Родился 10 июня 1910 года в деревне Гусенево (Усенево) Волоколамского района Московской области (Россия) в семье рабочего. Русский.
В РККА с августа 1932 года, был призван Московским районным военкоматом города Ленинграда.
Окончил Борисоглебскую авиационную школу летчиков в 1933 году.
В звании лейтенанта командовал звеном в 6-й истребительной авиационной эскадрилье 116-й истребительной авиационной бригады Белорусского военного округа.
Участвовал в национально-освободительной войне в Испании с 30 декабря 1937 года по 25 апреля 1938 года в качестве пилота истребителя И-15.
20 января 1938 года во время воздушного боя в районе Теруэля столкнулся в воздухе с другим истребителем И-15 испанского летчика, но спасся на парашюте.
Всего в Испании произвел около 30 боевых вылетов, участвовал в 4 воздушных боях.
После возвращения из Испании продолжал служить в Военно-воздушных силах.
Предположительно, был летчиком-инструктором в Качинском авиационном училище.
Служил в составе 20-го истребительного авиационного полка Белорусского военного округа.
Участвовал в Великой Отечественной войне с 22 июня 1941 года.
В составе 20-го истребительного авиационного полка (18 января 1942 года переименован в 744-й истребительный авиационный полк) воевал на Юго-Западном и Северо-Западном фронте (с 17 марта 1942 года). В звании старшего лейтенанта командовал эскадрильей, а также с 19 апреля 1942 года исполнял обязанности командира 774-го истребительного авиационного полка.
Всего за время участия в Великой Отечественной войне на истребителях И-15бис и Як-1 произвел 103 боевых вылета, из них: 40 - на штурмовку, 37 - на сопровождение бомбардировщиков и штурмовиков, 20 - на патрулирование над полем боя. Провел около 30 воздушных боев, лично сбил 3 самолета и в составе группы 1 самолет.
25 апреля 1942 года не вернулся с боевого задания над Новгородской областью (Россия).
Список известных воздушных побед И. А. Горшкова:
08.07.1941 1/гр. Ю-88 в составе группы
28.03.1942 1 Ме-109 лично
16.04.1942 1 Ме-109 Северо-Западный фронт лично
17.04.1942 1 Ю-88 Северо-Западный фронт лично
Награжден орденом Красного Знамени (15.05.1942).