Физика для автомобилистов. Вписаться в дугу

Мир Когнито
назад http://www.proza.ru/2015/11/24/1675

Глава 2. Поворот. Вписаться в дугу

Другой ситуацией при движении на автомобиле, требующей практического применения знаний физики, является поворот. Честно говоря, я, когда еду на рейсовом автобусе-пазике и он начинает поворачивать слишком круто (на мой взгляд), сразу вспоминаю следующую формулу:

an = v^2/R,
где   
an – центростремительное (=нормальное) ускорение машины,
v – скорость машины,
R – радиус поворота.
Почему же я её вспоминаю? Да потому, что именно нормальное (то есть перпендикулярное, её скорости) ускорение и обеспечивает поворот машины. И оно, согласно формуле, должно быть тем больше, чем больше скорость машины (причём скорость, как видите – опять-таки в квадрате. Как и в формуле тормозного пути) и меньше радиус поворота (то есть чем круче поворот)
Что же произойдёт, если по каким-то причинам не удастся создать такое ускорение? Одно из двух: машина либо не впишется в поворот либо опрокинется на бок. Причём риск опрокидывания (кажется) тем больше, чем меньше риск не вписаться в поворот. (и наоборот)

Но разберём всё по порядку, и сначала условие вписывания в поворот. Для этого нужно чётко понимать, каким образом машина поворачивает. С точки зрения физики, конечно, а не водителя. Ибо с точки зрения водителя всё просто: повернул руль, вот и машина повернула. Но ведь машина поворачивает не сразу, поворот - это процесс. Что же происходит в этом процессе?
Вот, водитель повернул руль на некоторый угол alfa по отношению к продольной оси машины. Что происходит дальше? Оба передних колеса машины тоже поворачивают на тот же угол. Что меняется?

А то, что наряду с составляющей силой трения, действующей на колеса машины (которая в целом направлена противопоположно силе тяге двигателя, то есть горизонтально в плоскости задних колёс)
и направленной горизонтально в плоскости передних колёс
(Назовём её Fтр.вр =Fтр*cos(alfa). И она только и существует при прямолинейном движении машины. И обеспечивает вообще движение машины.),
появляется еще одна составляющая действующей на колёса силы трения, направленная горизонтально перпендикулярно плоскости передних колёс.(назовём её Fтр.ск = Fтр*sin(alfa))
Очень важно, что Fтр.ск имеет как нормальную к продольной оси машины составляющую Fn(которая и обеспечивает нормальное ускорение), так и касательную к этой оси составляющую Ft, причём направлена она противоположно ходу движения машины (а значит, оказывает тормозящее действие на машину) По модулю эти составляющие соответственно равны:

Fn= Fтр.ск*cos(alfa)= Fтр*sin(alfa)*cos(alfa)=1/2*Fтр*sin(2*alfa)
Ft=Fтр.ск*sin^2(alfa)

Отсюда легко найти нормальное ускорение, которое при этом возникает:

an=mu*m*g/2*Fтр*sin(2*alfa)/m= 1/2*mu*g*sin(2*alfa),
где mu – коэффициент трения колёс о дорогу

an = v^2/R,
то получаем угол поворота колёс (относительно продольной оси машины), при котором будет обеспечиваться необходимая величина нормального ускорения:

an=1/2*mu*g*sin(2*alfa)=>
alfa=1/2*arcsin(2*v^2/(R*mu*g))
Как видно, он должен быть тем больше, чем меньшее значение имеет коэффициент трения.
Вычислим величину угла поворота колёс при v0=30 км/ч =8,33 м/с, R= 20 м при движении по сухому асфальту (mu=(0,5; 0,75)):

alfa=1/2*arcsin(2*8,33 ^2/(20*(0,5; 0,75)*9,81)) = (35; ?) градусов
Понятно, что это – совершенно неприемлемые величины. О чём это говорит? Что радиус поворота R= 20 м при таких условиях практически нереализуем (или реализация его под вопросом). Возьмём поэтому R=40 м, тогда:

alfa=1/2*arcsin(2*8,33 ^2/(40*(0,5; 0,75)*9,81)) = (14,0; 22,5) градусов
Вот это – уже приемлемые величины, такой поворот реализуем.
 
Добавлю к этому, что при 2*v^2/(R*mu*g)>1 машину повернуть в принципе невозможно, т.к. невозможно создать силу трения, необходимую для такого поворота.
(ибо уже при 2*v^2/(R*mu*g)=1 требуется угол поворота руля 45 градусов, то есть дающий максимально вращающую силу трения)
Отсюда, если mu<2*v^2/(R*g), то поворот невозможен.(машина не слушается руля и "юзит" по дороге)
Например, при v=30 км/ч =8,33 м/с, R= 20 м критическое (то есть минимально требуемое) значение коэффициента трения mu=2*8,33^2/(20*9,81)= 0,7 (что говорит о том, что даже на сухом асфальте такой поворот может быть неосуществим)
А при v=30 км/ч =8,33 м/с, R= 40 м критическое значение mu=2*8,33^2/(40*9,81)= 0,36 (что говорит о том, на влажной гравийной дороге такой поворот может быть неосуществим)

Поскольку же максимально возможный (в принципе) коэффициент трения шин о дорогу mum=0,75, то минимальное значение радиуса поворота, начиная с которого поворот в принципе невозможен:
Rmin=v^2/(mum*g)
Например, для скорости машины v=30 км/ч =8,33 м/с Rmin=8,33^2/(0,75*9,81)=9,4 м
А для скорости машины v=60 км/ч =16,66 м/с Rmin=16,66^2/(0,75*9,81)=37,6 м
А учитывая то, что даже по сухому асфальту коэффициент трения может иметь значение и 0,50, то рассчитанные выше минимальные значения радиуса поворота становятся равны соответственно Rmin=8,33^2/(0,5*9,81)=14,1 м и Rmin=16,66^2/(0,5*9,81)=56,6 м.

А учитывая то, что требуемый радиус поворота направо (в странах с правосторонним движением):
Rп=a/2*+a*(n-k),
а требуемый радиус поворота налево:
Rл=a/2*+a*(k-1),
где a – ширина полосы проезжей части,
n – количество полос на дороге,
k – номер полосы, по которой движется машина (при условии, что мы нумеруем полосы слева направо по ходу движения машины) (иначе машина заедет за бордюр или на соседнюю полосу движения),

то для дорог 1-ой и 2-ой категории (a=3,75 м по ГОСТ России) и n=2, k=2 (это полоса для поворота направо):
Rп=3,75 /2+3,75 *(2-2) = 1,88 м,
а для k=1 (это полоса для поворота налево):
Rп=3,75 /2+3,75 *(2-1) = 5.63  м,
то максимальные (начальные) скорости, при которых возможны такие повороты на сухом асфальте:
vmax=sqrt(mumin*R*g)
Вычислим их значения. Соответственно для поворота направо это будет:
vmax=sqrt(0,5*1,88*9,81) = 3,04 м/с = 10,9 км/ч,
а для поворота налево:
vmax=sqrt(0,5*5,63*9,81) = 5,26  м/с = 18,9 км/ч

Отсюда понятно, что перед поворотами в таких условиях необходимо снижать скорость машины соответственно до 10 или 18 км/ч, иначе они не получатся.
Отсюда также понятно, что на дорогах более низкой категории (3-ей и 4-ой) скорость машины перед поворотом надо снижать до еще меньших величин, т.к. для них соответственно ширина полосы a=3,5 м (3-ья категория) и a=3 м (4-ая категория).
Исключая, правда, дороги 5-ой категории, для которых a=4,5 м, но при этом nmax=2.
Но для всех этих случаев внимательный читатель, думаю, рассчитает предельные скорости машины в начале поворота и сам.

Каково же время поворота?
dt=beta/omega,
где beta - центральный угол дуги поворота,
omega - угловая скорость поворота машины.

Замечу, что центральный угол дуги поворота beta - это не то же самое, что собственно угол поворота gamma. (то есть угол между улицами) И связаны они следующим образом:
beta= 180 градусов - gamma.
Это означает, что острому углу gamma - соответствует тупой угол beta (то есть дуга поворота в этом случае длиннее)

Угловая скорость поворота машины
omega=an/v=v^2/R/v=v/R
Что же получим? Что при v=30 км/ч = 8,33 м/с и R=40 м (радиус дуги поворота) угловая скорость поворота машины:
omega=8,33/40= 0,21 рад/c = 0,21*180/3,14=11,9 град/с
Что даст для beta=90 градусов время поворота:
dt=90/11,9 = 7,6 c

В вышеприведённых формулах не учтено то, что действие касательной составляющей равнодействующей сил трения Ft приводит в процессе поворота к некоторому уменьшению скорости машины (по модулю), которое тем больше, чем больше время поворота. Это приведёт к тому, что в процессе поворота начальный угол поворота руля alfa станет излишним, т.к. будет создавать бОльшую, чем прежде, угловую скорость поворота а стало быть и меньший радиус поворота. Поэтому целесообразно в процессе поворота немного уменьшать угол поворота руля.
Оценим величину этого уменьшения угла alfa. Т.к.
d(sin(alfa))=cos(alfa)*d(alfa),
а
sin(alfa) = v^2/(R*mu*g),
то
cos(alfa)*d(alfa)=d(v^2/(R*mu*g))=2*v*dv/(R*mu*g) =>
d(alfa)= 2*v*dv/(R*mu*g*cos(alfa))

Приращение модуля скорости машины найдётся из закона несохранения импульса, применённого к машине:
d(m*v)=-Ft*dt => dv=-Ft*dt/m,
где dt - время поворота/
Подставим сюда время поворота, затем угловую скорость поворота, нормальное ускорение машины, касательную составляющую равнодействующей сил трения, в итоге получим:
dv=-Ft*beta/omega/m = -Ft*beta/(an/v)/m = -Ft*v*beta/an/m =
= -Ft*v*beta/(mu*g*sin(alfa)*m) =
= -2*mu*m*g*sin^2(alfa/2)*v*beta/(mu*g*sin(alfa)*m) = -beta*v*tg(alfa/2)

Отсюда
d(alfa)= 2*v*dv/(R*mu*g*cos(alfa))= 2*v*(-beta*v*tg(alfa/2))/(R*mu*g*cos(alfa))=
=-2*v^2/(R*mu*g)*beta*tg(alfa/2)/cos(alfa)
Т.к.
v^2/(R*mu*g)= sin(alfa),
то в итоге:
d(alfa)=-2*sin(alfa)*beta*tg(alfa/2)/cos(alfa)= -2*beta*tg(alfa)*tg(alfa/2)

Подставим сюда alfa=13,6 градусов (что соответствует v=8,33 м/с, R=40 м, mu=0,75), beta = 90 градусов, тогда:
d(alfa)= -2*90*tg(13,6)*tg(13,6/2) = -5,2 градуса,
то есть в конце дуги поворота угол поворота руля относительно скорости машины должен составить alfa2=13,6-5,2 = 8,4 градуса.

При mu=0,5 (и прочих равных условиях):
d(alfa)= -2*90*tg(20,7)*tg(20,7/2) = -12,3 градуса,
то есть в конце дуги поворота угол поворота руля относительно скорости машины должен составить alfa2=20,7-12,3 = 8,4 градуса.
Как интерпретировать этот результат?
Так, что при повороте руля касательная составляющая равнодействующей сил трения Ft - увеличивается (вследствие увеличения alfa) больше, чем уменьшается (вследствие уменьшения mu)(т.к. она пропорциональна sin^2(alfa)), поэтому и уменьшение модуля скорости машины в процессе поворота получается больше (ибо время поворота не изменяется)

вперёд http://www.proza.ru/2016/07/02/1908