Парадоксы, кто не знал,
Начинаются с «Начал». ©
1. АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ
Вначале были «Начала» [1, 2]; в начале «Начал» – Определения, за Определениями – Постулаты, затем – Аксиомы, за ними – Теоремы (в терминологии «Начал» – Предложения). Парадоксы в «Началах» не упоминаются. Однако возникнуть из ничего и существовать автономно без теоретической базы, подобно улыбке Чеширского кота, парадоксы, разумеется, не могли.
Внимательное ознакомление с «Началами» позволяет выявить необоснованность и противоречивость некоторых базовых определений и постулатов. Заметим, что парадоксальный характер таких фундаментальных понятий, как безразмерная точка, непрерывность и бесконечность, был известен ещё из апорий Зенона, то есть за 200 лет до создания «Начал». Более того, предшественники Евклида Левкипп и Демокрит нашли способ преодоления парадоксов Зенона путём замены безразмерной точки дискретными «атомами». Однако Евклид, видимо, посчитал эти меры излишними и сохранил противоречивые понятия в неизменном виде.
В результате, «Начала» ни только не устранили известные математические проблемы, но и создали предпосылки для будущих кризисов. Не секрет, что понятия безразмерной точки, непрерывности и линейной (потенциальной) бесконечности являются необходимыми условиями для введения самой одиозной абстракции – актуальной бесконечности. Недостаёт только одного – совмещения настоящего с будущим, что современные сторонники актуальной бесконечности достигают простым отбрасыванием времени, то есть путём мысленной остановки всех процессов во Вселенной [3].
Как следствие, в актуально-обездвиженной Вселенной перестают выполняться все законы движения, а «Целое» якобы становится «РАВНО своей части». К чести Евклида надо отметить, что подобного абсурда он не допустил, о чём свидетельствует его знаменитая 8-я аксиома: «Целое БОЛЬШЕ своей части»!
Вызывает сожаление тот факт, что обнаруженные Зеноном математические парадоксы не только не вошли в школьные учебники, но их последствия до сих пор недооцениваются, опасность принижается, а потенциальная предрасположенность «Начал» к генерированию новых парадоксов замалчивается. Более того, зачастую насаждается ложное представление о якобы успешном устранении парадоксов без внесения каких-либо изменений в фундаментальные основы математики.
Целью настоящей статьи является показ неразрывной связи парадоксов с «Началами» античной и современной математики.
2. ПАРАДОКСЫ ТОЧКИ
В самом начале «Начал», точнее, в разделе Определений, были определены такие понятия, как «Точка», «Линия», «Поверхность» и «Тело».
Чтобы не было сомнений относительно парадоксального характера данных определений, приведём их почти дословно.
ТЕЛО (определение 1, кн. 11) есть то, что имеет длину, ширину и глубину.
ПОВЕРХНОСТЬ (определение 5, кн. 1) – только длина и ширина (без глубины).
ЛИНИЯ (определение 2, кн. 1) – длина без ширины (и без глубины).
ТОЧКА (определение 1, кн. 1) есть то, что не имеет частей.
Однако логическим следствием из трёх первых определений будет следующее определение точки:
ТОЧКА есть то, что не имеет ни длины, ни ширины, ни глубины.
Таким образом, согласно Евклиду, точка неделима и безразмерна, что полностью согласуется и с современными о ней представлениями [4, с. 113]. Поскольку абстракция «безразмерности» противоречит не только логике, но и современным знаниям о реальном мире, не удивительно, что данное противоречие инициирует появление целой серии выявленных автором парадоксов.
ПАРАДОКС 2.1. Точка не имеет размера, но образованные из безразмерных точек линии имеют длину, фигуры – площадь, тела – объём!
ПАРАДОКС 2.2. Точка имеет нулевую размерность, однако образованные из нульмерных точек линии одномерны, фигуры – двухмерны, тела – трёхмерны!
ПАРАДОКС 2.3. Точка считается геометрическим объектом, однако у этого «объекта» нет даже графического образа!
ПАРАДОКС 2.4. Будучи ничем, то есть пустотой, точка не существует, однако несуществующая точка обладает положением в пространстве, то есть координатами!
ПАРАДОКС 2.5. Ничто не возникает из ничего, но все геометрические объекты состоят из безразмерных точек, то есть из пустоты!
3. ПАРАДОКСЫ ОТРЕЗКА
За Определениями в «Началах» были даны Постулаты. Процитируем те из них, что постулируют допустимость употребления таких парадоксообразующих понятий, как «непрерывность» и «бесконечность».
Постулат 2. «Ограниченную прямую можно НЕПРЕРЫВНО продолжать по прямой».
Постулат 5. «... то две прямые линии, продолженные БЕСПРЕДЕЛЬНО, взаимно встретятся...»
Из данных постулатов следует, что безразмерные точки вплотную примыкают друг к другу, а их количество в ограниченном отрезке линии бесконечно. Закономерным следствием взаимодействия двух противоречащих здравому смыслу абстракций является обнаруженная автором новая группа парадоксов.
ПАРАДОКС 3.1. Точки дискретны, а состоящий из дискретных точек отрезок непрерывен!
ПАРАДОКС 3.2. Длина отрезка конечна, а количество точек в отрезке бесконечно!
ПАРАДОКС 3.3. Отрезок конечен, однако для рисования (идеальным карандашом, толщиной в одну точку) последовательности составляющих его точек потребуется бесконечно большое время.
ПАРАДОКС 3.4. Неравные отрезки содержат одинаковое (бесконечное) количество точек!
ПАРАДОКС 3.5. Размер отрезка не зависит от длины, а зависит от способа её вычисления.
Пример 3.5. а)
размер_точки = 0;
размер_отрезка = 0 + 0 + ... + 0 + ... = 0.
Пример 3.5. б)
количество_точек_в_отрезке = 1 + 1 + ... + 1 + ... = oo;
размер_отрезка = 0·oo = 10^-k·10^k, k—>oo = 10^0 = 1.
4. ПАРАДОКСЫ ПРЯМОЙ
Широкое распространение в «Началах» получила абстракция «прямой» линии. Важно, что связанные с «прямой» постулаты никак не ограничивают её длину.
Постулат 1. «От всякой точки до всякой точки можно провести ПРЯМУЮ».
Постулат 2. «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по ПРЯМОЙ».
Однако рассуждения о неограниченной «прямой» без связи её с конкретным пространством лишены смысла. Любая «прямая», будучи совокупностью точек пространства, не может находиться вне пространства. В связи с этим, говоря о «прямой», необходимо предварительно определиться с пространством, которому данная «прямая» принадлежит.
Поскольку в реальном мире все пространства образованы вращающимися объектами и являются замкнутыми, абстракция бесконечной прямой линии утрачивает свою адекватность, а использование терминов «прямая» и «бесконечная прямая» в реальных задачах чревато появлением ещё одной группы парадоксов.
ПАРАДОКС 4.1. Любая «прямая» является дугой.
ПАРАДОКС 4.1.1. «Прямая», соединяющая две точки на поверхности Земли, является дугой идеальной окружности, опоясывающей Землю.
ПАРАДОКС 4.1.2. «Прямая», соединяющая две точки в околоземном пространстве, является дугой околоземной орбиты.
ПАРАДОКС 4.1.3. «Прямая», соединяющая две точки в межпланетном пространстве солнечной системы, является дугой «планетарной» орбиты.
ПАРАДОКС 4.1.4 «Прямая», соединяющая две точки в межзвёздном пространстве Галактики, является дугой «звёздной» орбиты.
ПАРАДОКС 4.1.5. «Прямая», соединяющая две точки в межгалактическом пространстве Вселенной, является дугой «галактической» орбиты.
ПАРАДОКС 4.2. Ограниченная «прямая», продолженная беспредельно в любую сторону, является завершённым циклом (витком орбиты).
5. ВЫВОДЫ
1. Часть базовых понятий в «Началах» не выдержала проверку временем и превратилась в источник парадоксов.
2. Связь парадоксов с «Началами» незаслуженно замалчивается, что способствует их одностороннему идеализированному восприятию.
3. При изучении «Начал» необходимо разъяснять учащимся, что область применения абстракций безразмерной точки, непрерывности и линейной бесконечности ограничена задачами иллюзорного 3-х мерного пространства, что не позволяет даже приблизиться к пониманию и объяснению повсеместно наблюдаемых проявлений реального многомерного Мира [5].
Литература
1. Начала Евклида. Книги I-VI. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. – Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, М.-Л.: 1950. – 450 с.
2. Начала Евклида. Книги XI-XV. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при участии М. Я. Выгодского и И. Н. Веселовского. – Гос. изд-во технико-теоретич. лит-ры, М.-Л.: 1950. – 335 с.
3. Александр Котлин. Не все абстракции одинаково полезны. – http://www.proza.ru/2012/04/29/1622
4. Размерность. – В кн.: Микиша А. М., Орлов В. Б. Толковый математический словарь: Основные термины. – М.: Рус. яз., 1989. – 244 с.
5. Александр Котлин. Три причины «трёхмерности» пространства. – http://www.proza.ru/2012/09/21/2006
3, 22 августа 2013 года