавить к нему уже известный вес ведёрка. Затем нужно взвесить таз (миску) с вылившейся в него водой и от результата вычесть вес таза (мыски). Если эксперимент проведен достаточно тщательно, то вес вытесненной воды будет превышать вес ведёрка с гирями. Это наглядно продемонстрировало бы мальчикам закон Архимеда. Но Балбус не понимал великого грека. Он не понимал, что если в мерный сосуд (мензурку), заполненный некоторым количеством жидкости, с внутренним диаметром D погрузить полностью цилиндр диаметром d и длиной l, то высота столба этой жидкости возрастёт на конечную величину ; = d;/D;l. И всё!
Вторая задача требует сообразить, что каждый ярд длины гравийной дорожки шириной в 1 ярд имеет площадь в один квадратный ярд. Тогда вся площадь этого прямоугольного «огорода» будет равна длине дорожки, т.е. 2,5 мили = 3630 кв. ярда (читатель помнит, что в 1-й английской миле 1452 ярда около 1,3 км). Тогда
(х + 0,5)х = 3630 или х; + 0,5х – 3630 = 0. Как мы помним, квадратное уравнение решается следующим образом:
Х 1,2 = -0,25 ± ;0,0625 + 3630 = -0,25 ± 60,25. Т.к. отрицательное значение нам не подходит, х = 60. Это ширина. Длина равна х + 0,5 = 60,5 ярда.
Узел Х. Чельстны булочки (Chelsea Buns).
«Как это печально, - со слезами на глазах сказала чувствительная Клара, глядя на калеку - жертву одной из тех бесчисленных войн, которые Англия в те времена вела почти непрерывно.- Один потерял руку, другой ногу, третий глаз, а четвёртый ухо. Всё это служа своей стране». Математичная тётя была тут как тут. «А сколько вот потеряли всё вместе, и руку, и ногу, и глаз, и ухо?» «Как я могу знать? Для этого надо иметь данные.» «Вот я и снабжу тебя данными. 70% потеряли глаз, 75% - ухо, 80% - руку и 85% - ногу. Сколько, по крайней мере, потеряли всё?». Тетя и племянница ехали в коляске вдоль побережья. «Купите ей лучше челсины булочки»- сказал пожилой человек и, приоткрыв чистую белую салфетку, показал квадратные сросшиеся друг с другом аппетитные сдобные булочки в своей корзинке (точно такие же булочки продавались при мне и в бывшем Советском Союзе по 9 копеек штука, но они никак не назывались). Тетя отмахнулась от него зонтиком, но продавец, ничуть не смутившись, продолжал расхваливать свой товар, напевая куплет.
Они прибыли в поместье Челси (которое, видно, и дало название булочкам), снятое старшим путешественником, только что прибывшим с сыном из-за границы. Вот тут и встретились все герои нашей запутанной истории. Оказалось, что отец Нормана был также отцом Клары, Хью и Ламберта, а тётя Мати приходилась ему сестрой (помните «если бы моя сестра была здесь»). Писатель ничего об этом не говорит, но, очевидно, мать этих детей преждевременно покинула их (иначе и она была бы здесь). Хью, Ламберт и Балбус только что вошли. «Среда становится четвергом в полночь, не правда ли?» спросил Хью. «Время от времени» - ответил Балбус. «Всегда»- заявил Ламберт. «Нет, время от времени,- настаивал Балбус,- ибо шесть полночей из семи, день становится чем-то другим». «Что я имею в виду,- пояснил Хью,- что когда среда становится четвергом, то это происходит ВСЕГДА в полночь?» «Конечно» - сказал Балбус, в то время как Ламберт промолчал.
«Хорошо, допустим, в Челси полночь. Тогда, к западу от нас, в Ирландии или в Америке ещё среда, потому, что полночь к ним ещё не пришла. А к востоку, скажем в Германии или России уже четверг, потому, что полночь там уже прошла». «Конечно»- согласился Балбус, а Ламберт кивнул. «Значит,- продолжал Хью,- но если где-либо не полночь, то и день поменяться не может и, в то же самое время, если Ирландия, Америка и т.п. зовут это среда, а немцы и русские четверг, то должно быть место, где люди имеют оба дня сразу или, даже, у них дни чередуются в неправильном порядке: у них среда с востока, а четверг с запада, т.е., меняются с четверга на среду.». «Я слыхал эту задачу и раньше!- воскликнул Ламберт - и я объясню тебе в чём дело. Когда корабль идёт вокруг света с востока на запад, мы знаем, он теряет день в расчетах. Поэтому, когда он приходит домой и зовёт этот день среда, он находит людей, которые называет этот день четверг, потому что у нас на одну полночь больше, чем у корабля. А когда ты идёшь в противоположном направлении, ты выгадываешь день.»
«Я всё это знаю. Но это никак мне не помогает, потому что корабль не имеет правильных дней. Когда он идёт в одном направлении в его сутках больше, чем 24 часа, а когда в противоположном - меньше. И только люди, живущие на одном месте, имеют в сутках всегда 24 часа. «Допустим, такое место существует,- вмешался Балбус, - и люди, должно быть, находят это весьма нелепым - иметь прошедший день к востоку от себя и будущий западу. Потому как, когда приходит полночь со старым днём позади и новым впереди, никто этого не может видеть. Мне надо об этом подумать…» Все собрались в столовой. На столе лежали листки бумаги, чернильницы, карандаши и ручки, а в центре стола находился холщовый мешок, в котором позванивали гинеи . Хозяин обратился к присутствующим с речью. «В этом году мой старший сын достиг совершеннолетия (21 года в тогдашней Англии). С некоторых пор я завёл обычай каждый год дарить каждому из моих сыновей число гиней, равное их возрасту. Сколько-то лет тому назад был особый день, когда число лет, которое имели двое из моих сыновей вместе, оказался равным возрасту третьего. Балбус подсказал мне, что в данный момент совместный возраст двух из моих сыновей в два раза превышает возраст третьего. И это число лет между этими двумя событиями равно 2/3 числа гиней я дал вам тогда, во время первого события. Теперь, мои мальчики, подсчитайте ваш возраст по этим данным и получите деньги». С этими словами он покинул комнату. «А ты, моя дорогая, получишь столько же, если подсчитаешь процент калек. И она присоединилась к своему брату, покинув библиотеку. На этом эта наша запутанная история заканчивается.
Ответы.
Задача 1. Определить наименьший процент калек, которые потеряли 4 органа: ногу, руку, глаз и ухо, если известно, что глаз потеряли 70%, ухо - 75%, руку - 80% и ногу - 85%.
Решение: Слово «Процент» (per cent) означает один из ста. Т.е., если мы возьмём 100 инвалидов войны, то 70 из них потеряли глаз, 75 - ухо, 80 - руку и 85 - ногу. Как это может быть? А потому, что они потеряли несколько органов сразу. Если мы сложим число ранений (70 + 75 + 80 + 85), то получим число 310. Этому числу соответствует 100 с тремя ранениями и 10 с четырьмя. 10 будет 10% от 100
Задача 2. Существует ли место на Земле, где бы в полночь был бы и четверг и среда сразу же? Может быть, чтобы с запада был четверг, а с востока среда? В самом ли деле на корабле, идущем на восток или на запад сутки либо больше 24 часов, либо меньше?
Ответ. Это даже не задача, это философское рассуждение. Начнём с того, что время на планете Земля течёт везде одинаково. Однако, если бы все часы на нашей планете показывали одно и тоже время, была бы полная неразбериха. Дело в том, что ввиду вращения Земли, такие важные события в жизненном цикле человека, как восход и заход Солнца, т.е., наступление света и темноты происходили бы в разное время. Поэтому Землю разделили на 24 часовых пояса, отсчёт которых идёт по экватору по линиям, именуемым меридианами. Нулевым из них считается Гринвичский меридиан, проходящий через обсерваторию расположенную в деревне Гринвич под Лондоном. Необходимо чётко понимать, что это всё лишь условно и не всегда в точности соответствует реальной действительности. На корабле, идущем на восток или на запад, время идёт также, как и везде. Точные часы-хронометры у капитана и штурмана, показывающие гринвичское время отсчитывают часы и сутки. Но для удобства экипажа и пассажиров, каждый раз, когда судно пересекает очередной меридиан, часы для ежедневного пользования обитателями судна переводятся на час вперёд или назад, по времени пройденного меридиана. Точное время в данном месте можно определить, используя прибор секстан.
Таким образом, если человек не стоит на меридиане, то, строго говоря, полночь - это не полночь и нечего самому себе морочить… голову. А добавить к этому декретное время (летнее и зимнее) - и ситуация со временем окажется ещё более запутанной. Но, если вы да стоите на меридиане, то к полночи с запада ещё вчерашний день, а с востока - завтрашний. А вот если вы окажитесь на самом гринвичском меридиане, то тогда с востока приходит вчерашний день (ведь там уже прошло 24 часа), а с запада наступает завтрашний. У бедных детей итак в голове была каша, а тут ещё и это. Все сказанное здесь очень запутано. Не зря сам Кэрол отвечать на этот вопрос отказался.
Задача 3. Определить нынешний возраст двух из трёх сыновей, если известно, что старшему 21 год, а какое-то время тому назад суммарный возраст двух из них равнялся возрасту третьего, а в настоящий момент, спустя число лет, равных 2/3 суммарного возраста мальчиков во время первого события, суммарный возраст двух из них в два раза превышал возраст третьего.
Решение: Обозначим возраст среднего сына «х» и младшего - «у». Так как суммарный возраст младшего и среднего никак не может быть в два раза больше возраста старшего, а суммарный возраст старшего и среднего явно превысит возраст младшего более, чем в 2 раза, то остаётся: 21 + у = 2х, или у = 2х – 21 (1). Теперь, n лет назад, возраст двух мальчиков (а это могут быть только младший и средний) был равен возрасту старшего, т. е. :
(21 – n) = (х – n) + (у – n), откуда n = х + у –21, но в то же самое время это две трети тогдашнего суммарного возраста всех трёх мальчиков, или
2/3 ((21 – n) + (х – n) + (у – n)) = х + у – 21. После преобразований
6 n = 105 – х – у; n = 1/6(105 – х – у) = х + у – 21; 7х + 7у = 231; х + у = 33 (2) Подставив значение у из выражения (1) получим: х + 2х – 21 = 33; 3х = 54; х = 18.
Тогда у = 15. Любопытства ради, найдём n = 18 + 15 – 21 = 12. И, в самом деле, 12 лет назад 6 + 3 = 9 и сейчас 21 + 15 = 2 Х 18 = 36.
Интересные ведь задачи, не правда ли?