Самые большие числа.
Кто из вас в детстве не задавался вопросом «А какое число самое большое?»
Потом уже стали понимать что сделать операцию N+1 можно всегда, самого большого числа нет. Потом появлялся интерес к названиям больших чисел. Миллион, миллиард, триллион, квадриллион и так далее… Что ещё больше? Потом, те кто рыл дальше понимали что названия числам пользуясь латинскими и греческими корнями можно придумывать самому, сколь угодно большие, главное чтобы хватило энтузиазма потом выговаривать эти длиннющие конструкции.
Потом интерес обычно угасал и у этих энтузиастов. Но не у всех. Например у меня не угас. Это не значит что я специально гонялся за большими числами, нет, но постоянная связанность с миром техники, конструирования и прикладной математики способствует техническому и математическому любопытству.
Недавно потребовалась информация о самоупорядочивающихся структурах в механике. Выяснил. Узнал о том, что теория этих систем «очень всеобъемлюща», более чем я думал и важна для биологии, химии и вообще описывает массу процессов реального мира. И я полез к основам. В основе лежала теория Рамсея.
Далее по всем непонятным местам рекомендую пользоваться поиском в интернете, потому что формат прозы.ру не позволяет вводить в текст формулы, а в других местах я не выкладываюсь. Или проза.ру или печатные издания, в основном научно популярные вещи. Своим сайтом, на момент написания этого произведения, не обзавёлся из-за нехватки времени.
Многие вещи данные после являются кусочками Википедии сведёнными воедино и разбавленными моими пояснениями. Давать полные ссылки формат проза.ру не позволяет поэтому просто пишу то что в поиск вставить надо.
Теория Рамсея, названная в честь Франка Рамсея — раздел математики, изучающий условия, при которых в произвольно формируемых математических объектах обязан появиться некоторый порядок. Задачи в теории Рамсея обычно звучат в форме вопроса «сколько элементов должно быть в некотором объекте, чтобы гарантированно выполнялось заданное условие или существовала заданная структура?».
См. Теория Рамсея
Предположим, например, что мы знаем, что n кроликов рассажены в m клеток. Насколько велико должно быть n, чтобы гарантированно в одной из клеток было как минимум 2 кролика? Согласно принципу Дирихле, если n > m, то найдётся клетка, в которой будут минимум 2 кролика. Теория Рамсея обобщает этот принцип. Причём обобщает «по полной катушке» , обобщено это на графы обыкновенные плоские и графы многомерные, гиперграфы. Тут рекомендую посмотреть, что такое графы.
См. Граф (математика)
Результаты, возникающие при решении задач теории Рамсей очень интересны для изучения самоорганизации ЛЮБЫХ систем, чтобы это ни было. Появление сложных молекул, механических систем, информационно смысловых закономерностей. Но решение этих задач весьма сложно и не является стандартным и изученным аппаратом математики.
Дальше я наткнулся на Число Грэма
См. Число Грэма
Это число настолько невообразимо большое, что обычная форма записи для него не годится необходимо применять гипероператоры.
См. Гипероператор
См. Стрелочная нотация Кнута
Кроме ссылок поведаю про гипероператоры и так. Насколько это без формул возможно.
Гипероператор это естественное продолжение обычных математических операций сложения, умножения и возведения в степень дальше. То есть сложение - первый оператор. Умножение – второй оператор. Причём мы можем второй оператор выразить через первый, ведь можно умножение представить цепочкой сложений. Третий оператор – возведение в степень. Возведение в степень можно представить как цепочку умножений. То есть десять в десятой степени это десять умножить на десять умножить … и так десять раз. На этом элементарные математические операции и ограничились. Но потом возникли, в том числе и благодаря теории Рамсея необходимость в числах размер которых настолько велик что обычная степенная запись слишком мала. Это кажется странным, как можно не удовлетвориться степенной записью? Ведь число атомо во вселенной это где то (по моему) десять в восемьдесят пятой степени. А можно записать при желании и десять в стотысячной степени, зачем что то ещё придумывать? Какие-то гипероператоры. Оказалось что для решения задач комбинаторики нужны записи чисел гораздо «более невообразимых» чем эти, возможные записью в виде степени.
Разберёмся. Следующая четвёртая операция, уже гипероператор называется безыскусно тетрация, то есть четвёртая итерация. Допустим, запишем тетрацию трёх по основанию три. Записывается это как цифра три потом две вертикальных стрелочки и снова три. Расписывается как три в степени три которое само в степени три. То есть такая степенная башня. Решение даёт сначала три в двадцать седьмой степени которое вычисляется и равно 7625597484987 . Не такое уж и большое число. Но смотрите, если мы берём уже три две стрелочки четыре, то для вычисления этой степенной башни надо уже выстроить в башню четыре тройки. То есть для вычисления собственно числа надо будет на последней операции три возвести в 7625597484987 степень. Прочувствовали? А если три две стрелочки десять? Представляете себе число?
Думаете это и надо для записи чисел возникающих в решении теории Рамсея? Нет, там лезут дальше и выше. Мы ведь рассмотрели только тетрацию, то есть запись, когда две стрелочки. Теперь рассмотрим пентацию, следующую после тетрации операцию. Снова же использую в качестве основы число три. Пишем три, три вертикальных стрелочки, три. То есть пентация тройки по основанию три. (Или по показателю? Не важно как говорится, главное чтобы поняли как пишется и вычисляется) Тут всё уже «веселее». Для вычисления пентации лучше посмотреть по ссылкам в Википедию на гипероператоры и стрелочную нотацию Кнута, я ссылки выше давал. Так вот три, три стрелочки, три. Это как три две стрелочки взятое от три две стрелочки от трёх. То есть в результате это будет число записываемое как степенная башня троек где количество этажей равно три, две стрелочки, три или 7625597484987. Такая вот степенная башня. Как записать её результат в виде степенном, вроде десять в степени сколько-то там я не представляю.
Впечатляет? Поехали дальше. Есть такая частная задача в теории Рамсея в результате решения которой математик Рональд Грэм получил в качестве оценочного решения число, которое популяризатор математики Мартин Гарднер назвал «число Грэма». Саму задачу можете посмотреть тут.
См. Число Грэма
Но я дам её запись, без картинок и формул которые тут в текст не вставишь.
Рассмотрим n-мерный гиперкуб и соединим все пары вершин для получения полного графа с два в степени N вершинами. Раскрасим каждое ребро этого графа либо в красный, либо в чёрный цвет. При каком наименьшем значении n каждая такая раскраска обязательно содержит раскрашенный в один цвет полный подграф с четырьмя вершинами, все из которых лежат в одной плоскости?
В общем, всё элементарно, если вы владеете терминологией. Если нет, но интересно то Википедия вам в помощь, там ничего сложного нет. Человек, осиливший школьную математику и физику, поймёт и все вышеописанное.
Так вот само число Грэма дающую оценку этого n.
Берём три четыре стрелочки, три. Мы уже записывали что получается при вычислении три, три стрелочки, три и получили степенную башню из троек где количество этажей равном 7625597484987. Если берём не пентацию с тремя стрелочками, а гексацию с четырьмя стрелочками то результат будет больше, НАМНОГО больше.
Как это разложить в обычную запись я думаю, сможете и сами разобраться. Если не сможете, но интересно, пишите, помогу.
И вот получаем в результате число G1 равное три, четыре стрелочки, три. Затем вычисляем G2 равное три, количество стрелочек равное G1, три. Прочувствовали? Когда само количество стрелочек невообразимо большое число. Я лично потерялся в возможности представить это всё в сравнении с чем-то тем что можно пощупать руками или посмотреть в небо ещё на вычислении и записи G1.
Затем G3 равно три, количество стрелочек равное G2, три. И так далее. Пока не получим G64. Которое и является числом Грэма.
Вот такое вот число. После того как мы всем семейством вникли в эти выкладки. И сын написал в школу работу «Гипероператоры и число Грэма». Для всего семейства было закрыт вопрос «Какое самое большое число?». Чтоб вы понимали масштаб числа Грэма, то ещё на вычислении где-то G4 количество ЦИФР в числе будет таково что если каждую цифру записывать на отдельном атоме, то не хватит всех атомов наблюдаемой вселенной. Интересно в этом числе то, что оно является результатом решения конкретной, кратко формулируемой задачи.
Но потом интерес возобновился, и я выяснил о задаче, оценка решения которой даёт число НАМНОГО большее, чем число Грэма.
Это конечная форма Фридмана в теореме Краскала (Крускала), о ней смотри следующую часть.
http://www.proza.ru/2013/02/09/1991