В фантастическом мире борьбы хаоса с антихаосом, виртуальном мире, построенном по законам математики, из уравнения антихаоса начинают пробиваться ростки новой жизни. На первый взгляд, идея появления порядка из беспорядочного поведения выглядит невероятной. Но именно на основании нескольких простых принципов спонтанно возникает все живое богатство разнообразия необычайных биологических форм. Они борются за место под солнцем и развиваются. Создается устойчивая окружающая среда. При соблюдении правил антихаоса наступает Порядок.
Очень заманчиво провести аналогию математического образования с простой формулой «живой элемент – вся природа». Но ведь именно так природа создает свои сложные организмы! И в этом есть определенное сходство: оба процесса идут по одной схеме. Задается лишь некоторая инструкция, правило, алгоритм, а не точное описание конечного объекта - флоры или фауны. Сходство и различие флоры и фауны бесконечно, точно так же как бесконечно разнообразие природного мира. Мы видим в этом разнообразии сложное подобие образов.
Существует явная связь между математическим множеством и творениями природы. Эту исключительно ценную для науки и практики применения фракталов закономерность - способность психически больных субъектов представлять объективную информацию обнаружил Карл-Густав Юнг, исследуя рисунки своих психически больных пациентов. Он выяснил странную аналогию между рисунками этих пациентов и рисунками фрактальной геометрии. С тех пор обсуждается идея, что существует первичный источник сознания, некоторая смесь глобальных первичных образов Вселенной, которые находятся в каждом из нас. Эти прообразы являются источником знания. Как это происходит?
Когда мы рассматриваем прекрасные образы на мониторе компьютера, то мы обращаем внимание на совершенные изображения действительного или виртуального мира. Эти отображения путем визуального восприятия возникают в голове. Через ощущения, восприятия, представления, понятия, суждения и умозаключения абстрактные ассоциации образов формируются, преобразуются и конкретизируются во фракталы. По этому поводу И. Гете кратко выразил в стихах взаимосвязь прообразов Вселенной с окружающим нас миром, заявил об ответственности человека за судьбу цивилизаций:
«Тому примеров нам не счесть,
тому примеры можно множить:
нельзя цветок так не задеть,
чтобы Луну не потревожить»
Примеры образного представления фракталов безграничны. Взять хотя бы облака на небе, или скопление муравьев на земле. Фракталы – это те очертания, которые странным образом возникают в нашем подсознании. Название было придумано Бенуа Мандельбротом (США). Когда он понял, что работает в области новых геометрических образов, то придумал это слово «фрактал» – как нечто дробное. Оно более всего передавало его ощущение фрагментарности, прерывности, дробности.
Ассоциативный образ множества Мандельброта напоминает какое-то странное насекомое. Создается впечатление, что это множество связано с органической жизнью: какие-то отростки, волоски…И, если двигаться вдоль этих волосков, то, как - бы изнутри, можно увидеть нечто весьма интересное. Конец каждого волоска расщепляется на два новых, потом каждый волосок раздваивается и так далее до бесконечности. Это расщепление, раздвоение, разделение или, как говорят в математике, «бифуркация» происходит в совершенно случайных направлениях, что является типичным для целого класса математических объектов, называемыми «фракталами».
Множество Мандельброта – самый выдающийся фрактал. Потребовалось много времени, чтобы подняться над собственным невежеством и заглянуть за пределы физически обозримой Вселенной. И сделать это не как узкому специалисту, изучающему муравья, нагромоздившегося в хаосе на другого муравья, а взглянуть на всю природу в целом и неожиданно прийти к выводу, что у нас нет инструмента, чтобы описать все это многообразие. Края облаков - это те же размытые, нечеткие множества (fuzzy set). Это не правильные окружности, не треугольники, а что-то другое. В очертаниях облаков можно узнать любые знакомые образы – они имеют сложную структуру, но у них нет четких контуров, никаких прямых линий или окружностей.
Напрашивается вывод о неотвратимом, «тайном» стремлении антихаоса к потенциальности, законченности, «правильности» фрактальной структуры, о стремлении фрактальных образов к гармонии и самовоспроизведению. Таким образом, в этом понимании мы выходим за рамки традиционной классической эвклидовой геометрии и приходим к новой, фрактальной геометрии.
В результате этого открытия в нашем сознании совершается революция. Мы смогли осознать тот факт, что в природе мы имеем дело не с гладкими, непрерывными объектами, как мы думали раньше, а гораздо чаще - с фрактальными объектами. Так природа создает свои объекты, так она на наших глазах выращивает фракталы. Для этого необходимо наличие проекции - прообраза Вселенной, в виде первого поколения геометрической формации (например, зерно, которое прорастает). Мы задаем цель – выращивать зерно, то есть создаем среду, мотивацию и условия роста. Зерно, как правило, не растет «вопреки» условиям ,а только благодаря им, в отличие от бесполезных сорняков.
При этом, изменяя направление вектора цели, его величину и градиент воздействия, требуется также смысл, «внутренний разум» процесса, который определяется стремлением антихаоса к гармонии, совершенству. Это и есть тот минимальный набор инструкций поведения системы, достаточный для ее саморазвития. Через десять поколений возникает «дерево», которое очень похоже на дерево в природе, так как две его первоначальные «ветки», растущие в разных направлениях, были одинаковой длины.
А что произойдет, если мы изменим длину и направление одной из «ветвей»? Это дерево выглядит более реалистичным, чем первое, с одинаковыми ветвями. В природе очень редко встречается идеальная симметрия, которая может и не случиться (как событие вероятностное). Очень сложная структура образа может быть получена с помощью очень простых правил. Все эти формы, образы объектов, хотя и выглядят очень реальными, они, все же, создаются по очень простым повторяющимся правилам, как бы правилам повторяющихся образов на основе рекурсивных итерационных алгоритмов. Таким, видимо, рекурсивным методом природа создает свои творения. Это абсолютно то же самое, что и спираль ДНК в яйце бабочки. Каким-то образом она раскручивается, распутывается, чтобы образовать единственно возможный узор на ее крыле с ее мириадами оттенков и форм.
Каким – то образом это скрыто в молекуле ДНК зерна, листика дерева или яйца. Не только узор, но и форма крыла каким-то образом скрыта в частичках молекулы ДНК. Эти крылышки бабочки являются некоторой формулой, которая реализуется в природе в процессе роста, следуя строгим правилам естественной природной процедуры.
Все живые существа, казалось бы, имеющие такие сложные структуры, созданы по очень простым (а, значит, и максимально вероятным) правилам и законам физики и химии. Многие живые образования имеют при этом некую узорчатую структуру, как, например, листья на деревьях или листья папоротника. Все они имеют одни и те же черты, что и множество Мандельброта. Вы смотрите на какую-нибудь маленькую часть, а там есть множество деталей. И часто эта маленькая часть очень похожа на весь объект в целом. Очень заманчиво провести аналогию образования множества Мандельброта по простой формуле «стебелек – вся природа». Именно так природа создает свои сложные организмы. И в этом есть определенное сходство: оба процесса идут по одной схеме. Задается лишь некоторая инструкция, правило, алгоритм, а не точное описание конечного объекта - флоры или фауны.
Сходство и различие флоры и фауны бесконечно, точно так же как бесконечно разнообразие природного мира. Мы видим в этом разнообразии сложное подобие образов – фигурки слонов, щупальца осьминогов, морских коньков и т.д. Существует явная связь между множеством Мандельброта и творениями природы.
Если посмотреть на Сатурн – один из самых прекрасных объектов на небе, то можно увидеть, что кольца Сатурна иллюстрируют все то, что мы наблюдаем во множестве Мандельброта. Чем ближе к Сатурну, тем больше мелких деталей мы можем различить. Об этом раньше даже не предполагали, что если мы имеем столько примеров фрактальных образов на Земле, то их еще больше можно отыскать на небе. Когда мы смотрим на Млечный путь, то и там мы видим фракталы. Млечный путь имеет исключительно точечный, дискретный, характер.
Но если взять увеличительное стекло – телескоп и рассмотреть эти точки поближе, то мы увидим сотни тысяч новых точек там, где, казалось, ничего нет. Прекрасный пример структуры, которую можно детерминировать все глубже и глубже, все больше и больше! Самое поразительное во множестве Мандельброта - это то, что, будучи бесконечно сложным, оно основано на невероятно простых принципах, в отличие от почти всей современной математики.
Любой, кто умеет умножать и складывать, в состоянии применять принципы, которые лежат в основе фрактальных образов. Вам даже не понадобится умение вычитать и делить, тем более использовать логарифмы и тригонометрические функции для того, чтобы понять, как образуется множество Мандельброта. Понятно, что сам принцип мог быть открыт когда угодно в процессе развития человеческой цивилизации, а не только в 1980 году.
Но вся проблема была в том, что, несмотря на простой принцип сложения и умножения, мы должны повторять эту операцию миллионы и миллионы раз, чтобы образовать полное множество. Это случилось 1 марта 1980 года в исследовательском центре фирмы IBM на севере штата Нью – Йорк, когда Бенуа Мандельброт впервые воочию увидел это множество. Истоки этого открытия, вероятно, исходят от французского математика Гастон Маурис Джулия (Gaston Maurice Julia), который в 1917 году в Париже опубликовал работы, связанные с представлением комплексных чисел. Но впервые, на мой взгляд, мнимые величины появились в известном труде «Великое искусство, или об алгебраических правилах» Дж. Кардано (G.Cardano, 1545), который, впрочем, счел их абсолютно бесполезными и непригодными к употреблению. Даже для многих крупных ученых 17-го века алгебраическая и геометрическая сущность мнимых величин представлялась неясной и даже загадочной и мистической.
Известно, например, что И. Ньютон не включал мнимые величины в понятие числа, а Г.В.Лейбницу (Gottfried Wilhelm Leibniz) принадлежит знаменитая фраза: «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытием». Геометрическое истолкование комплексных чисел впервые появилось в работах К. Весселя ( C. Wessel, 1799), а представление – в виде «диаграммы Аргана» - вошло в обиход после опубликования работ Ж.Р. Аргана (J.R. Argand) в 1806-1814 годах. Самое главное заключается в том, что из очень простых формул получаются очень сложные результаты. Это – фундаментальная основа любой серьезной научной теории. Ведь что такое наука? Вокруг нас весь этот хаос, все кажется непознаваемым. А затем рано или поздно, легче или труднее, но, так или иначе, мы постепенно открываем простые законы, простые формулы. Взять хотя бы формулу закона Ньютона, в которой всего лишь несколько символов. Тяжкие труды предшествовали ей, но зато теперь мы можем объяснить движение планет вокруг Солнца и много других вещей.
Здесь имеется интересная параллель с уравнением, которое известно почти каждому:
2
Е = m с
Это известное уравнение А. Эйнштейна, раскрывающее связь энергии с массой. Это простое уравнение имело очень отдаленное последствия. Уравнение Мандельброта столь же просто:
2
Z = z + с
В отличие от уравнения А. Эйнштейна, где вместо букв подставляются числа физических величин массы, скорости света и энергии, в уравнении Мандельброта вместо букв подставляются просто цифры, не имеющие размерности, а, значит и прямого физического смысла. Это соотносится так же, как информация и знание, число и символ, возможность и действительность, часть и целое, случайность и закономерность.
Эти числа являются координатами, определяющими текущее состояние объекта в определенной точке пространства и времени. И в этом их вселенский смысл и глобальное предназначение. Множество Мандельброта бесконечно в своих деталях, определяемых не просто масштабом, а бесконечно возможной детализацией исследуемых точек в системе координат. Однако реальная Вселенная, похоже, имеет свои пределы. Если мы станем углубляться в микромир, то мы найдем там молекулы, атомы, нейтроны, протоны, электроны и, наконец, следы кварков. Но идет ли этот процесс деления до бесконечности? Или, в отличие от множества Мандельброта, этому есть предел?
Современная наука считает, что у Вселенной есть предел: он называется "длиной Планка", длиной элементарной волны, которая в миллиарды раз меньше сантиметра. Это значит, что существует предел тому, насколько сложно в принципе может быть устроена Вселенная. Это означает также, что Вселенная может быть описана теорией, которая в принципе может быть очень проста, по крайней мере, в пределах масштаба длины Планка. Поэтому в реальной Вселенной существует некоторый предел, размер, который называется «длиной Планка». Но эта фундаментальная единица размеров – крохотная «песчинка» Вселенной, меньше которой ничего нет! Так что наша Вселенная, возможно, заканчивается на уровне самой маленькой величины. Но мы этого пока ещё не знаем.
Вероятно, что множество Мандельброта – это одно из самых замечательных открытий в истории математики. Трудно даже представить, как такое простое уравнение может создать неисчислимое количество очень сложных образов. Исторические истоки уравнения Мандельброта можно найти в событиях 19-го столетия, когда были открыты не дифференцируемые функции и производная, и когда были созданы основы теории множеств. Теория множеств получила особое развитие в России, чему способствовали огромные успехи физики и математики 19-х – 20-х столетий. Фрактальные образы – самоподобны. Такие самовоспроизводящиеся образы довольно широко распространены в природе, но они имеют одну примечательную особенность: они не могут реализовываться в бесконечности. То есть, фракталы – это хотя и глобальные, но конечные, фрагментарные образы.
Разумеется, что все это звучит очень красиво, но какое практическое значение это имеет? Когда М. Фарадею премьер-министр задал такой же вопрос по поводу его проволочек и магнитов, то он ответил: «А зачем может понадобиться новорожденное дитя? По крайней мере, придет день и Вы, сэр, сможете обложить все это налогами!»
Теория фракталов имеет огромную практическую ценность. Нет больше необходимости напрямую связывать полученные данные со строгими научными выводами. Теперь мы можем связать их будущее через прошлое и настоящее состояние, то есть, через интерполяцию , фильтрацию и экстраполяцию , через "предысторию фракталов". И, используя новые знания, мы можем не только получить совершенно новые ("будущие") результаты в "прошлом" , но и опять вернуться в "прошлое" для того, чтобы исправить ошибочные результаты, если они не устраивают ни нас, ни общество, ни природу и Вселенную.
Таким образом, применение фракталов обосновано возможностью более ёмкого, многомерного понимания и описания физического мира на основе аналитической геометрии метрических фрактальных образов. Эта не только новая область науки, но и источник получения нового знания на пути усовершенствования человека, природы и Вселенной путем их гармонизации, исправления ошибок прошлого. Фракталы - мощный инструмент преобразования будущего. Антихаос работает на порядок, Вселенная стремится к гармонии, а человек больше не вмешивается в эти процессы, чем не создает сам себе проблем на пути к обеспечению смысла жизни, то есть, к бессмертию.
Итак, фрактальные образы – это инструмент для нужд других наук. Научные и инженерные разработки приведут к созданию нового поколения устройств и оборудования. Возможно, что это будет принципиально новый тип устройства, каковым, когда –то, был компьютер. И это нечто новое будет работать на принципах фрактальной геометрии. Точно так же, как из простых знаний возникают сложные, более совершенные знания.
Секрет фрактального сжатия образов состоит в переводе формулы образа в область безграничного разрешения. Используя множество Мандельброта, мы теперь можем сжать образы, и это потребует совсем немного памяти, битов информации, для хранения этих образов. Когда мы расширяем или сжимаем образ относительно все тех же фрактальных принципов, то это действие не становится коммерческой реальностью.
Возьмем еще пример. Если мы возьмем фрагмент из цифровой картинки и сильно его увеличим, то образ станет грубым, неточным, размытым, состоящим из огромных по размеру деталей. Если мы возьмем этот крупнозернистый образ и пропустим через фрактальный анализатор, то мы сможем реконструировать детали первоначальной картинки. Если затем расположим эти картинки рядом друг с другом, то получится поразительная разница! Откуда пришли все эти детали? Эта фрактальная картинка – предвидение, основанное на цифровых данных. Мы можем увеличивать картинку во столько раз, во сколько захотим, так как это – бесконечное разрешение. То, что мы увидим – это фрактальная структура, фрактальное творение, которое имитирует пропущенные или утерянные при увеличении или уменьшении данные, то есть, экстраполирует, фильтрует, интерполирует - предсказывает на основе использования принципов фрактальной геометрии.
Что происходит, если изначальные данные моделируются с помощью фрактальной формулы, а затем мы наблюдаем эту фрактальность во все в большем количестве деталей? Как происходит синтез фрактального образа? Фрактальная геометрия расширяет возможности познания мира, но нам всегда кажется, что полученные фракталы мы где-то видели в природе. Так же происходит и в искусстве.
Мы знаем, что в нашем мозгу есть отделы, отвечающие за восприятие формы. Есть отделы, отвечающие за цветовое восприятие. Вероятно, что там есть отделы, отвечающие за фрактальные представления. Разве не подобным образом, на основе принципов параллельной обработки информации мы распознаем фрактальные образы лиц друзей и знакомых, моментально различаем сходство и отличия живых образов многоликой природы? Пока это – гипотетический вопрос фундаментальной науки о человеке.
Феномен огромной беспорядочности весьма распространен в природе, обществе и во вселенной. Но несмотря на эту сложность, новое знание расширяет наши возможности и дает в руки ученым любых направлений тончайший инструмент для познания и описания устройства мира. Самодостаточность нового знания о природе вещей, достигнутая методами фракталов, равно как и самодостаточность математических множеств, представленных "призраками" комплексных чисел, может показаться претензией на выход науки за пределы понятий пространства и времени, где нет ничего, кроме галлюцинаций. Вне пространства нет структуры!
Галлюцинации - это категория бесконечного, а, значит, и бессознательного. Вселенная – конечна и поэтому осознаваема, реальна. Опасность увлечения запредельными категориями заключается в том, что современный исследователь может легко оказаться в плену чарующей, но дурманящей красоты фантомных образов. И в результате получит инструмент для заблуждения, а не для познания и преобразования будущего.
Множество Мандельброта имеет бесконечное число возможных решений в конечном пространстве решения проблемы. Практически это означает, что с учетом современных физических представлений о конечности Вселенной, множество является как бы «избыточным» по отношению к возможным целям решения практических задач, решениям глобальных и частных проблем человечества. За этим пределом – метафизика и мистика, от которой мало пользы в практических усилиях ученых. Множество, таким образом, выглядит инструментом, пригодным для решения «сверхпроблем» и «сверхзадач» не только прошлого и настоящего, но и будущего. Однако такие «сверхзадачи» в пространстве Вселенной человечество пока еще не готово корректно даже сформулировать. Пока это остается областью творчества писателей – фантастов и футурологов.
Любой сложный процесс можно наблюдать с помощью образов, а это значит, что с помощью визуальных образов можно и управлять технологией процесса. Но, как известно, образ образу – рознь. Одни образы являются отражением действительности, окружающего нас объективного мира. Как, например, фрактальные образы. А другие образы, как, например, фантомные образы – продукт галлюцинаций. Наука опирается на метрические образы, связанные с определенной метрической системой координат. Следовательно, фрактальные образы - это своеобразные перцептуально - метрические образы. В то же время, фракталы – это глобальные проекции, исходные и конечные прообразы Вселенной.
Выход науки за пределы сознания, структуры, пространства и времени недопустим. Следовательно, Вселенная в целом – это не совсем классический «фрактал» в строгом смысле этой теории. Все фракталы в реальном мире как бы «обрезаны», ограничены, и это - тот самый "фатальный" момент, когда в строгую красоту математического образа вмешивается грубая «рука» физика. Однако, без «грубых» знаний физиков понятие фракталов не появилось бы в математике вовсе. К.-Г. Юнг был бы удивлен и восхищен, если бы узнал о революции в компьютерной области. Тогда бы он мог при своей жизни увидеть практические результаты внедрения своей теории коллективного бессознательного , которая дала толчок началу реализации закона вселенского порядка.
Фрактальные образы – это самый простой инструмент для познания главного вопроса науки - тайны возникновения жизни. Если бы исходные правила антихаоса были бы сложными, мы бы даже не смогли начать никакой элементарный эксперимент. Ученые считают, что поведение молекул связано с влиянием антихаоса. Это происходит не только в лабораторных условиях. С аналогичными явлениями мы сталкиваемся в живой природе. Например, в процессе размножения простейшего организма, когда отдельные клетки соединяются как бы по приказу. В этом проявляется работа наномашин.
Как и всякая новая фундаментальная наука, наука о фракталах ещё должна завевать своё право на жизнь, она требует серьезной проверки и теоретического обоснования со стороны различных областей знаний, включая астрономов, биологов, генетиков, теологов, поскольку много неясностей с дарвиновской теорией, с происхождением Вселенной и самой жизни на Земле. Иначе все мы можем оказаться заложниками вселенской метафизики, где нет места пространству, мышлению, разуму и сознанию, но достаточно места мистике и внеструктурному понятию времени, а значит и фатализму – этому главному вершителю трагедий в судьбах человечества.