4.1 Математика, механика
4.1.005 Теория устойчивости Ляпунова
Математик, механик; профессор Харьковского, Казанского, Петербургского, Новороссийского университетов; академик Петербургской АН; иностранный член Академии dei Lincei в Риме, член-корреспондент Парижской АН, иностранный член математического кружка в Палермо, почетный член Харьковского математического общества, непременный член Общества любителей естествознания в Москве и других научных обществ — Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918) знаменит своими классическими трудами в математической физике (теория потенциала, задача Дирихле), теории вероятностей (метод «характеристических функций», доказательство центральной предельной теоремы), гидродинамике.
Классикой механики стала монография ученого «О фигурах равновесия однородной вращающейся жидкости, мало отличающихся от эллипсоидальных», изданная в 1906—1914 гг. на французском языке.
Ляпунов создал современную науку об устойчивости и равновесии движущихся механических систем, определяемых конечным числом параметров.
Говоря о трудах гениальных математиков, надо всегда иметь в виду, что их научные достижения проявляются в двух сферах: математической и практической. Так и хочется сказать: в двух небесных сферах. Впрочем, эта мысль не просто цветистость речи.
Что касается главного научного достижения Ляпунова — теории устойчивости, одной из важнейших проблем математической физики и механики — без нее и впрямь в небесной механике и космологии не решить проблемы устойчивости движения.
Так, в середине XX в. именно методы Ляпунова позволили полностью разрешить проблему устойчивости движения искусственных спутников Земли, в частности, устойчивости движения в центральном поле тяготения и устойчивости вращательных движений спутника вокруг его центра инерции.
С точки зрения ученых, теория устойчивости Ляпунова — перл не только математики, а науки вообще. Именно такой, утверждают они, — прозрачной и ясной, при всей ее сложности, непогрешимой и завершенной (ее до сих пор читают в университетах и применяют в расчетах в том виде, в каком изложил автор) должен быть истинный классический научный труд. Вот уже 120 лет эта теория является основным сочинением по теории устойчивости.
Не станем углубляться в математические формулы и сложнейшие доказательства Ляпунова, поскольку они доступны весьма узкому кругу избранных. По признанию самих математиков, проблема устойчивости движения принадлежит к категории труднейших задач естествознания.
Во всяком случае, докторская диссертация Александра Михайловича «Общая задача об устойчивости движения» (1892) оказалась крепким орешком даже для таких выдающихся математиков, как профессор Н.Е. Жуковский и профессор Б.К. Млодзеевский, выступивших оппонентами.
При создании теории автор исходил из трех главных предпосылок: отклонения параметров движения принимались бесконечно малыми, возмущенное движение рассматривалось при отсутствии возмущающих сил и на бесконечно большом интервале времени.
Что же получил математик в итоге?
Если коротко, Ляпунов представил результаты интегрирования некоторых систем линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, привел доказательства существования асимптотических и периодических решений, а также доказал «теорему о неустойчивости движения в случае, когда силовая функция сил, действующих на систему, не есть максимум, и когда это обнаруживается ее квадратичной формой в разложении вблизи положения равновесия».
К слову сказать, эту теорему, как и вообще проблему устойчивости движения, тщетно пытались доказать лучшие математики мира, от Ж. Лагранжа до А. Пуанкаре, и когда ее в 1897 г. опубликовали в «Journal des mathematiques», А.М. Ляпунов стал «первоклассным геометром» и знаменитостью в научном мире.
Помимо математики и механики, теория Ляпунова используется еще и в химии, термодинамике, синергетике и многих др. науках. На ней базируется вся современная техника: тяжелое, общее, а в недавнем прошлом — и среднее машиностроение, судо-, авиа-, автомобилестроение, архитектура, строительство сооружений и т.д.
Сегодня немыслимо что-либо конструировать, не определяя зависимость режима работы изделия от величины допусков на его изготовление и от воздействия незначительных возмущающих сил при эксплуатации, поскольку именно они влияют в первую очередь на динамические характеристики современных двигателей, на верность траектории космических аппаратов, на безопасность транспорта, на точность попадания снарядов и ракет.
Устойчивость самолета, т.е. его способность автоматически, без вмешательства летчика, возвращаться в исходное, начальное положение во время полета, если какая-либо внешняя причина вывела его из этого положения, является одним из главных технических требований при конструировании летательного аппарата. Задача о динамической устойчивости полета самолета решается как частный случай общей задачи механики об устойчивости движения по Ляпунову.
При строительстве зданий теория устойчивости позволяет получать множество расчетных моделей в связи с появлением новых материалов, усложнением воздействий сейсмических, циклических, динамических и др. нагрузок.
Теория равновесия Ляпунова положена в основу автоматического управления всеми производственными процессами и телеуправляемыми системами.
Казалось бы, зачем к строительным и инженерным работам притягивать такую непростую науку, оперирующую абстрактными символами и дающую подчас ненужную на практике точность? Дело в том, что другие, более грубые подходы не удовлетворяют современным требованиям к объектам в вопросах устойчивости их движения, да их, по сути, и нет. Физику и технику вполне устраивает детище Ляпунова.
Свое учение математик создавал в течение 7 лет, с 1885 по 1892 г. Возглавляя кафедру механики Харьковского университета, приват-доцент «тащил» на себе все преподавание механики, составление образцовых курсов и руководств, практические занятия со студентами, а затем до 5 утра еженощно корпел над вопросами общей теории устойчивости.
Отказываясь на протяжении 4 лет от предложений получить докторскую степень даже за малую часть того, что он сделал, довольствуясь скромным приват-доцентским содержанием в 1200 руб. в год, Александр Михайлович выпустил свой фундаментальный 261-страничный труд лишь после тщательнейшей его отделки в издательстве Харьковского математического общества.
Теория устойчивости равновесия дала несравненно более точные решения, чем существовавшие до нее. До работ Ляпунова вопросы об устойчивости решались по первому приближению: все нелинейные члены уравнений отбрасывались, хотя такой способ линеаризации уравнений движения не всегда был законный.
Диссертация и последующие работы Ляпунова в области устойчивости содержат целый ряд фундаментальных результатов в теории обыкновенных дифференциальных уравнений как линейных, так и нелинейных.
P.S. Несколько слов о семействе Ляпуновых, бывшего некогда одним из самых знаменитых в России. Ляпуновы происходили от Галицкого князя Константина Ярославича, младшего брата Александра Невского. Михаил Васильевич, отец математика, был астрономом, получившим известность своими исследованиями туманности Ориона, директором Демидовского лицея в Ярославле. Старший брат Александра Михайловича Сергей был известным русским композитором, пианистом и дирижером. Младший брат Борис — филологом, профессором Одесского университета.