Теория понятий

Введение в
ТЕОРИЮ ПОНЯТИЙ

Понятие есть “. . . высший продукт мозга,
высшего продукта материи”.
Ленин В.И., ПСС, т.29, с. 149

















© Институт технологии мышления. 2004-2008.
Все права защищены.




Содержание
Аннотация
Введение
1. Семантические проблемы формализаций
2. Определения
3. Сущности
4. Понятия
5. Прикладные и мета-математические аспекты
6. Заключение и перспективы
Приложение 1. Преобразование алгоритмов
Приложение 2. Ненормализуемость алгоритмов
Приложение 3. Прагматика теорий
Приложение 4. Обобщение общих алгебр
Приложение 5. Верификация теорий
Приложение 6. Обсуждение концепции функции







Аннотация
В работе исследуется проблема практического применения, использования формальных теорий на примере формализации (формального определения) понятия мета-алгоритма. Отмечается, что прагматика формальных теорий обеспечивается ис-пользованием подходящего отношения сопоставления соответст-вующих элементов формальной теории реальным объектам. По-казывается неудовлетворительность использования для этих целей отношения взаимнооднозначного соответствия. В качестве под-ходящего, приемлемого, требуемого для этих целей отношения предлагается специальное отношение обощения-конкретизации, называемое  определяющим отношением. На основе и с исполь-зованием определяющего отношения строятся различные разно-видности определений и исследуются свойства таких определений. Исследование определяющего отношения приводят к открытию новой концепции – концепции понятия. Сущности, определяемые посредством использования определяющих отношений, считаются и являются понятиями. Частными случаями понятий являются ут-верждения, теоремы, доказательства, теории. Показывается, что доказательство правильности абстрактных утверждений обеспечивается применением семантического гомоморфизма, определяемого для понятий. Отмечается особая роль и уникальность рекурсивно-замкнутых определений и понятий. Показывается, что понятия “мощнее” множеств. Предлагается и обосновывается целесообразность использование понятий вместо множеств в прикладных задачах. В качестве более “мощного” варианта определения формальных алгоритмов предлагается по-нятие мета-алгоритма. Мета-алгоритмы не нормализуемы.
Введение
Многие проблемы, парадоксы, противоречия и заблуждения (от парадоксов теории множеств и до проблем алгоритмической неразрешимости) обусловлены неправильным определением и некорректным использованием (или не использованием) и:или непониманием (или неправильным пониманием) понятий. Из-за неумения обращаться с понятиями (определять, преобразовывать, применять) возникает множество семантических проблем и ошибок. Из-за незнания предназначения понятий проистекает множество неправильностей их применения и использования. В мета-математике имеются семантические ошибки из-за не-различения понятий истинности и правильности, в теории мно-жеств и в логике Аристотеля – из-за противопоставления по-нятий единичности и общности (которые не сопоставимы). Даже профессиональные математики недостаточно ясно различают (а, точнее, зачастую не различают и смешивают) понятие множества и понятие совокупности, понятия неоднозначности и неопреде-ленности.  Все эти проблемы оказываются понятийными. Оказы-вается, что определение, преобразование и использование понятий одинаковы, что в математике или физике, равно как в философии или быту. Понятийные методы не зависят от прикладной области и обусловлены собственной спецификой. Понятия составляют предмет исследования теории понятий. Собственные понятия теории понятий (такие, как: утверждения, определения, теории, алгебры и даже само понятие “понятия” и др.) являются понятиями (в соответствии с собственным определением понятия).

Парадокс лжеца: некто говорит, что он лжец; если он действительно лжец, то он должен был бы сказать, что он не лжец; если он не лжец, то он тем более не мог сказать, что он лжец. Если же этот некто, несмотря на все это, заявляет, что он лжец, то на самом деле он просто мошенник, а не лжец. Эффект парадокса состоит в том, что понятия мошенника и понятие лжеца довольно близки (и даже одно “входит” в другое) и неправомерная подмена  понятия более “узким” понятием создает семантическую некорректность, которая воспринимается как парадокс. Для теории понятий парадокс лжеца парадоксом не является – она его квалифицирует как неправомерную подмену понятий.

Парадокс Ахиллеса утверждает, что Ахиллес не сможет догнать черепаху; парадокс заключается в подмене понятий: ин-туитивно, неосознанно мы подменяем понятие “догнать” понятием “перегнать”, неосознанно полагая, что понятие перегнать включает понятие догнать и поскольку скорость движения Ахиллеса несравнимо больше скорости черепахи проблема представляется парадоксальной; но для того, чтобы догнать (или даже перегнать) черепаху, Ахиллесу в каждый момент времени необходимо знать когда, куда и как будет (и будет ли)  далее двигаться черепаха (неизвестно, что черепахе в голову придет) что, конечно же, невозможно, и Ахиллес черепаху вряд ли сможет догнать. Конечно, если знать, куда, с какой скоростью, когда, по прямой или как будет двигаться черепаха, то можно все очень просто рассчитать, даже не прибегая к суммированию бесконечных рядов (что обычно предлагается в качестве решения этого парадокса).

Нормальный алгорифм, например, {a;b в соответствии с его формальным определением дословно означает возможность переделки буквы “a” в букву “b”, ибо никакого смыслового зна-чения теория нормальных алгорифмов для букв не предполагает и не допускает; правда в самой теории нормальных алгорифмов вместо совершенно понятного понятия “переделки” одного объекта в другой использовано ничего не значащее (для объектов) понятие “перевода”.

Доказательство теоремы Гёделя о неполноте основано на использовании утверждения, что некоторое предложение нечто означает. Это утверждение сделано без обсуждения вопроса, способно ли рассматриваемое предложение это делать, и если может, то как, каким образом оно это делает. И вообще, что оз-начает, что некоторая сущность “означает” некоторую другую сущность. Это сугубо понятийные проблемы, и без их достаточного исследования и обоснования такие утверждения являются, мягко говоря, не очень понятными и адекватными.

В математических текстах можно встретить такую, на-пример, фразу: «Рассмотрим некоторое N-мерное пространство». Исключая предложения рассмотреть, например, два N-мерных пространства, зададимся более простым вопросом, что на самом деле предлагает автор этого предложения рассматривать? Понятно, что пространства с неопределенным числом измерений в “природе” не существует. Может быть, что и рассматривать нечего? Ан, нет, вроде бы и 2-мерное пространство, и 13-мерное пространство позволительно рассмотреть. Так что за объект есть N-мерное пространство? Этот объект есть понятие пространства.

Бытует мнение, что вся математика может быть выведена из теории множеств (правда без каких-либо уточнений, какими средствами). Для всей математики это утверждение проблема-тично, а вот теория понятий, как альтернатива теории множеств, “выводится” элементарно. ??? Насколько известно, ни одна ма-тематическая дисциплина практически не была выведена на день сегодняшний из теории множеств, что и естественно, поскольку теория множеств не имеет и не допускает использования средств ее применения. Теория множеств зиждется на предположении, что множество подмножеств некоторого множества больше исходного множества. Пусть имеется множество {a, b, c}; выберем из этого множества два элемента, скажем a и b, образуем из них новый элемент d и добавим его в рассматриваемое множество; теория множеств полагает, что получающееся новое множество {a, b, c, d} больше исходного множества. Это справедливо, если множества организованы из ничего не значащих элементов. Если полагать, что элементы это такие сущности, которые способны нечто означать, то при добавлении в множество нового элемента (a, b) нельзя исключать, что, например, элемент (c) был получен точно таким же способом и тогда нового, более мощного множества при добавлении такого элемента не будет образовываться. Теория, которая получается с учетом этой возможности – допускать возможность элементов нечто означать, и будет теорией понятий.

С простейшими, но достаточно характерными понятиями приходится иметь дело еще даже до знакомства с арифметикой. Когда к трем яблокам требуется добавить две груши, то для того, чтобы имелась возможность сформулировать результат этой не сложной операции, требуется создание нового понятия — понятия фрукта. Без наличия такого понятия яблоки с грушами не “складываются”. Более трудная понятийная проблема может встретиться и в другой достаточно обычной жизненной ситуации. Так известно значения сигналов обычных дорожных светофоров – на зеленый можно ехать, на красный ехать нельзя. Теперь представьте, что подъезжая к светофору вы видите включенными оба сигнала: и красный, и зеленый. Что делать? Правила дорож-ного движения ничего об этой ситуации не говорят. И действи-тельно, здесь законы и правила заканчиваются, и ехать дальше можно, но только уже не по правилам, а по “понятиям”. Правила кончаются у такого светофора. Во всяком случае, теория понятий утверждает, что ехать так, как будто вообще нет светофора не следует. И не дай Бог, если к такому светофору подъедет орто-доксальный математический логик – он, скорее всего, будет стоять у такого светофора до скончания века, ибо противоречие!

Многие абстрактные теории (и в наибольшей степени – математика) представляют собой работу с понятиями. Математи-ческие формализмы (такие как: теория множеств, теория алго-ритмом, математическая логика и др.) с точки зрения теории по-нятий выглядят примитивными, кустарными поделками (хотя в прикладном, содержательном аспекте они представляют собой величайшие результаты). Многие философские понятия вообще зачастую выглядят малообоснованными с понятийной точки зре-ния. Так, например, во многих теориях рекомендуется использо-вание более общих (как более продуктивных) понятий, а вот каким образом эти более общие понятия могут быть построены или получены и имеются ли методы построения общих понятий в этих теориях не говорится.

Работать с понятиями приходится практически на каждом шагу. Процесс работы с понятиями называется мышлением. Мышление необходимо в любой деятельности, особенно в ин-теллектуальной. Мышление – трудное и не простое дело! Ис-кусство мышление заключается в правильном определении, пре-образовании и использовании понятий. Человеческое мышление не совершенно. Оно не формально и легко (как показывают па-радоксы) может быть обмануто. Человеческое мышление не представляет собой достаточно надежного средства для построения и использования сколь-нибудь сложных понятий. Технология построения и работы с понятиями определяются специальной, новой дисциплиной – теорией аналитических понятий. Предла-гаемая теория понятий обеспечивает семантически корректную технологию определения и использования понятий. Так, например, теория понятий предлагает концепцию (определение) понятия правильности, которое не только интуитивно не очевидно, не только индуктивно не выводимо, но и вообще не очень понятно, каким образом она возникло, хотя и удовлетворяет его опреде-лению. Теория понятий превращает искусство мышления в ре-месло, в технологию. Технология мышления позволяет создать если не мыслящую машину, то машину для мышления или, в крайнем случае, машину для обучения мышлению. Профессиональный подход к технологии обработки понятий допускает и предлагает методы, неочевидные на интуитивном уровне, на уровне «здравого смысла». Технологию работы с понятиями следует не устанавливать, а познавать. Теория понятий (в этом смысле) ближе к естественным дисциплинам, нежели к гуманитарным.

К понятиям возможно применение различных действий, методов. Теория понятий предлагает некоторую схему применения методов к понятию. Эта схема называется понятийным (се-мантическим) гомоморфизмом. Новые понятия являются резуль-татом некоторых действий над уже имеющимися понятиями. Преобразование понятий обеспечивает построение новых понятий аналитическим (а не интуитивным) способом.

И, тем не менее, зачем все-таки нужно мышление и эта работа с понятиями, кроме как для решения этих парадоксальных головоломок, которые, по большому счету, также не очень понятно, зачем решать? Как представляется, технология работы с понятиями необходима исключительно для рационализации по-ведения (деятельности) и принятия правильных (рациональных) решений, не исключая (и в том числе) самого мышления, т.е. ис-ключительно из прагматических соображений. Такого ответа оказывается достаточно для обоснования почти всех аспектов теории понятий и ее прагматики и глубже погружаться в эту зыбкую тему (в целях безопасности) не имеет смысла. Техноло-гическая, прагматическая ценность использования понятий за-ключается в том, что определение операции для понятия автома-тически означает ее распространение на все сущности, допусти-мые этим понятием.
Предлагаемая теория понятий, несмотря на объявленный ее прагматизм, в свой основе парадоксальным образом базируется на совершенно парадоксальной концепции, полностью (на первый взгляд) исключающей ее прагматизм. Теория понятий создается как средство конструирования некоего виртуального мира, не имеющего никакого отношения к реальному миру. Па-радоксальность заключается в том, что хотя создаваемый мир понятий виртуален (чистейшая выдумка), он имеет в арсенале своих средств средство конкретизации абстрактных понятий, которое предполагает и допускает существование реального мира, как “фрагмента”, составной части виртуального мира понятий. Конкретизация абстрактных понятий реальными сущностями, обеспечивает прагматику понятийных (и, тем самым, и собственную) теорий. Такой подход (используемая парадигма) оказывается более продуктивным. В то время, как различные теории (вплоть до философии) считают, что они призваны моделировать реальный мир (используя категорию истиностности как мерило соответствия теории реальному миру – не объясняя, правда, что есть соответствие, и как оно осуществляется, а лишь его оценивая: со-ответствие есть – истина, нет – ложь), теория понятий изначально, концептуально отделяет себя от реального мира, по-лагая своей задачей построение некоего виртуального, идеального, духовного мира. Даже само строительство осуществляется по собственным законам и правилам. Такой подход к построению и использованию формальных теорий оказывается более продук-тивным. Виртуальный мир, строящийся средствами теории поня-тий, действительно представляет собой целый мир, мир со своими законами и правилами. Хотя в виртуальном мире все виртуально, сама виртуальность реальна. Более того, виртуальных миров су-ществует и может быть рассмотрено достаточно много. И более того, виртуальные миры в свою очередь могут образовывать ие-рархию, аналогичную иерархии реального и виртуального мира.
Поскольку при таком подходе соответствие реальности уже не может выступать в качестве критерия правильности построения теории, теория понятий предлагает собственный (идеальный) критерий правильности, который обеспечивает (в частности) и ее собственную правильность.
Теория понятий основана на использовании вводимого в ней отношения семантического гомоморфизма, обеспечивающего (в числе прочего) отношения сущностей реального и виртуального миров, чем определяется и обеспечивается прагматика как самой теории понятий, так и создаваемых в ней теорий. Теория понятий не объясняет реальный мир, но ее использование (как технологии) позволяет реальный мир понимать.

На самом деле построение теории понятий было вызвано семантической некорректностью в формализации интуитивного понятия алгоритма. В свое время, в связи с тем, что некоторые математические проблемы не поддавались решению, была вы-сказано предположение, что эти задачи вообще не могут быть решены, и была предпринята попытка доказательства “принци-пиальной невозможности” решения этих задач. Для этого, прежде всего, потребовалось определиться с тем, что понимать под принципиальной неразрешимостью задач. Было предложено счи-тать, что проблема является принципиально неразрешимой, если она не может быть решена посредством некоторого, “наиболее общего, универсального” средства решения. (Другой, возможно более продуктивный, семантический вариант разрешения про-блемы неразрешимости – анализ семантической правильности и правомочности постановки самих задач, насколько известно, не встречается.) В качестве “наиболее общего, универсального” средства решения проблем было предложено использование ал-горитмов. Для доказательств невозможности алгоритмического решения проблем (т.е. алгоритмической неразрешимости) потре-бовалась формализация понятия алгоритма. Было предложено несколько, достаточно разнообразных (оказавшихся впоследствии эквивалентными) точных (формальных) определений понятия ал-горитма. Основываясь на использовании формального определе-ния понятия алгоритма, действительно удалось (и удается) пока-зать невозможность (алгоритмического) решения различных задач. В тоже время, поскольку не имеется какого-либо обоснования невозможности усиления формального определения понятия алгоритма, предпринимались многочисленные попытки поиска усиления. Попытки построения средств, превосходящих формализованные таким образом алгоритмы, оказывались безус-пешными до тех пор, пока не выяснилось, что самые обычные алгоритмические полно видовые языки прикладного программи-рования несводимы к классическим формализациям алгоритма. Камнем преткновения являлась методика сравнения формализаций алгоритмов: если сравнивать алгоритмические формализации по способности алгоритмов преобразовывать слова в алфавитах, то все формализации действительно оказываются эквивалентными; но алгоритмы, написанные на современных полно-видовых языках, способны работать не только со словами в алфавитах, но и с более сложными, более содержательными объектами, которые словами всего лишь нотированы. Для лингвистического представления таких объектов требуется, чтобы используемые алфавиты включали не только буквы (в их традиционном, например, Марковском определении), но и некоторые специальные символы, которые под определение буквы не подпадают, хотя буквами и представляется. Безусловным и наиболее характерным примером “содержательного данного” являются сами алгоритмы. В работе [17, приложение 2] на конкретном примере самоприменения некоторого нормального алгорифма показана неудовлетворительность нормальных алгорифмов А. Маркова для осуществления обработки содержательных данных. В современных, строго типизированных алгоритмических языках слова в алфавитах рассматриваются не сами по себе, а в качестве значений данных, семантика которых дается описаниями типов данных. В классических же  формализациях алгоритмов никакие иные структуры данных, кроме слов в алфавитах, не рассматриваются.
В формализациях алгоритмов, конечно же, возможность применения алгоритмов к алгоритмам исследовалась, но, похоже, что на заре эпохи программирования больше интересовала и за-вораживала сама практическая осуществимость в формализациях такого сорта  формальных алгоритмических преобразований, не-жели такие нюансы, как обеспечение семантической однознач-ности таких алгоритмических преобразований. Даже в настоящее время семантические аспекты алгоритмов остаются недостаточно исследованными. Действительно, если оказывается, что можно писать алгоритмы, которые могут преобразовывать слова, пред-ставляющие алгоритмы, и работа этих алгоритмов вполне одно-значна, то, казалось бы, что ещё требуется, какие могут тут воз-никать вопросы? И вроде нет никаких проблем. Но! Проблему составляют семантические аспекты алгоритмических преобразо-ваний. Нормальные алгорифмы способны преобразовывать слова в алфавитах. Сами схемы алгорифмов не являются словами в ал-фавите алгорифма; поэтому для того, чтобы алгорифм мог быть применён к другим алгорифмам, работающим со словами в этом же алфавите, требуется схемы таких алгорифмов каким-либо образом “перевести” и представить в виде слов в этом же алфа-вите. Поскольку нормальные алгорифмы непосредственно к схеме нормального алгорифма применены быть не могут (ибо они при-менимы только к словам), то описание требуемого преобразования осуществить в виде нормального алгорифма невозможно и оно (по необходимости) может быть дано лишь неформальными средствами (например, на естественном языке). Уже в этом может быть усмотрена неудовлетворительность и недостаточность имеющихся формализаций алгоритма: на естественном языке требуемое преобразование, хотя и не формально, но может быть дано, а в нормальных алгорифмах оно невозможно. Эквивалент-ность всех разработанных формализаций понятия алгоритма ставит под сомнение саму возможность построения такой фор-мализации, которая была бы способна осуществить решение сформулированной проблемы. В работе [17, приложение 2] по-казана принципиальная возможность усиления (модификации, обобщения) определения нормального алгорифма, обеспечиваю-щего вполне семантически однозначное применение модифици-рованных нормальных алгорифмов к модифицированным нор-мальным алгорифмам. Модификация заключается в представлении в модифицированных нормальных алгорифмах семантических аспектов данных, что, в свою очередь, привносит в теорию алгоритмов семантический аспект  данных, и ставит задачу раз-работки семантических формализаций алгоритмов (в дополнение, если не в замену символьным алгоритмам). К сожалению, опре-деление модифицированных нормальных алгорифмов не решают всех проблем алгоритмических преобразований алгоритмов; так, в частности, остается проблема формального определения, чем яв-ляется результат алгоритмического преобразования алгоритма: алгоритмом или некоторым другим (не алгоритмическим) объек-том.  Некоторое решение возникающих семантических проблем предлагается теорией понятий.

По своему характеру теория понятий предстает как мета-математическая дисциплина, хотя на самом деле разработка ос-нований (и, тем более, обоснований) математики не является за-дачей теории понятий; просто мета-математическая проблематика представляет собой подходящий, удобный полигон для отработки технологии формального мышления. А вот использовать (или не использовать) эту технологию правильного и продуктивного мышления в математике – решать, конечно, самой математике. Теория понятий не ставит своей целью формализацию ин-туитивного понятийного аппарата и, тем более, не является те-заурусом бытовых понятий, но является разработкой некоего формализма, обеспечивающего прикладной аспект формальных понятий, включая определение мета-алгоритмических преобра-зований. Сама теория понятий строится, естественно, в соответ-ствии с собственными определениями и утверждениями.
Теоретико-понятийный формализм представляет собой новый, более совершенный тип формализма – семантический формализм [37,41]. Использование этого формализма для опре-деления интуитивных понятий оказывается возможным в качестве одного из его прикладных приложений, чем и объясняется выбор именования этого формализма как теории понятий. В теоретическом, концептуальном аспекте теория понятий предстает как концепция дальнейшего совершенствования понятия алгоритма; практическая, прикладная ценность теории понятий заключается в решении теорией понятий семантических проблем формализаций: понятия обладают формальной семантикой. Теория понятий, как метаматематическая дисциплина, не занимается обоснованием математических утверждений, но утверждения, основанные на аналитических понятиях, являются гораздо более обоснованными. Теория понятий устанавливает новый, более жесткий стандарт строгости и обоснованности построения ут-верждений. Кроме того, представляют интерес мета-понятийные аспекты теории понятий: построение понятийных определений как некоторых специфических “методов” преобразования понятий, построение понятийных “методов” обобщения и конкретизации понятий, определение понятия определяющего отношения и построение конкретных отношений понятий. Теория понятий является своей собственной мета-теорией и в этом качестве обеспечивает свою собственную правильность. Построение теории понятий начинается с исследования и определения того, что есть само определение. Сложность в определении этого понятия обусловлена тем обстоятельством, что такое определение, будучи определением, должно удовлетворять себе, как “частный случай” определения. Что означает удовлетворять, естественно также должно быть определено определением определения. Конкрети-зация понятия определения позволяет дать формальные опреде-ления таким понятиям как понятие утверждения, понятие отно-шения, понятие теоремы, понятие теории, определение самого определения как понятия «понятие» и т.д. Диалектика понятий обеспечивается использованием гомоморфизма как способа на-следования преобразуемого понятия в результирующем понятии. Понятие есть некая новая математическая структура в ряду таких структур как понятие числа, понятие матрицы, понятие полинома и т.д., но отличающаяся от них тем, что она предназначена для определения прикладных понятий (не исключая и собственного определения, т.е. определения понятия понятие). Понятие мета-алгоритма, как обобщения понятия алгоритма, представляет не только вычислительные, но и аналитические аспекты алгоритми-ческих функций. Использование в построениях аналитических понятий вместо интуитивных позволяет формализовать ту часть построений, которая обычно выполняется “по наитию”, на основе «здравого смысла», без использования каких-либо формальных и обоснованных правил. Кроме того, теория понятий имеет об-ширную область прикладных применений: построение понятий составляет начало любой дисциплины, и использование аналити-чески построенных понятий и методов работы с ними вместо интуитивных позволяет избегать многих понятийных некоррект-ностей и ошибок. В прикладном аспекте теория понятий, являясь аналогом и обобщением аппарата видов данных в языках и сис-темах программирования, служит его объяснением и обоснова-нием. Многие прикладные проблемы оказываются понятийными. В частности, удается определить предназначение и способ ис-пользования семантического гомоморфизма и дать более кор-ректное и строгое его определение; удается построить обобщение общей алгебры, предложить аналитическое определение и обос-нование понятия пространства. Даже такое фундаментальное понятие, как понятие множества, прежде всего, является понятием, и работать с множествами следует по правилам работы с понятиями; бесконечное множество, как предел пополнения ко-нечного множества, в явном виде представляет собой переход количества элементов в новое качество – в понятие множества. Этим, в частности, может объясняться спорность аксиомы выбора (элемента из бесконечного множества), поскольку о выборе эле-мента из понятия и речи быть не может.

Для обеспечения прагматики прикладных теорий (форма-лизмов) они должны строиться как конкретизации понятий теории понятий, выступающей в качестве некоторой мета-теории прикладных теорий. С применением теории понятий рассматри-вается метод доказательства общих утверждений [42, 44]; теория типов данных в языках и системах программирования оказывается еще одним применением теории понятий [40], осуществляемого методом ее конкретизации. Применение теории аналитических понятий к лингвистике естественных языков помогает понять и объяснить некоторые аспекты представления и использования интуитивных понятий в естественных языках.

В целом, теорию понятий можно рассматривать как тех-нологию (диалектического) мышления; теория понятий превращает мышление в технологию. Основой любой науки (а в особенности математики) является «правильное» мышление; теория понятий посвящена технологии формального аналитического мышления. Математика основывается на понятиях. Вся работающая, продуктивная математика работает на (неформальных, ин-туитивных) понятиях. Без использования понятий даже яблоко к грушам не добавить! Из-за неправильного мышления предпри-нимается слишком много непродуктивных, ошибочных и даже контр-продуктивных действий и выводов (как пример, концепция алгоритмической неразрешимости – недоказуемость не может быть доказана).
В целом теория понятий предстает как технология анали-тических рассуждений, как технология (диалектического) мыш-ления.

1. Семантические проблемы формализаций
Формализмы во многих дисциплинах и в первую очередь в математике играют существенную роль. Использование форма-лизмов во многих дисциплинах является эффективной технологией. Недостаточное внимание вопросам семантической интерпретации формализмов может приводить и приводит к наиболее серьезным, фатальным ошибкам и заблуждениям как в построении формализаций, так и в их использовании. Даже простейшие формальные схемы с учетом семантики входящих в нее элементов обретают новые, и даже несколько необычные свойства и аспекты. Так даже такая простая,  знакомая со школьной скамьи схема раскрытия скобок (a+b)*c=a*c+b*c при придании элементам этой формулы определенного смысла, становится не очень понятной. Так, если используемые переменные означают, например, длины, то выражение (a+b) будет, скорее всего, означать сложение некоторых длин a и b, а выражение (a+b)*c может означать, например, площадь прямоугольника со сторонами (a+b) и c; тогда в правой части этого равенства должны складываться площади прямоугольников со сторонами {a,c} и {b,c}. Но операция сложения площадей, строго говоря, отличается (и семантически, и по сути) от операции сложения длин. Поэтому в правой части должна быть использована некоторая другая операция сложения. К слову, это равенство как раз и представляет определение операции сложения площадей через операцию сложения длин.
Формализации без семантической интерпретации ни к чему не применимы (поскольку в формализациях отсутствуют механизмы их применения к реальным объектам) и поэтому не представляют практической ценности. Правильное и адекватное понимание формальных теорий становится достаточно трудной проблемой (иногда даже для авторов этих теорий). Понимание достаточно сложных формальных абстрактных теорий уже не всегда может быть “выполнено” по “наитию”. Для корректного и правильного его осуществления требуется разработка и исполь-зование некоторой соответствующей технологии. Теория понятий представляет технологию семантического формализма. Технология семантического формализма исследует проблему построения объектов в неразрывной связи с их семантикой.

Отличительной особенностью понятий (связанной и с мнемоникой используемого термина) является возможность по-нимания понятий. Понимание понятий обеспечивается семантикой понятия. Семантику понятия составляет совокупность понятийных функций, применимых к рассматриваемому понятию. Понятие может иметь ту или иную семантику, в зависимости от набора собственных функций.
Теория понятий допускает осуществление семантических процессов не только естественным, но и искусственным интел-лектом.

Традиционно основу формализаций составляют формаль-ные языки. Понятно, что формализованные языки предназначены и используются для представления и преобразования семантики, хотя осознание того, что есть семантика (и есть ли она на “самом деле”), каким образом она в языках (языками) представляется, ка-ким изменениям и преобразованиям она может подвергаться продолжает оставаться на интуитивном (или даже сомнительном) уровне, несмотря на интенсивные исследования этой проблема-тики такими дисциплинами, как математика, информатика, лин-гвистика, философия. Исследование семантических свойств зна-чений – проблема, которая еще до недавнего времени была лишь онтологической философской проблемой, становится сегодня одной из актуальнейших проблем информационных технологий. Особенно важны и актуальны семантические аспекты формали-заций для практики информационных технологий. Кроме того, из-за неразработанности семантических аспектов формализаций работа с семантикой продолжает оставаться привилегией и уделом человеческого мышления. Необходимость и важность семан-тических аспектов формализаций уже давно и в достаточной мере осознается исследователями. В разное время проблеме иссле-дования семантических свойств значений уделяли внимание фи-лософы и лингвисты Рассел Б., Фреге Г., Карнап Р.; математики и логики Черч А., Льюис К.И., Тарский А., Лукасевич Я. Диапазон этих исследований чрезвычайно широк: от разработок эвристи-ческих, прикладных семантических систем до попыток создания внесемантичных (асемантичных) формализмов.
Традиционным подходом этих исследований к решению семантических проблем формализаций является разработка и исследование различных способов семантической интерпретации формализмов. В соответствии с этим воззрением существующие формализмы скорее следует считать не семантическими форма-лизмами, а просто символизмами, поскольку они всего лишь представляют собой систему символьных обозначений интуитив-ных понятий, определений, действий, отношений. Символизмы выполняют лишь начальный этап формализации: материализацию и представление интуитивной семантики. И хотя многие некор-ректности и ошибки, присущие интуитивным представлениям, привносятся таким образом и в формализмы, этот процесс (про-цесс материализации и представления семантики) едва ли подле-жит исследованию и обсуждению из-за недоступности аргу-ментных объектов этого преобразования. Однако последующая работа с этими уже вполне осязаемыми, реальными представле-ниями может быть исследована и надлежащим образом опреде-лена. Существенно и ценно, что правила и технология работы с этими представлениями уже никак не зависят от прикладной специфики этих понятий, а полностью определяются их собст-венной спецификой. Такая постановка проблемы семантической интерпретации формализмов естественным образом предполагает некоторую другую проблему: если делается попытка извлечения семантики из формализмов, то, естественно, следует предвари-тельно исследовать вопрос о помещении этой самой семантики в формализмы. В такой постановке проблема семантики не иссле-дуется, наверное, потому, что полагается, что сама по себе се-мантика слишком нематериальна и эфемерна, чтобы быть пред-метом такого исследования и что формализация и есть как раз первейший, изначальный этап материализации семантики, после которого только и появляется возможность ее предметного обсу-ждения и исследования.
Недостатком традиционного подхода к построению и ис-пользованию формализмов как раз и является использование интуитивной семантики. Вслед за допущением интуитивной се-мантики неформальной оказывается и ее “привязка” к тем или иным элементам формализмов. Предположение и использование интуитивной семантики лишает концептуальности сам метод формализации, оставляя за ним лишь вспомогательные функции идентификации. Представляется, что концептуальная значимость формализаций могла бы быть обеспечена одним из двух способов: первый способ мог бы заключаться в разработке и построении формализма, полностью исключающего использование интуи-тивной семантики, т.е. разработку асемантичного формализма; второй способ заключается в построении некоей сущности, из-начально обладающей семантикой. Сначала рассмотрим возмож-ность построения асемантичного формализма. Второй вариант составляет основу теории понятий.

Для семантических исследований особое значение имеет теория нормальных алгорифмов [1] как достаточно фундамен-тальная попытка создания асемантичного формализма. Успешное построение такого формализма означало бы, что семантика не имеет концептуальной ценности и является не более чем вспо-могательным, технологическим средством. Построение этой асе-мантической формализации не может считаться успешным из-за следующего упущения. При построении теории нормальных ал-горифмов оказывается необходимым преобразовывать схемы ал-горифмов в слова с целью их последующего анализа и\или пре-образования другими алгорифмами. Поскольку никакой семантики у слов в теории нормальных алгорифмов не предполагается, то естественно полагается, что для требуемого преобразования достаточно обеспечить однозначность преобразования слов (в частности, преобразования слова, представляющего схему нор-мального алгорифма (или являющегося схемой нормального ал-горифма) в слово в алфавите (данных) этого алгорифма), и неко-торый способ такого преобразования в теории нормальных алго-рифмов предлагается. Но ничто не ограничивает возможности использования некоторого другого (тоже однозначного) способа требуемого преобразования. И анализирующие (преобразующие) алгорифмы на таких различных представлениях одного и того же алгорифма, естественно, могут давать различные результаты. Оснований для предпочтения одного из возможных способов не имеется. Выводы, основывающиеся на таких сопоставлениях, не будут абсолютными. В содержательных теориях, предполагающих семантику слов, требование ее сохранения выступает ограничи-телем допустимости преобразований. Модификация нормальных алгорифмов [17, приложение 2], не допускающая неоднозначного представление схем алгорифмов в виде слов, приводит к расши-рению понятия нормального алгорифма, по сути, понятием се-мантики. Модифицированные нормальные алгорифмы оказыва-ются и более сильными (они оказываются не сводимыми к нор-мальным алгорифмам), что говорит и о нецелесообразности и ог-раниченности асемантических формализаций.

1.1. Семантический формализм
Для разработки и исследования семантических аспектов данных предлагается теория, в которой данные рассматриваются совместно с операциями над ними. (На этом же подходе базиру-ется и теория категорий, но отличие заключается в том, что в теории категорий изначально операции рассматриваются над элементами множеств.) В теории понятий данные и операции над ними трактуются и рассматриваются в диалектическом единстве, и именно рассмотрение и исследование этого единения составляет предмет теории понятий. В отличие от алгебр, которые в качестве аргументных данных операций предполагаются элементы множеств, в теории понятий в качестве аргументных данных предполагаются понятия. Проблема семантической интерпретации данных затрагивает общие, фундаментальные вопросы и концепции формализаций. Мета-алгебра понятий представляет не только вычислительные, но и аналитические аспекты форма-лизаций. Концептуальные проблемы семантики формализаций рассмотрены в разделах 1.1, 1.2, 1.3. Хотя проблема определения понятия алгоритма (функции), безусловно, является основной проблемой, для решения которой теория понятий оказывается необходимой, исходной, побудительной проблемой, исследование и решение которой привело к построению теории аналитических понятий, была другая, достаточно утилитарная, впрочем, не менее значимая проблема, — проблема семантической интерпретации данных в языках и системах программирования.

Асемантичный формализм продолжает оставаться неосу-ществленной мечтой. Альтернативой, противоположной построе-нию асемантического формализма, является рассмотрение се-мантики, как некоей реальной сущности. В отличие от традици-онных подходов, в которых исследуется проблема представления формализмами интуитивной семантики, теория понятий предлагает некоторую структуру, которая не представляет семантику, а создает семантику. Структурой, способной обладать семантикой, в теории понятий является понятие. Концепция семантического формализма основывается на подходе, в некотором смысле про-тивоположном традиционному подходу к анализу семантики формализмов: не семантика надстраивается над формализмом, а формализация рассматривается как метод конструирования и преобразования семантики. Это является основной и опреде-ляющей концепцией построения теории понятий: не семантика для формализмов, а формализмы для семантики. Семантические проблемы при таком подходе перемещаются от использования формализаций к этапу их построения, создания. Для осуществления этого подхода потребовалась разработка и создание объекта, наиболее адекватного сущности интуитивной семантики. Сущностью, обладающей семантикой, являются понятия. Семантический формализм не пользуется интуитивной семантикой и не использует интуитивную семантику. Осуществление концепции семантического формализма полностью решает проблему формализации: обеспечивает возможность работы с осмысленной (семантической) информацией. Теория понятий реализует концепцию семантического формализма и позволяет ставить задачу автоматизации семантических процессов.
Понятие представляет собой достаточно сложную, специ-фическую и необычную сущность, для работы с которой интуи-тивные и прагматические представления и навыки оказываются, как правило, бесполезными или даже вредными (в отличие от многих других интуитивно достаточно не плохо представляемых сущностей). Некоторые свойства понятий оказываются неожи-данными и непривычными (но не невозможными). Существенно, что правила и технология работы с этими сущностями уже никак не зависят от прикладной специфики этих понятий, а всецело определяются их собственной спецификой.

1.2. О семантике алгоритмов, данных и понятий
Основной проблемой формального, аналитического опре-деления понятия алгоритма в информатике является проблема семантической интерпретации данных, с которыми работают ал-горитмы. Алгоритмы преобразуют наборы символов в некоторые другие наборы (возможно, других) символов; без обеспечения их семантической, содержательной интерпретации алгоритмы ста-новятся не более, чем преобразователем ничего не значащих на-боров символов, игрой в символы, не имеющей прикладного применения. Так, в теории нормальных алгорифмов не удается сформулировать семантически корректное определение приме-нения алгорифмов к алгорифмам [17, приложение 2].

Теория нормальных алгорифмов (теория, которая предла-гает вариант формального определения преобразований слов в алфавитах), например, проблему семантической интерпретации данных (как значимую самостоятельную проблему) не только не решает, но даже никак ее не обсуждает и не ставит. Алгоритмы, как они определены в теории нормальных алгорифмов, преобра-зуют именно семантически неинтерпретируемые наборы символов, интерпретация остается вне формализации. Однако от проблемы семантической интерпретации данных полностью устраниться не удается. При построении самой теории нормальных алгорифмов некоторые содержательные (т.е. требующие учитывать семантику данных) применения алгорифмов все же приходится рассматривать: в теории нормальных алгорифмов возникает необходимость рассмотрения применения алгорифмов к алго-рифмам, что, тем самым, предполагает обеспечение семантической интерпретации данных. Здесь сразу возникает множество трудных вопросов по существу семантической интерпретации.
Теория нормальных алгорифмов решает проблему семан-тической интерпретации данных “очень просто”, применяя в ка-честве критерия семантической эквивалентности принцип взаи-мооднозначного соответствия элементов двух множеств. Полага-ется, что если элементы двух множеств находятся в отношении взаимооднозначного соответствия, то эти множества можно считать семантически эквивалентными. По этой схеме в теории нормальных алгорифмов осуществляется применение алгорифмов к алгорифмам: устанавливается некоторое взаимооднозначное соответствие между множеством слов, представляющих схемы алгорифмов, и аргументным (для некоторого алгорифма) множе-ством слов; взаимооднозначность этого соответствия принимается в качестве несомненного критерия правомерности замены одного другим. Теория нормальных алгорифмов (как, впрочем, и многие другие дисциплины) рассматривает упомянутый принцип взаим-нооднозначного соответствия элементов множеств в качестве критерия их семантической эквивалентности. С семантической, содержательной точки зрения количественное равенство, обес-печивающее возможность установления того или иного взаимо-однозначного соответствия, никак не может служить хоть каким-то обоснованием семантического соответствия составляющих эти множества элементов, основанием для замены одного другим. Установление одного соответствия не исключает возможности многих других соответствий, и ни одно из этих соответствий не может считаться превалирующим, что и порождает семантические проблемы. Если бы взаимооднозначность соответствия действительно обеспечивала бы семантическую, содержательную эквивалентность, то не имело бы почти никакого смысла одно множество и заменять другим. Быть может для количественных сравнений такое соотнесение может оказываться вполне удовлетворительным, но с семантической точки зрения этот принцип не может быть признан удовлетворительным и приемлемым. Действительно, из того, что количество дней недели совпадает с количеством музыкальных нот или цветов радуги и между ними легко может быть установлено взаимооднозначное соответствие, не могут следовать какие-либо утверждения о се-мантической, содержательной эквивалентности этих сущностей, о допустимости и приемлемости замены одних элементов другими.
Пример использования отношения взаимооднозначных соответствий, использованный в теории нормальных алгорифмов для построения схемы применения алгорифмов к алгорифмам, не обеспечиывает семантически корректного (однозначного) само-применения нормальных алгорифмов [30, 39, приложение 1].

1.3. Предпосылки теории понятий
Теория понятий возникла не на пустом месте: накопилось некоторое число вопросов, ответы на которые в рамках сущест-вующих формализмов не удается получить.

1.3.1. Прагматика теорий
Ценность и нужность теорий и формализмов определяется возможностью их практического применения, использования. И если для технологий, работающих с реальными объектами, их ценность обеспечена уже тем, что они применяются и применя-ются к реальным объектам, то для абстрактных теорий и форма-лизмов проблема установления их практической ценности пред-ставляет определенные трудности. Дело в том, что теории и формализмы, как известно из практики их использования, применяются не только к реальным объектам, но и к другим теориям и формализмам. Поэтому теория, позволяющая определять и устанавливать ценность теорий и формализмов (не исключая и себя), обладает наибольшей ценностью. Такой теорией является теория понятий. Больше того, теория понятий способна не только устанавливать практическую ценность теорий, но и обеспечивать ее.
Теории обычно противопоставляются практике. Такое противопоставление далеко не случайно, поскольку определение подходящего практичного механизма сопоставления абстрактных сущностей и реальных объектов представляет собой трудную, до конца не решенную проблему. Недостатком многих (а особенно формальных абстрактных) теорий является недостаточное (а иногда и полное) невнимание в них к вопросам (если не сказать, даже пренебрежение вопросами) прикладного применения теорий, вопросам практического использования теорий. Прикладной аспект теорий, конечно, имеется в виду и предполагается, но сами теории этой проблеме не уделяют должного внимания, считая, что главное – это разработка, создание и построение теории, а ее применение уже не представляет какой-либо проблемы, не должно содержать трудностей и это дело уже прикладников. Больше того, иногда считается, что этой стороне дела теория и не должна уделять внимания, ибо это уже не теория, а ее примене-ние, т.е. это уже вне теории. К слову сказать, такого же мнения нередко придерживаются и сами прикладники: была бы стоящая теория, а уж применить ее мы сумеем. Такое невнимание к прагматике как технологии применения теорий приводит к раз-личным казусам, антиномиям, парадоксам, вплоть до полного обесценивания самих теорий. Проблему представляют не только ошибки и некорректности при использовании теорий, но и нередко сама возможность и технология использования теорий.
Не редко в самой создаваемой теории требуется ее соб-ственное применение. Так в теории алгоритмов требуется рас-сматривать применение алгоритмов к алгоритмам, в теории мно-жеств требуется создавать множества, состоящее из подмножеств множества. Из-за отсутствия в теории аппарата, обеспечиваю-щего ее практическое применение, приходится  дополнять теорию самодельными, кустарными средствами, что не всегда оказывается удовлетворительным. Даже авторское применение утверждений теории не гарантирует удовлетворительность используемых при этом средств.
Конечно, нельзя утверждать, что эта проблема игнориру-ется полностью. Так, одной из попыток ее преодоления (не ре-шения, но, именно, преодоления) явилось использование отно-шения взаимнооднозначного соответствия элементов. Это отно-шение используется, например, в теории множеств и в теории алгоритмов. В работе [30, приложение 1] показывается неудовле-творительность этого приема для обеспечения прагматики теорий; некорректности, которые возникают при использовании отношения взаимнооднозначного соответствия, рассматриваются на примере этих теорий. Кроме того, это отношение (по определению) применимо только для элементов множеств, и не может быть использовано в иных случаях, например, для понятий или алгебр.
Не всякая теория допускает решение проблемы приме-нимости. Так, например, в теории множеств элементы множеств являются фактически инкапсулированными (закрытыми) объек-тами, что исключает использование методов их интерпретации, требующих рассмотрения структуры элементов. Поэтому, на-пример, представление элемента множества как некоторого под-множества элементов множества может быть выполнено только вне теории множеств неформальными средствами. В теории нормальных алгорифмов применение алгорифмов к алгорифмам основано на использовании договоренностей, и для обеспечения прагматики теории алгоритмов требуется более адекватное оп-ределение понятия алгоритма.

Проблема практического применения теорий и форма-лизмов представляет собой самостоятельную, практически важную проблему. Соотнесение элементов формализма и объектов, к которым требуется применение теории, действительно представ-ляет собой непростую задачу.  Для осуществления прикладного аспекта формальных теорий требуется некоторая новая специ-фическая мета-теория, в которой прагматика теорий являлась бы как предметом этой теории, так и ее методом. Такой теорией оказывается теория аналитических понятий. Проблема примени-мости формализмов оказывается одной и той же, как для гео-метрии, так и для теории алгоритмов, как для теории множеств, так и для любых формальных теорий. Тезис «практика - крите-рий истины» приобретает смысл и для формальных теорий: практика теорий обеспечивается ее прагматикой.
Основным отношением теории понятий, на котором строится теория понятий и ее собственная прагматика, является специальное определяющее понятийное отношение. Это отно-шение, составляющее основу семантических определений, само определяется как “совмещение” некоторых других более эле-ментарных отношений; представление о сути определяющего от-ношения может быть дано через посредство описания содержа-тельных примеров его использования. В математике не имеется какого-либо аналога этого отношения, по крайней мере, в явном виде. Автором этого отношения, скорее всего, следует считать Н.Хомского, который предложил это отношение для описания структуры грамматических конструкций. Это отношение в отличие от отношения взаимнооднозначного соответствия является асим-метричным и продуктивным: оно определяет новую сущность и само обладает семантикой.
Приходится признавать, что мышление не очень надежно: если теории (формализмы) еще близки к реальному миру, то их истинность в некоторой степени обеспечивается этой близостью, а по мере удаления от реального мира, по мере абстрагирования теорий они оказываются все более зыбкими и ненадежными. Различные парадоксы теории множеств не есть каверзность самих множеств, а есть проявление некорректности, неправильности и ошибочности мышления. Построение теории нормальных алгорифмов не в полной мере решает проблему формализации массовых преобразований. Нередко некорректности, неправиль-ности мышления приводят к непродуктивным определениям (примером непродуктивного определения может служить из-вестный парадокс Б. Рассела о “брадобрее”; аналог этого пара-докса использован в [1] для обоснования “существования несу-ществующих” алгорифмов (в алфавите A) в формулировке: “Не-возможен нормальный алгорифм в А, применимый к тем и только тем записям нормальных алгорифмов в А, которые являются за-писями несамоприменимых алгорифмов”). До сих пор продолжа-ется дискуссия о правомочности и приемлемости актуальной или потенциальной бесконечности. Все это (и многое другое) потре-бовало разработки теории понятий, как технологии мышления. Наверное, мышление, как некий процесс, происходит по некото-рым правилам, и теория понятий пытается эти правила выявлять и формулировать.


1.3.2. Неудовлетворительность формализаций понятия алгоритма
Разновидностью проблемы практического применения формализмов, потребовавшей разработки теории понятий, является проблема построения семантических формализмов. Существующие формализации не в полной мере обеспечивают работу с семантическими сущностями. Формальным основанием такого утверждения является неудовлетворительность существующих формализаций в этом отношении. Наиболее ярко эта неудовле-творительность проявляется на примере формализаций понятия алгоритма.
Формализации алгоритмов (например, теория нормальных алгорифмов) во всей полноте и точности описывают манипули-рование со словами в алфавитах. Полагается, что этого для фор-мализации интуитивного представления алгоритма достаточно, и практические приложения должны сами побеспокоится о надле-жащем соотнесении требуемых реальных объектов словам (или наоборот: о соотнесении слов реальным объектам). Такую схему прагматики можно бы было действительно принять, тем более она действительно на первый взгляд представляется предельно дос-таточной и не видно каких-либо упущений.

Формализация алгоритмов в виде нормальных алгорифмов представляет собой лишь достаточно точно определенное средство описания преобразований слов в алфавитах. Означают ли что-либо слова, а если означают, то как они это делают, в теории нормальных алгорифмов не рассматривается: в качестве способа осуществления прагматики нормальных алгорифмов предполагается использование взаимнооднозначных соответствий слов в алфавитах. Прагматика теории нормальных алгоритмов отсутствует (или, как можно сказать точнее, ограничена ничего не означающими словами в алфавитах). Практика работы с данными требует не столько преобразований наборов букв, но и ис-пользования более содержательных данных, что нормальными алгорифмами не обеспечивается. В работе [17, приложение 1] на конкретном примере самоприменения нормальных алгорифмов показана неудовлетворительность нормальных алгоритмов для решения такого рода проблем. Рассмотрим эту проблему подроб-нее. В качестве образца объектов, безусловно, обладающих вполне определенной семантикой, рассмотрим нормальные алгорифмы, т.е. в качестве содержательного, семантически вполне определенного аргумента будем рассматривать нормальные алго-рифмы. Это означает, что требуется более тщательно проанали-зировать проблему применения алгорифмов к алгорифмам.
В теории нормальных алгорифмов [1] рассматривается применение алгорифмов к алгорифмам. Нормальные алгорифмы представляются схемами, состоящими из последовательностей подстановок. Нормальные алгорифмы работают на словах в ал-фавитах. Поскольку схемы нормальных алгорифмов не являются словами, для применения алгорифмов к алгорифмам предлагается преобразовывать схемы нормальных алгорифмов в слова. К со-жалению, теория нормальных алгорифмов построена так, что само это преобразование не может быть представлено нормальным ал-горифмом; в теории нормальных алгорифмов [1] в разделе [IV. §3]  это преобразование описывается на естественном языке. Преобразование схемы нормального алгорифма в слово в тре-буемом алфавите осуществляется в два этапа: сначала (заменой конструктивных элементов схемы нормального алгорифма неко-торыми дополнительными буквами с последующей конкатенацией формул подстановок) схема алгорифма преобразуется в его изо-бражение – слово в расширенном алфавите преобразуемого ал-горифма; затем (путем перекодировки букв этого расширенного алфавита  некоторыми двухбуквенными звеньями) изображения алгорифмов переводятся в записи - слова в алфавите приме-няемого алгорифма. Такая перекодировка, в частности, способна обеспечить преобразование изображения самого преобразуемого алгорифма в слово в его собственном алфавите, обеспечивая возможность применения алгорифма к собственной записи. Од-нозначность преобразования схемы нормального алгорифма в его запись рассматривается в качестве достаточного критерия пра-вомочности перехода от схемы алгорифма к его символьному представлению в требуемом алфавите и, тем самым, обеспечения возможности применения алгорифма к алгорифму.
Покажем, что этот критерий выбора способа превращения алгорифма в аргумент алгорифма ошибочен и неправомочен. Поскольку эти договоренности являются не более чем догово-ренностями, то они могут (в силу самых разнообразных причин и обстоятельств) меняться. Именно эта возможность произвольного, ничем не ограничиваемого изменения аргумента и порождает неоднозначность результата самоприменения нормальных алго-рифмов. Пусть рассматривается некоторое свойство алгоритмов и имеется способ анализа, обладает ли конкретный алгорифм этим свойством или нет; пусть этот анализ может быть выполнен с помощью некоторого анализирующего алгорифма, который в применении к записям других алгорифмов сортирует их на “об-ладающие свойством” и “не обладающие свойством” алгорифмы, т.е. пусть он перерабатывает записи алгорифмов, например, в пустые или непустые слова соответственно. Рассмотрим приме-нение этого алгорифма к “себе”, т.е. к собственной записи. По-скольку различных однозначных преобразований изображения алгорифма в его запись может быть предложено достаточно много и не имеется никаких предпочтений для выбора какого-то определенного, то этот анализирующий алгорифм будет квали-фицировать себя то как “обладающего свойством”, то как “не обладающего свойством” в зависимости от того, какой способ преобразования изображения алгорифма в его запись использован. В работе [39, приложение 2] приводится конкретный пример нормального алгорифма, который в зависимости от способа его превращения в слово дает различные результаты самоприменения. Поскольку задачей является анализ вполне определенного алгоритма посредством вполне определенного анализирующего алгоритма, способ превращения схемы нормального алгорифма в аргументное слово анализирующего алгорифма является всего лишь технологическим приемом теории алгоритмов, и он не дол-жен иметь принципиального значения и не должен, во всяком случае, влиять на результат анализа. Эта неоднозначность ре-зультата анализа одного и того же аргумента одним и тем же способом (алгорифмом) противоречит основной концепции алго-ритмических преобразований – давать на вполне определенном аргументе вполне определенный результат. Неоднозначность ре-зультата самоприменения алгорифма показывает, что предлагае-мый в теории нормальных алгорифмов способ применения алго-рифма к алгорифмам не может быть признан удовлетворительным и приемлемым. Таким образом, строгое и однозначное описание требуемых преобразований содержательных данных (на примере самоприменения алгорифма) оказывается невозможным. Это означает, что рассматриваемая формализация не в полной мере выполняет свою роль, не все аспекты интуитивного понятия алгоритма оказываются учтенными. Неучтенной, неформализо-ванной и проблемной оказывается аналитическое представление семантических сущностей.
Теория нормальных алгорифмов обеспечивает лишь тех-нологию точных и однозначных преобразований наборов символов, но не алгорифмов или каких-либо других содержательных объектов. Естественно задаться вопросом, а возможно ли усиления формализации понятия алгоритма с тем, чтобы исключить указанную неоднозначность формализации алгоритма? Много-численные попытки построения других, более сильных и адек-ватных формализаций понятия алгоритма, оказывались безус-пешными до тех пор, пока не выяснилось, что камнем преткно-вения является концепция сравнения формализаций алгоритмов: если сравнивать алгоритмические формализации по способности алгоритмов описывать преобразования слов в алфавитах, то все формализации действительно оказываются эквивалентными. Если к сравнению привлекать более содержательные критерии и сравнивать формализации алгоритмов по способности описывать преобразования содержательных данных, например,  алгоритмов (не исключая и преобразования самих себя), то оказывается, что по этому критерию предлагаемая в работе [17, приложение 2] модификация нормальных алгорифмов превосходит классические формализации алгоритмов. В этой работе предлагается некоторое обобщение нормальных алгорифмов – модифицированные нор-мальные алгорифмы. Модифицированные нормальные алгорифмы отличаются от нормальных алгорифмов использованием в них некоторых специальных элементов, которые являются перемен-ными определенного (рекурсивного) типа. Эти специальные эле-менты, хотя и представляются некоторыми буквами, буквами (в смысле определения буквы по Маркову) не являются. Для моди-фицированных нормальных алгорифмов применение алгорифмов к алгорифмам (включая и самоприменение) определено непо-средственно для изображений алгорифмов так, что изображение является преобразуемым этим алгорифмом аргументом вполне однозначным образом. Модифицированные нормальные алго-рифмы естественно не могут быть представлены в виде нор-мальных алгорифмов. Модифицированные нормальные алгорифмы не нормализуемы, т.е. они в некотором смысле являются мета-алгоритмами по отношению к нормальным алгорифмам. Более точное и адекватное определение понятия алгоритма предлагается теорией понятий.

1.3.3. Аксиоматики множеств
В качестве еще одного примера практического применения самой теории понятий (кроме собственного построения) рассматривается обобщение понятия множества. Очень часто множества используются лишь для обозначения некоторых со-вокупностей. В этих случаях, как правило, достаточно бытовых представлений о совокупностях, и никакой потребности в фор-мализации множеств, а тем более в их каких-либо усилениях и обобщениях не требуется. Даже такое фундаментальное понятие, как понятие множества, прежде всего, является понятием, и, следовательно, работать с множествами следует по правилам ра-боты с понятиями. Множество в большей степени является по-нятием, нежели совокупностью элементов. Бесконечное множество, как предел пополнения конечного множества, в явном виде представляет собой переход количества элементов в новое каче-ство – в понятие множества. Аксиоматика множеств определяет множество не как совокупность элементов, а как понятие мно-жества. Аксиоматика множества есть определение понятия мно-жества.
В свое время, с целью обеспечения возможности «многое мыслить как единое» [2] Г. Кантором было предложено понятие множества. Оставляя несколько в стороне вопросы использования этой возможности (зачем и для чего такая возможность требуется, где и как она может использоваться), обратим основное внимание на саму возможность  «многое мыслить как единое». По истечении времени, для формального определения понятия множества был предложен и использован аксиоматический подход. Считается, что аксиоматика определяет определяемый объект наилучшим образом. Так, считается, что система аксиом Френкеля-Цермело, например, определяет множества достаточно точно и полно. Определяемым этой (или некоторой другой) аксиоматикой объектом является не некоторое конкретное множество (хотя любое конкретное множество аксиоматикой также определяется), не некоторая разновидность множеств и даже не множество множеств. Определяемым объектом аксиоматики являются все множества, как конечные, так и бесконечные, как актуально бесконечные, так и потенциально бесконечные, множества любых мощностей, как собственно множества, так и их подмножества (и даже множества их подмножеств), как любое из построенных множеств, так и множества, которые даже нигде, никогда, никем и не будут построены; одним словом – абсолютно все множества. Это означает, что аксиоматика множеств, как средство для того, чтобы «многое можно было мыслить как единое», является несравнимо более мощным средством, нежели сами определяемые ею множества, и аксиоматики имеет смысл использовать в прикладных проблемах вместо множеств. Кроме того, что аксиоматика определяет определяемый объект, аксио-матика обладает семантикой, которая является некоторой новой дополнительной сущностью аксиоматического определения. Тех-нология аксиоматических определений, как средство построения понятий, исследуется, обсуждается и излагается в теории понятий.
Аксиоматика является конечным объектом, для которого проблемы актуальной (не говоря уж о потенциальной) бесконеч-ности не актуальны. Работать с сущностями (т.е. множествами), определяемыми посредством аксиоматических определений, можно и надлежит через посредство применения действий к самим определениям. Кроме того, аксиоматики способны определять не только множества элементов, но и различные другие, более содержательные объекты, как, например, те же аксиоматики.
Признавая, что аксиоматика множеств мощнее опреде-ляемых ими собственно множеств, естественно возникает техно-логический вопрос: “Как определять аксиоматики и как с ними работать, и как работают они сами?”. К сожалению, ни А. Френ-кель, ни Е. Цермело, ни другие авторы аксиоматик не раскрывают технологию, при помощи которой аксиоматика множеств была определена и построена; не имеется сколь-нибудь формального определения того, что есть аксиоматика.
Естественно полагать, что поскольку аксиоматика при-знается наиболее мощным универсальным средством определения, то саму аксиоматику следует также определять аксиоматическим методом, т.е. строить аксиоматику аксиоматики. Но при таком подходе к построению определений мы оказались бы в замкнутом круге, если бы не нашлось объекта, который сам удовлетворяет собственному определению и замыкает, тем самым, рекурсию. Таким объектом оказывается определение понятия сущности. На смену возможности «мыслить многое, как единое» приходит концепция мышления понятиями, что предполагает и обеспечивает иное, понятийное мышление.
Особо следует обратить внимание в концепции множества Г. Кантора на необходимость мыслить многое, как единое. Хотя Г. Кантор и не говорит, зачем бы нужно «многое мыслить как еди-ное», можно предполагать, что Кантор Г. интуитивно понял, что для определения самой возможности определения концепции функции (алгоритма) требуется каким-либо образом обеспечить возможность преобразования многих аргументных значений через посредство описания требуемого преобразования над единым аргументом. Может быть еще более ценным в теории множеств Г. Кантора является то, что Г. Кантор наверное первый обратил внимание на проблему исследования и изучения самого процесса мышления как процесса работы с понятиями.

1.3.4. Теоретико-множественная формализация функций
Рассматривая теорию понятий как теорию, совершенст-вующую определение математической функции, наверное, будет оправдано предварительно более детально проанализировать особенности традиционной формализации понятия функции. Отметим еще раз, что необходимость дальнейшего развития и совершенствования понятия алгоритма (функции) возникает ис-ключительно в связи с проблемой алгоритмических преобразо-ваний самих алгоритмов. Для общепринятых прикладных задач такой проблемы нет или, точнее, она не ощущается столь остро; для работы с традиционными прикладными данными вполне достаточно классической теоретико-множественной формали-зации понятия функции, особенно если принять во внимание за-мечание о различии функций и алгоритмов. Прежде, чем пере-ходить непосредственно к рассмотрению теории функций с ис-пользованием понятий вместо множеств в определении понятия (алгоритма) функции имеет смысл, хотя бы кратко, остановится на анализе (с понятийной точки зрения) использования множеств в определении функций. Такое рассмотрение позволяет увидеть некоторые недостатки и некорректности теоретико-множественного подхода к формализации функций.
Необходимо также более детально рассмотреть саму кон-цепцию математической функции. Понятие математической функции столь привычно и обыденно, что за ним теряется из виду сама концепция математической функции.
Особенность функций, в сравнении с преобразованием некоторого конкретного единичного объекта, состоит в том, что функция предполагает “множественность” значений аргумента, возможность применения некоторого определенного действия не только к одному единственному значению аргумента, а к гораздо большему числу значений аргумента. Для единичных объектов определение преобразований не представляет особого труда: для единичного объекта требуемое определение преобразования может быть дано с любой необходимой подробностью и тщательностью. В крайнем случае, оно (это преобразование) может быть непосредственно продемонстрировано.
Уникальной и определяющей особенностью функций яв-ляется возможность применения одного и того же преобразования к различным объектам; для обеспечения этой возможности эти различные объекты должны обладать определенной одина-ковостью, похожестью, чем, собственно, и может обеспечиваться возможность применения одного и того же преобразования к различным, но “похожим” объектам. Изобретение функции ос-новывалось на том, наверное, что одно и то же действие могло бы быть применено к нескольким, достаточно «близким», «похожим» объектам. Это предположение приводит к появлению понятия функции, как способа применения описания одного и того же действия уже не к единственному объекту, а к некоторой их со-вокупности. Для осуществления такой возможности требуется обеспечить эту “достаточную близость”, похожесть (различных) объектов.

Простым, естественным и логичным решением этой про-блемы явилось в свое время предложение понятия множества, как совокупности элементов, обладающих требуемой “похожестью” изначально, как говорится, по определению. И действительно, использование такой концепции математической функции в большинстве случаев оказывается практически удовлетвори-тельным и приемлемым. Но, несмотря на практическую удовле-творительность и приемлемость теоретико-множественная кон-цепция математической функции не обеспечивает полного, се-мантически корректного решения проблемы определения функции. И основные неудовлетворенности вызывает как раз использование понятия множества. Концепция множества не решает проблему “похожести”, а лишь перемещает ее из проблематики определения функции в проблематику определения самого множества “похожих” элементов или даже в проблематику определения похожести элементов. Вместо проблемы определения такого множества “похожих” элементов теория понятий предлагает использование в формализациях понятий, которые требуемую “похожесть" способны обеспечивать.


Еще одной проблемой определения функций при теоре-тико-множественном подходе является проблема построения требуемых множеств. Формальная функция в теоретико-множественной формализации определяется на основе ориенти-рованного сопоставления элементов двух множеств. Для того чтобы определить функцию в такой формализации, требуется сопоставляемые множества предварительно уже иметь; но, если, например, имеются элементы только аргументного множества, откуда, каким образом можно поиметь множество результатов для некоторой требуемой функции? (Заметим, что не всегда таким образом требуемая функция может быть определена: так, допустим, что требуется определить числовую функцию, осуществляющую получение результирующего значения, вдвое меньшего аргументного значения; если результатное множество не содержит таких элементов, то задание такой функции оказывается невозможным.) Хорошо алгебре, она использует для значений определяемых функций то же самое аргументное множество. А как быть в иных ситуациях? Так, если имеется только множество натуральных чисел, то никакая функция из множества на-туральных чисел в множество вещественных чисел невозможна из-за его отсутствия. Каким образом, откуда множество веще-ственных чисел могло бы образоваться? Конечно, вопросом по-явления множества вещественных чисел можно и не задаваться; множество вещественных чисел можно трактовать как некоторую (неизвестно откуда и каким образом появившуюся) новую сущ-ность. Но тогда будет упущен более существенный аспект, нежели построение алгебраических операций: будет упущена возможность образования новых, более общих понятий. Представляется, что множество вещественных чисел могло бы образовываться некоторой операцией над натуральными числами; именно эти операции и могли бы образовывать новые элементы, из которых могло бы быть составлено множество вещественных чисел. Именно исследованием такого сорта методов теория понятий и занимается. Такие вот достаточно простые и интуитивно очевид-ные функции не могут быть представлены в теоретико-множественной формализации. Также не представляется воз-можным представить функцию построения множества всех под-множеств для некоторого (даже конечного) множества. Для зада-ния этой функции требуется уже иметь множество подмножеств, а тогда проблемы построения такой функции просто нет. Эта возможность теоретико- множественной формализацией функций не допускается и не рассматривается. Теория понятий осно-вывается на рассмотрении действий, образующих новые понятия. Более подробно проблема определяющих функций для алгебр рассмотрена на примере обобщения общих алгебр в приложении 4.
Основной недостаток использования множеств для фор-мализации понятия математической функции видится в том, что при определении функции как ориентированного сопоставления элементов множества из определения функции утрачивается процесс превращения аргумента в результат. В этой формализа-ции оказывается утраченным исконный смысл самого термина functio (лат.), означающего исполнение, осуществление, функ-ционирование.  Кроме того, определение функции f:a;b вовсе не означает, что действительно имеется действие f, которое, будучи примененным, к элементу “a” вырабатывало бы элемент “b”, точнее, преобразовало бы элемент “a” в элемент “b”. Такое оп-ределение функций допускает к рассмотрению невозможные (с семантической точки зрения) функции. Функция f: яблоко ; груша вовсе не означает, что действительно имеется технологический процесс превращения реального яблока в грушу.


1.4. Основные концепции теории понятий
Определяющей концепцией теории понятий является концепция семантического формализма: вся теория понятий вы-водится из отношения семантического гомоморфизма сущностей посредством использования семантического гомоморфизма. Кроме концепции семантического формализма (определяющего от-ношения), являющейся основной, в основе теории понятий лежат еще несколько, хотя достаточно существенных, но уже произ-водных концепций. Среди этих концепций особо можно упомянуть концепцию замыкания определяющего отношения, концепцию актуализации определяющих отношений, концепцию ис-пользования определяющих отношений и концепцию мета-алгоритма.

1.4.1. Определяющее отношение
Неудовлетворительность отношения взаимнооднозначных соответствий для обеспечения прагматики формализмов была только что показана на примере самоприменения нормальных алгорифмов и на примере отношений теории множеств. Вместо отношения взаимнооднозначного соответствия (сопоставления) элементов теория понятий предлагает специальное определяющее мета-отношение в качестве отношения, осуществляющего, в частности, и прагматику теорий.
Определяющее отношение есть отношение двух сущностей, провозглашающее одну из них в качестве обобщения другой и утверждающее, тем самым, вторую (считающуюся инициальной) сущность в качестве конкретизации первой. Кроме сущностей, составляющих определяющее отношение, считается, что само отношение также образует новую сущность, и считается, что она является семантикой определяющего отношения.
Теория понятий строится как абстрактная теория, ис-пользующая определяющие отношения сущностей как средство обобщения и конкретизации понятий. Определяющие отношения способны обеспечивать прагматику формальных теорий, постро-енных на их основе и с их использованием. Поскольку иници-альная сущность определяющего отношения не ассоциирована ни с какой сущностью или реальным объектом, инициальное опре-деляющее отношение (т.е. отношение, содержащее инициальную сущность) может представлять собой как предельно абстрактное утверждение, так и конкретизацию понятия требуемой сущностью или даже реальным объектом. Такое определяющее отношение будет являться полноценным определяющим отношением, и оно может быть использовано для построения средствами теории понятий новых сущностей, понятий, утверждений и теорий, обеспечивая, тем самым, их прагматику.
Концептуально важным частным случаем определяющих отношений являются рекурсивно-замкнутые определения поня-тий. Особенностью рекурсивно-замкнутого определения является то, что как определение некоторого понятия посредством рекурсивно-замкнутого определения, так и само понятие, им определяемое, удовлетворяют этому рекурсивно-замкнутому определению.
Само определение рекурсивно-замкнутого понятия яв-ляется предельным понятием теории понятий. Все прочие опре-деления являются конкретизациями этого (рекурсивно-замкнутого) определения. Вместе с тем, понятие, определяемое рекурсивно-замкнутым определением, может быть рассмотрено в качестве новой инициальной сущности.

Теория понятий объясняет концептуальность определяю-щих отношений. Модифицированные нормальные алгорифмы отличаются от нормальных алгорифмов использованием в них определяющих отношений, которые не имеются в нормальных алгорифмах. Доказательство ненормализуемости модифициро-ванных нормальных алгорифмов показывает, что определяющие отношения представляют собой не менее концептуальное и не-обходимое средство, чем, скажем, само понятие формального ал-горитма.

1.4.2. Актуализация понятий и понятие теории
Понятие или даже некоторый набор разрозненных понятий не продуктивен пока не предложен какой-либо механизм использования или применения понятий. Понятия обладают оп-ределенной продуктивностью во взаимодействии друг с другом, особенно учитывая, что в качестве компонент понятия допускаются и реальные объекты – понятия в этом случае обретают прагматику. При построении интуитивных понятий возможность корректного взаимодействия понятий остается, как правило, вне формализации. Для устранения этого недостатка теория понятий вводит понятие теории и метод актуализации понятий, которые обеспечивают возможность и средства использования уже по-строенных понятий в последующих построениях. Актуализация понятий позволяет и обеспечивает использование актуализиро-ванных понятий при построении и использовании последующих понятий. Понятие считается (и является) актуализированным, если имеется его гомоморфное разложение. Понятия, построенные с использованием уже имеющихся и актуализированных понятий, считаются и называются теориями. Понятие теории вводится стандартным для теории понятий способом построения новых понятий   с помощью соответствующей определяющей понятийной функции – метода актуализации понятий. На самом деле, актуализация и  взаимосвязь понятий определена во взаи-модействии сущностей, которая определяется семантическим го-моморфизмом.
Теория понятий является понятием теории в теории по-нятий.

1.4.3. Прагматика теории понятий
Наибольшее влияние теория понятий оказывает на теорию алгоритмов. Довольно широкий круг вопросов, возникающих в связи с модификацией понятия алгоритма, исследуется и разра-батывается теорией понятий, являющейся развитием и обобще-нием теории видов данных в том смысле, что конкретизация общей теории понятий дает теорию типов данных. Гомоморфизм теории понятий обосновывает концепцию “наследования” типов данных. Теория понятий указывает предназначение условных конструкций и предлагает семантически корректную их интерпретацию в языках программирования, дает определение концепции пе-ременной.
В информатике (в языках и системах программирования) используются функции, несколько отличающиеся от традиционных математических функций: они в большей степени являются функциями над понятиями, нежели функциями на множествах. Это отличие, которое классическая математика объясняет неспо-собностью “машинного интеллекта” оперировать категориями континуума и бесконечности “настоящей”, чистой математики, допускает и концептуальное объяснение, предлагаемое теорией понятий.
К слову заметим, что между алгоритмами и функциями классической математики при всей их похожести имеется одно принципиальное, семантическое различие. Если в математике функции строятся над семантически (хотя и не формально, но интуитивно) определенными данными (расстояние, время, ско-рость, площадь, объем, масса и другие, практически хорошо из-вестные сущности),  то для алгоритмов ситуация с семантической точки зрения совершенно иная, противоположная: алгоритмы строятся над словами в алфавитах и семантическая (содержа-тельная) интерпретация слов лишь имеется в виду (теорией алго-ритмов не предлагается). Поэтому при рассмотрении семантиче-ских вопросов в теории понятий рассматриваются в основном алгоритмы (а не фукции). (Семантика математических функций индуктивна, семантика алгоритмов дедуктивна.)


РЕЗЮМЕ:
Основной проблемой, потребовавшей разработки теории понятий, является проблема построения семантических форма-лизмов. Существующие формализации не в полной мере осуще-ствляют решение этой проблемы.
Определяющей концепцией теории понятий является концепция определения, определяющего отношения.
Теория понятий определяет понятие как некоторую вир-туальную сущность, которая предположением применимых к ней действий превращается в понятие; понятие, будучи определенным, считается реальным объектом. Для понятий определяется схема гомоморфного преобразования понятий так, что результатом применения такого преобразования к понятию является понятие. Понятие “понятия” является предельной и неподвижной “точкой” теории понятий.
Основным технологическим приемом теории понятий яв-ляется технология использования определений: если имеется не-которое определение определяемого объекта (к примеру, множе-ства или треугольника), то любые преобразования определенного (таким образом) объекта могут и должны определяться через по-средство преобразования определяющего его определения. Такой технологический прием называется семантическим гомоморфиз-мом и осуществляется посредством использования семантического гомоморфизма. Как представляется, такая технология исключает саму возможность появления каких-либо парадоксов.

1.6. Понятия vs множеств
Понятие множества является одним из постоянно и широко используемых понятий математики. В теории множеств не указы-вается, для каких целей они были разработаны и для чего они предназначены.

1.6.1. Функции на множествах
В свое время множества были использованы для создания формализации математической функции. Это использование оказалось для своего времени и для утилитарного математического, вычислительного употребления формализованных функций в целом вполне пригодным и достаточным. Если не относиться к формализации функции слишком пристрастно, не выходить за рамки утилитарного использования, то формализацию можно считать вполне удовлетворительной и приемлемой.
Относительно множеств и использований множеств можно сделать ряд замечаний, как относящихся к определению фор-мализаций функций, так и к другим использованиям. Использо-ваниям множеств присущи органические недостатки. Основное замечание касается неудовлетворительности использования мно-жеств в качестве аргумента формальных функций. Кроме этого, можно указать еще на ряд других использований множеств, в которых множества так же не вполне адекватны проблемам и в некоторых из которых могут быть использованы понятия с боль-шей адекватностью.
Функции предназначены для единообразного преобразо-вания достаточно больших наборов элементов. Считая, что функция применяется к множеству элементов, использование множеств обеспечивает в некоторой степени такую единообразную множественность. Но здесь кроется некоторая неудовлетво-рительность использования множеств для этой цели.
Рассмотрим пример: пусть требуется определить некоторую функцию, осуществляющую некоторое преобразование стульев (например, их покраску). Полагая, что подлежащие обработке стулья, в соответствии с формализацией функции, должны быть предварительно соорганизованы во множество, можно заметить, что в этом аргументном множестве не окажется тех стульев, которые будут произведены мебельными фабриками после завершения создания аргументного множества. Такое упущение этих стульев, конечно же, не может считаться удовлетворительным или даже допустимым для определения требуемой функции. Для обеспечения применимости функции ко всем возможным стульям, наверное, нужно использовать какое-либо другое аргументное образование вместо множеств. Теория понятий предлагает использовать понятия вместо множеств. Заметим, что когда несколькими строками выше формулировалась эта задача, то использовалось не понятие множества стульев, а именно само интуитивное понятие стула, которое и обеспечивало требуемую постановку задачи преобразования всех стульев. Понятие стула способно представлять любые стулья, независимо от времени их изготовления. В этом отношении использование понятий вместо множеств гораздо более эффективно. Действительно, в только что рассмотренном рассуждении посредством использования понятия “стула” удается апеллировать как к уже произведенным стульям, так и стульям, которые еще только будут произведены (как, в прочем, и к стульям, которые даже никогда и не будут произведены); и делается это при помощи использования неформального понятия ”стула”.


1.6.2. Отношение взаимнооднозначного соответствия
При использовании множеств в различных построениях, рассуждениях иногда возникают задачи, в которых требуется за-мена одного множества другим. Не вникая в обоснованность и необходимость таких требований, заметим, что критерием пра-вомочности таких замен обычно выступает количественная оди-наковость этих множеств, на основе которой предполагаются взаимнооднозначные соответствия множеств. Использование взаимнооднозначных соответствий для замены одного множества другим в случае семантически нагруженных элементов множеств семантически некорректно. Быть может для каких-либо задач (например, для количественных сравнений) этот критерий пра-вомерен, но не в использованиях множеств в семантических формализмах. В реальности элементы множеств, как правило, ассоциированы (и, как правило, неформально) с некоторыми со-держательными аспектами и игнорирование этих аспектов в формализмах недопустимо, ибо для их представления формализмы и используются.
В теории множеств в качестве способа практического ис-пользования, применения множеств на практике, никак не ого-варивая и не исследуя требуемый для этого механизм, по умол-чанию используется отношение взаимнооднозначного соответствия множеств. Рассмотрим более тщательно с семантической точки зрение какое-либо такое соответствие. Очевидно, что взаимнооднозначное соответствие двух множеств представляет собой множество соответствий элементов этих множеств. По-скольку соответствие составляют два конкретных элемента, взятых из двух множеств, то можно видеть, что такое (семантически никак не определенное) соответствие представляет собой, по сути, утверждение тождественности (эквивалентности) этих элементов. В теории множеств никак не определяется, что есть тождественность элементов, что она означает, какие последствия и применения оно предполагает и допускает, для чего предназначено введение отношения тождественности. Полагая, что элементами некоторых содержательных множеств являются, например, соответственно яблоко и груша, рассматриваемое соответствие будет утверждать тождественность рассматриваемого яблока и рассматриваемой груши. Каждый, кто видел и пробовал эти фрукты, конечно же, не согласится с таким утверждением. Как можно видеть из практики использования тождественности в самой теории множеств, отношение тождественности допускает использование одного из тождественных элементов вместо другого без каких либо условий и/или ограничений. Это означает, что наличие двух элементов становится неоправданным и излишним, и один из этих элементов может быть без ущерба для чего бы то ни было аннулирован. Установление взаимнооднозначного соответствия лишь означает следовательно, что одно из двух сопоставляемых множеств является излишним, и оно может быть устранено из рассмотрения (либо требуется иная, более глубокая, более основательная и содержательная интерпретация отношения тождественности). Отношение взаимнооднозначного соответствия множеств не только не продуктивно, но и контрпродуктивно. Это означает, что отношение взаимнооднозначного соответствия, предлагаемое, допускаемое и используемое теорией множеств в качестве средства обеспечения прагматики теории множеств, является семантически некорректным и поэтому не может считаться приемлемым и допустимым средством обеспечения прагматики множеств. Использование отношения взаим-нооднозначного соответствия множеств не имеет практического смысла.
В теории понятий отношение взаимнооднозначного со-поставления ни в каком виде не используется (и оно никаким образом не может быть введено в теорию понятий средствами теории понятий); некоторым, более сильным и более адекватным аналогом отношения взаимнооднозначного соответствия, на основе которого вся теория понятия и строится, является определяющее отношение. Определяющее отношение устанавливает семантическую иерархию понятий.

1.6.3. Формальные множества
Особо следует сосредоточиться на проблеме унификации элементов множеств. Множество, в соответствии с его формаль-ным, общепринятым определением, есть набор элементов, обла-дающих некоторым общим свойством. К сожалению, сама фор-мулировка (формальное определение) этого свойства не включа-ется в определение множества. Формализм определения множе-ства мог бы быть повышен включением (хотя бы) предиката, от-бирающего элементы во множество, в качестве атрибута опреде-ления.
Пусть некоторое конкретное множество образуют эле-менты, удовлетворяющие некоторому предикату P. Включим этот предикат в определение этого множества. Это дает возможность при пополнении множества некоторым новым элементом произ-водить проверку на удовлетворение элемента этому предикату. При включении предиката в определение множества более со-держательно можно определить операции сложения и пересече-ния множеств. При сложении двух произвольных множеств с предикатами P1 и P2, результирующее множество будет иметь предикат “P1 или P2”; пересечением будет множество с предика-том “P1 и P2”. Построение предиката, допускающего подмножества элементом множества в качестве элемента множества, оказалось бы не простой (а, скорее, невозможной) задачей, что спо-собствовало бы построению более правильной теории множеств.
Для многих применений множеств такая формализация множеств могла бы оказаться более содержательной (если бы не теория понятий, которая осуществляет аналогичную технологию более общим способом); к сожалению, такие множества едва ли могут быть применены для формализации функций из-за того, что предикаты сами являются некоторыми функциями и для их использования в формализациях функций они сами должны быть уже предварительно формализованы.

1.6.4. Множества и отношения
Одним из применений множеств является их использова-ние для представления отношений, но использование множеств в этих целях также не безупречно с семантической точки зрения. При построении сколь-нибудь содержательных теорий с ис-пользованием множеств обычно рассматриваются различного рода отношения элементов этих множеств. Отношения для множеств определяются достаточно произвольным образом: установление отношения не отделено от представления отношения. Подмножество некоторого произведения множеств считается как представлением, так и определением отношения.
Возможность взаимнооднозначных отображений множеств (представляющих отношения) на себя приводит к противоречивой проблеме определения однозначности отношения. Пусть некоторое множество представляет некоторое отношение. Рассмотрим взаимнооднозначное преобразование этого множества на себя. Встает вопрос: это преобразованное множество представляет то же самое отношение или другое? С одной стороны, поскольку это множество поэлементно состоит из тех же самых элементов, что и исходное множество, следует считать, что оно представляет то же самое отношение. С другой стороны, поскольку множество было получено некоторым преобразованием исходного множества, следует, что оно представляет некоторое другое отношение. Определение отношения и представление отношения суть раз-личные понятия и их смешивание может приводить и приводит к семантическим проблемам.
Кроме того, при формализации понятия отношения по-средством множеств, вне рассмотрения остается другой, гораздо более существенный вопрос: а что означает, что некоторые два элемента находятся в некотором отношении? Каковы обстоя-тельства, вызвавшие это отношение? Каковы последствия на-хождения элементов в отношении? И, наконец, что содержательно есть это отношение?

1.6.5. Элементы множеств
В то время как формальному определению понятия мно-жества уделяется некоторое внимание, определение элементов множеств продолжает оставаться на интуитивном уровне. Счи-тается, что множества составлены из некоторого количества эле-ментов; а что есть элемент множества и что может являться эле-ментом множества теория множеств не уточняет;  полагается, что некоторый произвольный набор “однородных” реальных объектов может быть рассмотрен как множество таких элементов, и на этом прикладная проблема определения элементов множества считается закрытой. Поскольку не имеется точного определения, что есть элемент множества, то, как в самой теории множеств, так и при использовании множеств возможны неясности, неточности, некорректности и ошибки. В определении множеств никак не регламентировано, что есть элемент множества, что он может представлять, и может ли, и должен ли он что-либо представлять. Определяя функцию как преобразование элемента “a” в элемент “b” (f:a;b), не определяется, что есть эти элементы. Единственная неформальная спецификация ограничивает элементы тем, что все они должны обладать некоторым общим свойством. Не регламентируя в определении множества спецификацию элементов, допуская, тем самым, в качестве элементов множеств все, что угодно, преследуется цель построения возможно более общего средства. Действительно, если состав и содержание элемента ничем не лимитируется, то создается впечатление предельной общности такого элемента. Эта, казалось бы, предельная всеобщность оборачивается предельной бесполезно-стью такой всеобщности. Дело в том, что если представление, содержание, семантика элемента никак не регламентирована, то тем самым открывается возможность при различных реализациях, использованиях теорий, разработанных на таких элементах, по-лучать относительно подставляемых в теорию объектов самые разнообразные, включая и противоречащие друг другу, результаты и выводы. И это означает, что прикладное значение такой теории – никакое. Тем самым, подстановка в элементы чего-либо теряет всякий смысл. Остается игра в элементы, в собственно элементы, которая может представлять интерес лишь сама по себе и не может иметь и не имеет прикладного интереса, прикладного аспекта.
В конечном счете, эти проблемы обусловлены семантиче-скими проблемами теории множеств. Теория множеств оказыва-ется весьма удачной абстракцией для исследования и использо-вания количественных соотношений; эта абстракция оказалась столь удачной и сильной, что для ее достижения ценой является полная утрата всех прикладных, семантических аспектов. В самой теории множеств никак не рассматриваются прикладные аспекты – нет нужды, нет необходимости; полагается (почти молчаливо), что прикладные аспекты должны обеспечиваться и осуществляться самими приложениями теории множеств. Это несколько спорная (хотя и удобная для теории множеств) точка зрения и она могла бы быть принята, если бы некоторые аспекты приложения теории множеств не требовались бы в самой теории множеств. Так, построение элемента множества, являющегося его некоторым подмножеством, даже для случая конечного множества вызывают некоторые семантические проблемы.

1.6.6. “Бесконечность” множеств
Недостаточность возможностей конечной математики была в свое время в некоторой степени преодолена предложением фикции бесконечности для множеств элементов. Это наиболее простой, налядный и интуитивно привлекательный способ пре-одоления недостаточностей конечной математики, но не единст-венный и не самый ясный и продуктивный. Использование ана-литических понятий вместо бесконечных множеств в определении понятия функции, предлагаемое теорией понятий, представляет более сильный и достаточно адекватный вариант расширения возможностей конечной математики без привлечения не-конструктивных сущностей. Фикция бесконечного множества произвольных (читай, неопределенных) элементов в теории по-нятий замещается концепцией сущности и производных от нее понятий.

Для построений математических функций оказалось не-достаточным использования конечных множеств. Проблема ви-делась в конечности конечных множеств, и естественным реше-нием являлся переход к введению практически неосуществимой фикции бесконечного множества. Появление бесконечных мно-жеств есть следствие неумения обходиться конечными объектами, конечными сущностями. Существование бесконечных объектов в реальном мире не обосновано (и вряд ли может быть обосновано вообще) и, главное, во введении такого понятия нет никакой не-обходимости, без него можно обходиться без утраты продуктив-ности теорий.
В тоже время возможен другой способ преодоления “не-достаточности” конечных объектов. Этот подход состоит в ис-пользовании концепции понятия: фикция понятия, в отличии от фикции бесконечного множества, оказывается практически реа-лизуемой, конструктивной. Традиционное бесконечное множество в значительной мере уже является более понятием, нежели совокупностью элементов. Интуитивно привлекательная концепция множества в теории понятий реализуется понятием сомножества — неограниченного множества значений некоторого (ре-курсивно-замкнутого) понятия. Возможности сомножеств ока-зываются достаточно продуктивными. Сомножества, в отличии от множеств, имеют размерность. В использовании сомножеств вместо множеств можно усматривать переход от количественных характеристик в сторону качественных.

Неопределенность элементов множеств позволяет, в част-ности, предполагать бесконечные (даже различной мощности) множества. Бесконечные множества в интуитивном представлении представляются пределом неограниченного пополнения конечного множества. Понятно, что в конечное время никакой бесконечный процесс завершен быть не может, поэтому бесконечное множество, как некоторый завершенный, реально существующий объект рассматриваться не может. В качестве конструктивного и достаточного аналога фиктивных бесконечных совокупностей можно рассматривать неограниченные множества. Тем не менее, это не означает, что с потенциально бесконечными множествами элементов нельзя оперировать: “бесконечность” множеств можно допускать в предположении умения применения функций к определению множества, к понятию множества. Такая возможность рассматривается и используется теорией понятий. Интуитивные бесконечные множества, по сути, в большей степени и являются понятиями, нежели совокупностями, и теория понятий предлагает понимать и интерпретировать их как понятия (а не как совокупности).

1.6.7. Множества в видофикации данных
Еще одним сомнительным использованием множеств была попытка применения множеств в качестве средства видофикации данных. Такая попытка была предпринята при разработке языка самого высокого уровня (как он тогда был представлен) SETL. В языке программирования SETL (SET Language) для представления вида данных предлагалось использование множеств (в то время, как в некоторых языках множества уже рассматривались в ка-честве одного из возможных видов данных). Для простых типов данных, введенных еще в первых языках программирования, представление и формализация типов с помощью множеств на первый взгляд представляется вполне естественным. По мере развития языков программирования, особенно в части совер-шенствования видового аппарата, моделирование вида с помощью множеств оказывалось не только все менее и менее эффективным и адекватным, но и усугубляло ситуацию и запутывало проблему. Проблемой оказалось конструирование подвидов на основе представления элементов множеств в виде множеств. В целом, попытка моделирования вида понятием множества не оказалась удачной. Неудачной оказалась и судьба языка SETL. Неудача может быть объяснена тем, что в действительности (как будет видно дальше) не множества являются базовыми понятиями для видофикации, а скорее, наоборот, понятие, являющиеся аналогом понятия вида, являются более концептуальным (фундаментальным) понятием для других (включая и понятие множества) понятий.
Кроме организации элементов в виде множеств, возможны и другие способы организации, которые могут оказываться не менее универсальными. Одним из таких способов является “ор-ганизация элементов” в виде понятий. Понятие множества (в от-личие от множества) не требует перечисления элементов. Понятия оказываются более универсальными образованиями данных, нежели множество: понятия включает понятие множества эле-ментов, в то время, как понятие множества произвольных эле-ментов понятие замкнутого понятия не допускает.

1.7. Подходы к построению теории понятий
Многие пути ведут к построению теории понятий. Мы рассмотрим четыре из них несколько подробнее, другие лишь упомянем. Первый подход, наиболее концептуальный, берет свое начало в теории алгоритмов. Второй, более прагматичный, про-истекает из проблем определения и использования аппарата ви-дофикации данных в языках и системах программирования. Тре-тий подход состоит в использовании аксиоматического метода. В четвертом рассматривается построение теории понятий на при-мере критического анализа и уточнения определения алгебраи-ческого гомоморфизма. Теория понятий в значительной мере интегрирует все эти подходы и их методы. Возможно, методоло-гически наиболее прямым является путь через устранение неко-торых неточностей в определении алгебраического гомоморфизма. Это уточнение в теории понятий называется семантическим гомоморфизмом. Этот путь предпочтителен еще и потому, что семантический гомоморфизм используется в теории понятий во многих самых различных аспектах и в том числе в качестве схемы определения применения понятий к понятиям.

1.7.1. Алгоритмический подход к теории понятий
Для рассмотрения использования алгоритмов при решении тех или иных прикладных проблем необходимо рассмотрение и решение проблемы представления данными алгоритма соответ-ствующих прикладных объектов. Это проблема семантической интерпретации данных. Это основная проблема теории семанти-ческих алгоритмов. Семантическая интерпретация данных должна составлять часть формализации алгоритмов. Или наоборот: опре-деление алгоритмов должно основываться на семантике данных.
Неразработанность семантических аспектов формализаций зачастую провоцирует использование неспецифических и не-приемлемых методов семантической интерпретации данных. Так, недооценка проблемы интерпретации данных в теории нормаль-ных алгорифмов приводит к ограничению понятия алгорифма принципом нормализации алгорифмов (аналогом тезиса Черча).
Предельный или абсолютный (если так можно выразиться) формализм (или, точнее, символизм) построения теории нор-мальных алгорифмов не обеспечил семантической корректности и семантической полноты построения теории. Поэтому можно ставить задачу разработки другого, нового, более содержательного и надежного формализма для формализации интуитивного понятия алгоритма. Анализ формализма теории нормальных алгорифмов показывает, что недостатком использованного формализма является абсолютизация символизма и, как следствие, иг-норирование существенности семантических аспектов формали-зации.
При использовании традиционного формализма вне фор-мализации остаются, как уже было сказано, семантические ас-пекты. Традиционные формализмы, по сути, являются лишь сис-темой символьных обозначений (без определения и без обосно-вания отношения обозначения); что означают те или иные обо-значения остается вне формализации и их семантика фиксируется неформальными средствами, как правило, обычными не-формальными описаниями на естественном языке. Эта отстра-ненность семантики от элементов, к которым она относится, провоцирует необязательность ее учета при различных (анали-тических) манипуляциях с формальными элементами. Поэтому представляется актуальной проблема разработки такого форма-лизма, который обеспечивал бы единство данных и семантики этих данных.

Пусть имеется нормальный алгорифм {x;y. На основе этого алгоритма построим “обратный” алгорифм {y;x. Рассмотрим объект, составленный из этих двух алгорифмов ({x;y)&({y;x). Будем (для краткости) этот объект нотировать схемой: x : y. Понятно, что этот объект алгорифмом не является и на первый взгляд вообще не на что не похож. Больше того, любую пару взаимообратных функций, алгоритмов или отношений между сущностями u и v будем нотировать так же. Встает вопрос о оправданности и целесообразности введения в рассмотрение такого объекта. Во всяком случае, не имеется объективных об-стоятельств, которые воспрепятствовали бы его введению и рас-смотрению. Достаточным основанием и оправданем целесооб-разности и необходимости использования объектов такого типа является то обстоятельство, что с его помощью удается построить обобщение нормальных алгорифмов, допускающих семантически корректное, однозначное самоприменение формальных алгоритмов.
Предлагаемый объект точнее всего (на уровне здравого смысла) может быть квалифицирован как определение отношения. В частности, объект ({x;y)&({y;x), как представляется, ут-верждает нечто похожее на отношение эквивалентности сущно-стей “x” и “y”. Таким образом в рассмотрение вводится некий новый объект, называемый отношением или сущностью. Он, в соответствие с построением, может быть представлен парой нормальных алгорифмов, т.е. имеется его определение через нормальные алгорифмы. Но, к сожалению, это разложение не дает ответа на вопрос, что означают (и означают ли что-либо) алгорифмы, на которые раскладывается таким образом отношение. Но это вопрос не к предлагаемому определению отношения, а к алгорифмам, из которых отношение построено и на которые оно разложимо.

1.7.2. Видовой аспект теории понятий
Другой, быть может более прагматичный подход к теории понятий, проистекает из рассмотрения понятия вида (типа) данных в языках программирования. Исторически теория понятий восходит к первым языкам программирования. Проблема опре-деления вида и проблема определения понятий имеют очень много общего и, как выясняется, они представляют собой, по сути, эквивалентные варианты одной и той же проблематики. В качестве основной взята понятийная проблематика, как более общая. Видо-вой подход инициировал понятийные исследования. В работе “Алгоритмический метаязык Алмет” [4] устанавливается равносильность видовых средств языков программирования кон-текстно-свободным грамматикам Н.Хомского. Анализ и иссле-дования видового аппарата языков программирования привели, в конечном счете, к разработке и построению теории понятий, ко-торая оказалась аналогом и обобщением видового аппарата.
Уже начиная с первых языков программирования (навер-ное, начиная с языка Алгол-58) в программировании использу-ется понятие типа данных. В языках программирования типы данных появились из чисто прагматических соображений. В первых языках типы данных были достаточно примитивными, ограничивались простыми типами и использовались исключи-тельно для целей управления памятью: с помощью типов решалась проблема распределения памяти при трансляции алгоритмов в коды конкретной вычислительной машины и задача управления памятью в процессе исполнения алгоритмов. По мере развития языков программирования понятие типа данных развивалось прежде всего. Наибольшего развития традиционный видовой ап-парат получил в языке Algol-68. Начиная с языка Algol-68 типы стали именоваться видами. В этом языке появился такой, доста-точно сложный вид данных, как процедурный вид. Достаточно строгое определение получили такие, уже используемые к тому времени в языках программирования виды данных, как структуры, объединенные виды, ссылочные данные. После языка Algol-68 видофикация данных получила новое направление развития, которое почти полностью определило последующее развитие ап-парата видов и программирования в целом. В языках стали раз-виваться так называемые абстрактные типы данных. Совершен-ствование видов данных завершилось появлением объектно-ориентированных видов и объектного программирования, основу которого составляет видовая операция, получившая название на-следования.

Практический интерес к теории видов данных вызван потребностью в совершенствовании языков программирования. Даже в таком, достаточно строго определенном языке как Algol-68, не все видовые определения можно было считать безупреч-ными. Так не представляется правильным определение объеди-ненного вида: определение объединенного вида не учитывает структуру объединяемых компонент. Попытка видофикации ус-ловных выражений оказалась не слишком успешной для практи-чески приемлемого использования. Совершенствование языков программирования в части видофикации данных требовало более полного и глубокого понимания сути, предназначения и методов определения видофикации.
Уже с самого начала, с первых алгоритмических языков видовой аппарат вызывал пристальное внимание специалистов. Прежде всего, интриговали необычность и уникальность видового аппарата: понятие типа (вида) не имеет аналогов в других мате-матических и информационных дисциплинах. Во всяком случае, в определении языков программирования не предлагается хоть ка-кой-либо концепции и объяснения предназначения введения видового аппарата в язык (кроме как для управления помятью). Основной задачей исследований было понять и объяснить, что представляет собой видовой аппарат, в чем состоит его уникаль-ность, каково предназначение видового аппарата и каков механизм его функционирования
Виды данных не являются обязательным, неотделимым атрибутом собственно вычислений. Известно, что, несмотря на использование видового аппарата при программировании задач, для исполнения алгоритмов решения этих задач видовые атрибуты уже не требуются. Эта необязательность аппарата видофикации данных для непосредственного исполнения программ определяли в свое время определенные трудности и неприятия становления видового аппарата и его внедрения в практику программирования. Даже теперь еще во многих языковых разработках не используется и оспаривается видовой подход к данным.
Для уяснения роли и функции видофикации в языках программирования было предпринято (в свое время) сравнение безвидового алгоритмического языка с языком, включающим не-которые минимальные видовые средства. В качестве безвидового языка использовались нормальные алгорифмы А.А. Маркова [1]. Для сравнения использовались модифицированные (добавлением минимального видового средства) нормальные алгорифмы. Об-наружилось, что нормальные алгорифмы, даже в минимальной степени модифицированные видовыми средствами, оказываются непредставимыми в виде (немодифицированных) нормальных алгорифмов. Это означает, что видофикация является не просто техническим, вспомогательным средством, а имеет концептуаль-ный характер.

1.7.3. Логико-аксиоматический аспект
Логико-аксиоматический подход к проблематике понятий скорее выявляет и ставит семантические задачи, нежели их ре-шает. Математическая логика представляет некоторый механизм формализованного вывода утверждений из системы аксиом. Но как при построении механизмов вывода, так и при формулиро-вании аксиом используется значительное количество различных понятий на основе интуитивной семантики, которые формули-руются на интуитивном уровне. Правила логического вывода яв-ляются, по сути, функциями (алгоритмами), которые применяются к логическим утверждениям. Применение алгоритмов к различным формализмам, существенной чертой которых является семантика, является, как это видно из построения теории понятий, весьма не простой задачей, которая в логико-аксиматических методах остается не исследованной.

Об аксиоматичности самой теории понятий можно говорить в двух аспектах. Прежде всего, теория понятий сама построена на аксиоматических принципах. Более того, теория понятий уточняет и развивает аксиоматический подход, концепцию аксиоматизации. В некоторых аспектах теория понятий является более, чем аксиоматической теорией, поскольку теория понятий включает и исходные аксиомы теории понятий и методы построения новых понятий.
С другой стороны, системы прикладных понятий, разра-батываемые в рамках общей теории понятий, автоматически яв-ляются аксиоматическими. Построение концептуальных понятий, как развитие и обобщение некоторых других понятий, можно трактовать как реализацию принципа аксиоматичности построения понятий. Действительно, поскольку производное понятие в теории понятий является семантически корректным преобразованием (обобщением) некоторого другого понятия, оно, тем самым, реализует основные положения, которые обычно ассоциируются с принципом аксиоматичности. Теорию понятий, как и теории прикладных понятий, разрабатываемые на основе и в соответствие с теорией понятий, можно и следует считать аксиоматическими теориями.
Больше того, теория понятий базируется на некоторых аксиоматических утверждениях, характерной особенностью ко-торых является то, что они сами удовлетворяют себе, и, таким образом, теория понятий является рекурсивно-замкнутой ак-сиоматической теорией.

1.7.4. Прагматический подход к теории понятий
И, наконец, можно упомянуть о прагматическом подходе к построению теории понятий. В конкретных прикладных областях система (интуитивных) понятий этих областей отработана и про-верена, и, в том числе, и практикой их использования; система понятий в прикладных областях очень консервативна и устойчива. В этой связи также можно заметить, что разработка и построение прикладных понятий представляет собой достаточно самостоя-тельную, обособленную и не простую проблему, от решения ко-торой во многом зависит построение самой прикладной теории. При построении конкретных прикладных понятий для исследова-теля в первую очередь, естественно, представляет интерес содер-жательная сторона понятий. В то же время, понятийный аппарат представляет собой достаточно самостоятельный и достаточно сложный механизм формализации, имеющий собственные спе-цифические закономерности и правила построения, которые должны быть обеспечены и выполнены независимо от проблемной специфики области использования понятия. Примером может служить многотрудная и драматичная проблема определения по-нятия множества. Понятия в первую очередь являются объектом теории понятий, и лишь потом компонентой прикладной теории. Все сказанное можно в полной мере относить и к самой теории понятий. Поэтому при ее разработке целесообразнее всего ис-пользование ее же собственных методов и ее собственных тех-нологий. Каких-то особых и чрезмерно сложных понятийных проблем в прикладных дисциплинах, как правило, не возникает.

1.4.3. Проблема понятийного языка и терминологии
Теория понятий затрагивает терминологические и лин-гвистические вопросы. Во многих (если не во всех) дисциплинах проблема нотации, проблема соответствующего формального языка решается достаточно произвольным образом. В теории понятий для нотации понятий оказывается возможным использование собственной понятийной категории – понятийных определяющих отношений. Для лингвистического представления понятийных определяющих отношений требуется разработка и использование специальной, адекватной для этого нотации. Система нотации должна составлять основу понятийного языка. Ближайшим аналогом понятийной нотации является нотация видовых определений языков программирования и, что то же самое, кон-текстно-свободные грамматики. Некоторый вариант такой но-тации используется для нотации понятий.
Для использования теории понятий, кроме нотации понятий требуется некоторый технологический механизм, представляющий процесс работы с понятиями. В качестве такого средства естественнее всего может быть рассмотрен некоторый понятий-ный язык. Кроме понятийного языка работа с понятиями может обеспечиваться специальными компьютерными системами. За-чатки понятийного языка можно усматривать в алгоритмических языках и в большей степени в языках программирования. Объ-ектно-ориентрованные языки программирования обладают свойствами понятийного языка в наибольшей степени. Отличи-тельной чертой понятийного языка является его способность обеспечивать основополагающую черту использования понятий – возможность регламентированного преобразования собственных понятий при построении новых понятий. Понятийный язык яв-ляется языком программирования. Предлагаемый в теории поня-тий язык программирования Aleph в основном удовлетворяет требованиям понятийного языка.
С проблемой понятийного языка тесно связан вопрос описания теории понятий. Одной из особенностей описания теории понятий является то, что в описании (по необходимости) используются понятия и термины естественного языка в их тра-диционном (неформальном) смысле; по мере построения и опи-сания элементов теории понятий многие из этих понятий получают формальные определения не в противоречие (как кажется) с их традиционным смыслом.
Еще одно замечание следует сделать по поводу использо-вания терминологии: естественный язык не очень приспособлен для работы с формальными понятиями по правилам и в соответ-ствии с нормами, определяемыми теорией понятий; поэтому в описании теории понятий могут встречаться и встречаются ут-верждения, которые не в полной мере соответствуют нормам ес-тественного языка в силу самой природы используемых понятий и технологии работы с понятиями.
В соответствие с тем, что одни понятия могут являться обобщением других понятий, необходимо, чтобы используемая для обозначения этих понятий терминология отражала собой факт обобщения. В частности, поскольку новое понятие становится обобщением прежнего понятия, то, наверное, естественно допускать использование названия нового понятия в качестве обобщенного названия как для вновь образованного понятия, так и для прежнего понятия.
Это замечание применимо не только к прикладным поня-тиям, но и к понятиям самой теории понятий, что естественно, поскольку и сама теория понятий строится в соответствие с пра-вилами построения понятий. В частности, термин понятие, на-пример, является наиболее общим термином теории понятий, и он может использоваться и используется для называния любых, как прикладных, так и собственных понятий теории понятий. В этой связи можно отметить, что естественные языки, как пред-ставляется, не очень приспособлены (или пока плохо приспособ-лены) для отражения этой особенности понятий. В этой связи заметим, что при изложении теории понятий приходится неод-нократно использовать глаголы считаться и являться. Не вдаваясь глубоко в смысл этих глаголов, заметим, что считается, что они находятся в отношении являться : считаться, где отношение <:> является отношением, определяемым в теории понятий.





2. Определения
Несмотря на широкое использование определений как в математике, так и, практически, во всех других дисциплинах, оп-ределение самого определения остается достаточно неопреде-ленным, а, точнее, его просто нет. Для продуктивного использо-вания аппарата определений в формальных теориях (и особенно в автоматизированных системах поддержки мышления) необходимо его формальное и адекватное определение. Теория понятий предлагает и использует формальное определение определения. Формализация определений является фундаментальной и кон-цептуальной технологической основой теории понятий; теория понятий строится в основном с помощью определений и во многом представляет технологию работы с определениями. Аппарат формальных определений позволяет определить, что есть утвер-ждение, теорема, доказательство, аксиома, постулат, теория и др.

2.1. Структура формальных определений
Прежде, чем давать определение (понятия и вообще чего-либо), необходимо определиться с тем, что есть само определение. Необходимо также выяснить: что значит, что некоторая сущность определяется определением и что означает, что некоторая сущ-ность удовлетворяет определению. Следует также заметить, что определения не создают, не строят конкретных экземпляров оп-ределяемых объектов и/или сущностей.
Для прикладных, утилитарных дисциплин проблемы оп-ределения определений, как правило, не возникает: определения прикладных дисциплин находятся достаточно близко к их реаль-ным аналогам, и прикладные определения являются практически их изоморфными образами. Понятия теории, определяющей тех-нологию работы с определениями, оказываются достаточно абст-рактными. В теории понятий определение определения оказыва-ется, естественно, основополагающей концепцией: что есть и чем является объект, который предлагается в качестве определения?
Во всяком случае, определение не есть договоренность о чем-либо. Многие, даже математические определения, являются не более чем договоренностями, соглашениями или переназыва-ниями! Договоренность определением не является, но может оп-ределением считаться. Определения в теории понятий догово-ренностями не являются. Определение, как представляется, должно обеспечивать как процедуру построения конкретных эк-земпляров определяемых сущностей, так и процедуру квалифи-кации соответствующего объекта в качестве определяемой опре-делением сущности. Вместе с тем, определение, вообще говоря, не дает алгоритма построения определяемой сущности.

Прежде всего, естественно сформулировать некоторые аспекты и следствия исходной основополагающей концепции определений. И здесь необходимо заметить, что теория понятий, в отличие от общепринятой практики прикладных определений, осуществляющих определения новых понятий на основе уже предварительно определенных сущностей, допускает определения и на основе сущностей, определяемых самим рассматриваемым определением (так называемые рекурсивно-замкнутыеые опре-деления), и, даже, вплоть до ситуации, когда разложение некото-рой сущности на составляющие является определением этой сущности. Это несколько необычное замечание является утвер-ждением теории понятий, которое теорией понятий обосновыва-ется и доказывается; это одна из особенностей понятийных оп-ределений. Такой, несколько нетрадиционный подход к опреде-лениям следует из основополагающей концепции определения.
Естественно полагать, что определение, во всяком случае, должно что-то определять; определяемая сущность, естественно, должна определению удовлетворять. Сущность, определяемая определением, считается определяемой сущностью; определяемая сущность естественно должна определением допускаться. Отно-шение, имеющее место быть между собственно определением и определяемой им сущностью, является (и считается, и называется) определяющим отношением. Определяющее отношение является единственным основополагающим отношением.
Следствие основной концепции определений теории по-нятий заключается в том, что «нечто» полагается определенным, если это «нечто» действительно реально построено, образовано. Теория понятий предполагает возможность преобразование оп-ределения в алгоритм построения определяемой сущности. При-мером непродуктивного определения может служить известный парадокс Б. Рассела о “брадобрее” [2]: определение “несамопри-менимого брадобрея” непродуктивно – такого брадобрея не су-ществует; аналог этого парадокса использован в [1] для обосно-вания “существования несуществующих” алгорифмов (в форму-лировке: “Невозможен нормальный алгорифм в А, применимый к тем и только тем записям нормальных алгорифмов в А, которые являются записями несамоприменимых алгорифмов”). Парадокс Б. Рассела о “брадобрее” является вариантом более старого па-радокса, известного как парадокс лжеца: некто заявляет, что он лжец; является ли он действительно лжецом? Заметим к слову, что этот парадокс не дотягивает до статуса парадокса, а скорее является всего лишь логическим фокусом. Действительно, если некто на самом деле лжец, и решает высказаться на эту тему (а выбор темы не является обсуждаемым вопросом, он обусловлен сутью проблемы), то по заявленной (в самом высказывании) теме он имеет право только сказать, что он не лжец (ибо в противном случае он будет говорить правду); если же он на самом деле не лжец, то он также имеет право сказать только, что он не лжец. Таким образом, по заявленной в высказывании теме в любом случае он должен сказать, что он не лжец. Однако, если он в действительности утверждает, что он лжец, то это означает, что он кто угодно (хитрец, мошенник, фокусник, жулик, и т.д.), но только его высказывание к вопросу о его правдивости не имеет никакого отношения, и его высказывание действительно скорее является мошенничеством, нежели ложью. Логический фокус лжеца основан на неправомерной подмене понятий.

Сущность, полученная в соответствии с некоторым опре-делением, имеет силу, осмыслена только в рамках этого опреде-ления, т.е. определение необходимо не только (и может быть даже не столько) для ее построения, но и для ее использования. И, как следствие, поскольку определяемая сущность полностью оп-ределяется своим определением, то применение различных пре-образований к этой сущности может осуществляться исключи-тельно через посредство их применения к определению этой сущности. Кроме того, что определение, естественно, должно что-то определять, столь же естественно считать, что определение этого «нечто» определяет его полностью, т.е. определение не только определяет это «нечто», но и определяет способы (алго-ритмы) построения конкретных экземпляров определяемого объекта, способы квалификации объектов в качестве этого «нечто» и т.д. Одним словом, определение должно определять всю теорию определяемой сущности; говоря точнее, теория определяемой сущности не должна противоречить определению этой сущности.

Наряду с определением определения, необходимо опре-делиться и с тем, что есть определяемая сущность определения и что означает, что некоторая сущность удовлетворяет определению. И если для произвольного вида определений требуемые оп-ределения сформулировать затруднительно, то для одного, доста-точно универсального вида определений, ответ на этот вопрос может быть дан (при рассмотрении конкретизации понятий), а до тех пор в настоящей работе будет использоваться в обычном, неформальном смысле, который, естественно, не будет противо-речить его формальному уточнению.
Определение определения. Любая сущность, обеспечивающая существование некоторой другой (определяемой) сущности, является определением.
Признавая, что определения действительно, на самом деле “что-то” определяют, будем отделять непосредственно опреде-ление (как некий механизм, аппарат, средство) от того, что это определение определяет; будем эти две отделенные друг от друга сущности сопоставлять. Такое сопоставление было названо оп-ределяющим отношением. Как устроено собственно определение в «общем случае» (и есть ли вообще такой «общий случай»?) - неизвестно; а вот что определяющее отношение, построенное на основе некоторого начального определения, является новым оп-ределением, можно утверждать. Какое бы исходное определение ни было, оно может быть использовано для построения после-дующих производных определений.

Замечание. Заметим, что здесь уже просматривается не-кий дуализм определений: определение, являясь некоей сущно-стью, вводит в рассмотрение еще одну, новую сущность; дуализм проявляется уже на уровне названия рассматриваемого опреде-ления: определение определения. Дуализм определений является той концептуальной основой, которая при ее развитии обеспе-чивает “массовость” применений определений, алгоритмов, функций и т.д. В конечном счете, эта двойственность обеспечивает дуализм определяющего отношения, сопоставляющего объекты реального мира сущностям виртуального мира понятий и сущности виртуального мира объектам реального мира и исклю-чающего сводимость одного сопоставления к другому.

Теорема. Определение определения действительно явля-ется определением.
Доказательство. Поскольку, как можно видеть, текст оп-ределения действительно нечто определяет: а именно то, что есть определение (т.е. то, что  может рассматриваться в качестве оп-ределяемой сущности), он является определением и, следова-тельно, определение определения действительно является опре-делением в соответствии с собственным определением.
Таким образом, на основе этой теоремы можно утверждать, что определение определения является не аксиомой или постулатом, а именно определением.
Тезис. Если не соглашаться с тем, что определение и, в частности, определение определения, действительно нечто опре-деляют, то, вряд ли вообще что-либо может быть определено.
Замечание 1. Не всякое “определение” действительно что-либо определяет; примером непродуктивного определения может служить определение “несамоприменимого брадобрея” Рассела [2].
Замечание 2. В теории понятий показано, что для определений возможны преобразования, результатом которых являются новые определения, которые, в свою очередь, будут определять и новые определяемые сущности.


2.1.1. Некоторые конкретные определения
Самым первым, начальным (инициальным) определением в иерархии наследуемых определений является определение ини-циальной сущности. Наследуемость определений предполагает, что преобразования определений таковы, что в результирующем определении полностью “содержится” (в некотором виде) преоб-разуемое понятие. Инициальная сущность, определяемая опреде-лением инициальной сущности, как правило, на практике является не более чем лингвистическим объектом, ее представляющим.
При построении определений будем стараться придержи-ваться терминологии: вводимые (определяемые тем самым) ини-циальные сущности будем именовать сущностями; определения, построенные с использованием инициальных сущностей, будем именовать объектами и/или понятиями; и термин понятие обоб-щает (и включает) термин сущность.
Определение инициальной сущности. Некоторая виртуальная (воображаемая, искусственная, никак неопределенная) или иная (например, некоторая специальная разновидность понятия, которая будет определена дальше), ни с чем не ассоциируемая сущность, допускающая применение к себе действий, считается инициальной сущностью.
Считается, что инициальная сущность сама определяет себя. Инициальная сущность считается сущностью. Существенно для обеспечения прагматики определений, что реальные объекты и явления могут выступать в роли инициальной сущности.
Определение аппликации. Инициальная сущность с указанным для нее конкретным действием (именуемого далее методом) такого, что его взаимодействие с инициальной сущ-ностью имеет эффектом некоторую сущность (называемую эффектом взаимодействия), считается аппликацией сущностей; вместе с тем, это означает, что эффект взаимодействия сущностей разложим на взаимодествующие сущности.
Метод, упомянутый в определении аппликации, определяет (описывает) суть преобразования инициальной сущности; взаимодействие есть некое универсальное действие, осуществ-ляющее применение указываемого метода к инициальной сущ-ности, приводящее к получению эффекта; для получения эффекта не привлекается ничего, кроме этих взаимодействующих сущно-стей, т.е. результат всецело определяется их взаимодействием.
Определение аппликации отличается от определения инициальной сущности тем, что в определении инициальной сущности лишь допускается применение действий, а в определе-нии аппликации возможное действие указывается.
Определение индуктивного определения. Эффект взаимодействия сущностей, соотнесенный с некоторой сущностью, считается индуктивным определением.
Индуктивное определение ещё недостаточно для роли приемлемого определения и требуется его развитие и усиление. Усовершенствование индуктивного определения заключается в его пополнении концепцией квалификации некоторой сущности в качестве эффекта взаимодействия двух сущностей, что предпо-лагает её разложимость на эти две сущности, взаимодействие которых (в соответствии с индуктивным определением) и соот-носит рассматриваемую сущность с эффектом этого взаимодей-ствия. Это усовершенствование дополняет концепцию построения, содержащуюся в индуктивном определении, концепцией анализа (разложимости).
Определение дедуктивного определения. Индуктивное определение,  которое рассматривается и как схема разложения некоторой сущности на пару сущностей, эффект взаимодействия которых сопоставляется этой исходной сущности, является де-дуктивным определением.
По сути, дедуктивное определение, в дополнение к ин-дуктивному определению, определяющему «процесс построения», дополняется квалификацией произвольной сущности в качестве эффекта взаимодействия: сущность может быть квалифицирована как эффект взаимодействия, если можно предположить некоторые две другие сущности, одна из которых является действием (методом), и таких, что их взаимодействие дает эффект, соотне-сенный с исходной сущностью.
Из построения дедуктивного определения видно, что оно не произвольная “выдумка”, а некоторое определение, построенное из некоторых предварительных определений по некоторым правилам пребразования определений, которые имеются в теории понятий.
Далее под определениями будут иметься в виду дедуктив-ные определения и/или их усиления; точнее, дедуктивные опре-деления будут считаться частным случаем определений.
Замечание 1. Поскольку дедуктивное определение развивает и наследует индуктивное определение, индуктивные определения, как правило, не будут использоваться.
Замечание 2. Все приведенные определения (определение инициальной сущности, определение аппликации, определение индуктивного определения, определение дедуктивного определе-ния, равно как и все последующие определения, из них получае-мые) действительно являются определениями, т.е. они все имеют некоторые, определяемые ими сущности, что следует из опреде-ления определяемой сущности.
2.1.2. Определяемые сущности
Считается, что определения должны нечто определять. С другой стороны, можно говорить о том, что некоторые сущности удовлетворяют определенному определению. Ответы на эти во-просы дает
Определение определяемой сущности. Определяемая сущность некоторого определения это сущность, которая способна с ним взаимодействовать так, что в результате этого взаи-модействия появляется некоторое (новое) дедуктивное определе-ние.
Определение определяемой сущности одновременно яв-ляется и определением того, что означает, что некоторая сущность удовлетворяет некоторому определению: сущность удовлетворяет определению, если она является определяемой сущностью этого определения, т.е. если она допускается определением.
Теорема. Определение определяемой сущности является определяемой сущностью определения определяемой сущности.
Теорема. Определение определяемой сущности удовле-творяет определению определяемой сущности.
Доказательство. Действительно, поскольку в определении определяемой сущности предполагается взаимодействие опреде-ления с некоторой сущностью, и оно может быть, в частности, осуществлено посредством рассмотрения самого определения в качестве упомянутой в определении сущности (т.е. считая эффект подстановки определения в определение эффектом взаимодействия сущностей), то это будет означать, что определение удовлетворяет определению определяемой сущности и, следовательно, оно является определяемой сущностью.
Это доказательство дано, естественно, на содержательном, неформальном уровне; формальное доказательство может быть дано после определения достаточного формального аппарата теории понятий и, в частности, после определения механизма взаимодействия сущностей.
Отношение, существующее между определением и опре-деляемой им сущностью, считается, является и называется опре-деляющим отношением.

2.1.3. Некоторые свойства и особенности определе-ний
Индуктивные определения определяют новые понятия на основе известных сущностей или понятий.
Определение определяемой сущности одновременно яв-ляется определением понятия этой сущности. Сущности, которые определяются определениями, в теории понятий считаются и на-зываются понятиями. В теории понятий определяются также действия (методы), допустимые для понятий, точнее, для их оп-ределений: критерий допустимости методов для понятий опять же выводится из основной концепции определений. Несмотря на то, что введенные в разделе определения являются первыми про-стейшими понятиями теории понятий, они обладают интересными, иногда парадоксальными свойствами. Здесь мы всего лишь упомянем некоторые из них. Так, понятно, что определение ка-кой-либо сущности определяет все допустимые этим определе-нием сущности и в то же время определение не определяет (в смысле, не строит) ни одного конкретного экземпляра опреде-ляемого объекта (в теории понятий устанавливается отношение понятия сущности и объекта). Определение какого-либо объекта определяет не множество (имея в виду как актуально, так и по-тенциально бесконечные множества) объектов, а определяет все объекты. Определение какого-либо объекта не есть алгоритм построения определяемого объекта; определение какого-либо объекта не есть алгоритм квалификации некоторого объекта в качестве определяемого объекта.

2.1.4. Нотация определений
Нотация определений представляет собой исключительно важный аспект теории понятий: нотация осуществляет актуали-зацию понятий через посредство актуализации их определений. Дело в том, что преобразования понятий в теории понятий осу-ществляется через посредство преобразования их определений и поэтому адекватная нотация определений существенна. Именно преобразование определения некоторой сущности вырабатывает новую сущность как эффект этого преобразования. Традиционные определения даются, как правило, на естественном языке; но естественный язык не является таким уж естественным для ис-кусственного интеллекта; кроме того, естественный язык, есте-ственно, содержит множество неоднозначностей, двусмысленно-стей и неточностей. Теория понятий  допускает применение преобразований к определениям теории понятий, и выполнение таких преобразований для определений, сформулированных на естественном языке, представляет дополнительные, не обуслов-ленные спецификой проблемы трудности. Кроме того, в естест-венных языках формулирование некоторых отношений, харак-терных для определения понятий и сущностей, составляют опре-деленные лингвистические трудности.
Нотация в теории понятий выполняет отнюдь не вспомо-гательную роль документирования, а является средством, способом конструирования, формулирования и представления определений. Теория понятий предлагает некоторую канонизированную систему обозначений для представления определений, называемую но-тацией определений.
Нотация дедуктивного определения представляет собой аутентичную запись (перевод) имеющегося (на естественном языке) определения дедуктивного определения в виде опреде-ленного набора специальных символов, т.е. в виде некоторых лингвистических схем. Нотация дедуктивного определения, есте-ственно, включает в себе нотацию и инициальной сущности, и нотацию аппликации, и нотацию индуктивного определения, т.е. нотация дедуктивного определения наследует нотацию всех пре-дыдущих определений.
Пусть v есть некоторая «произвольная виртуальная сущ-ность», допускающая применение к себе действий, т.е. иници-альная сущность; пусть f есть некоторая сущность, которая может взаимодействовать с сущностью v. Такая совокупность сущностей изображается конструкцией f[v], которая представляет указанное взаимодействие сущностей и называется аппликацией. Сущность, сопоставляемая эффекту этого взаимодействия, изображается нотацией этой сущности u. В отличие от эффекта взаимодействия сущностей f и v, которая может быть обозначена как f(v), аппликация этих сущностей f[v] представляет всего лишь упорядоченную пару взаимодействующих сущностей {f,v}. Взаимосвязь аппликации f[v] и сущности u, сопоставляемой эффекту применения действия f к аргументу v, сформулированная в дедуктивном определении, изображается схемой u : f[v], где символ “:“ представляет совмещение значения глагола “являться” из дедуктивного определения со значением глагола “считаться” из индуктивного определения. В естественном языке смысл символа “:” точнее всего передается местоимением “это”. Нотация опреде-ляющего отношения, как обобщения дедуктивного определения, естественно нотируется с использованием того же символа от-ношения “:”. Для различных конкретных разновидностей опре-делений их нотация будет пополнять (или конкретизировать) введенную нотацию дедуктивного определения.

2.1.4.1. Нотация определения дедуктивного определения
В соответствии с нотацией определений нотация дедук-тивного определения может быть представлена схемой:
((u:f[ ]) : ((u):f[ ])) [v],
где свободные позиции в квадратных скобках замещаются аргу-ментом “v” при осуществлении взаимодействия метода((u:f[ ]) : ((u):f[ ])), и аргумента [v].
.

3. Сущности
Сущности это начальные, простейшие объекты теории понятий. Теперь, имея аппарат дедуктивных определений, опре-деление понятия сущности и определения некоторых конкретных сущностей могут быть даны с его использованием более фор-мально и более содержательно и точно. Следует заметить, что само дедуктивное определение после формального определения сущностей и рассмотрения свойств сущностей может быть рас-смотрено и сформулировано более детально и основательно.

3.1. Концепция сущности
Определение, в котором “сущность” является определяемой сущностью, является определением сущности. Определение сущности является дедуктивным определением (точнее, частным случаем или, еще точнее, некоторой конкретизацией дедуктивного определения); определение сущности – это утверждение того, что взаимодействие сущностей и есть сущность (суть сущности). Инициальной сущностью для построения более содержательных сущностей является “неопределенная сущность”. Естественно, по-скольку она полагается неопределенной, никакого ее определения дано быть не может. Определение сущности допускает различные взаимодействия сущностей и, в частности, допустимо такое взаимодействие неопределенной сущности с некоторой другой сущностью, в результате которого неопределенная сущность становится более определенной.

3.2. Определение сущности
Определение сущности, поскольку оно является опреде-лением, должно определять не только сами сущности, но и пре-допределять всю теорию сущностей, и, в частности, способы по-строения сущностей и способы квалификации объектов в качестве сущностей.
Поскольку в определении сущности (равно как и в дедук-тивном определении) существенную роль играет взаимодействие сущностей, то предварительно необходимо сформулировать, что считается их взаимодействием.
Взаимодействие (двух сущностей u и v) - это такое де-дуктивное определение (утверждение), которое определяет, что эффект u(v) взаимодействия некоторой сущности u и (возможно неопределенной) сущности v, называемый эффектом взаимодей-ствия, находится с ними (т.е. с сущностями u и v) в отношении, представляемым дедуктивным определением
u(v) : u[v].
Метод в этом дедуктивном определении взаимодействия представляется сущностью.
Замечание. Дедуктивное определение взаимодействия, в котором “эффект” взаимодействия двух сущностей неотличим от самих взаимодействующих сущностей, взаимодействием не счи-тается и, следовательно, взаимодействием не является.

Определение сущности. Совокупность двух составляющих некоторого объекта (различаемых, скажем, как метод и его аргумент) одна из которых (скажем, метод) считается (или даже является) сущностью, взаимодействие которых образует исходный (вышеупомянутый) объект, является сущностью.
Определение сущности действительно можно считать оп-ределением, поскольку оно обеспечивает появление некоторой новой сущности (и называемой сущностью), которая определением и определяется.
Инициальная сущность. В определении сущности одна из составляющих считается сущностью, о другой составляющей ничего не говорится. Она будет предполагаться инициальной (не-определенной) сущностью. Инициальная сущность допускает свою конкретизацию другой (являющейся или считающейся) сущно-стью; определение сущности не исключает возможности и аргументной составляющей быть (т.е. считаться и являться) сущ-ностью; во всяком случае инициальная сущность считается сущ-ностью.

Построение сущности. Определение сущности, вообще говоря, не является способом (алгоритмом) построения сущности (как и любые определения, оно не строит определяемый объект), что допускает и предполагает, тем самым, возможность исполь-зования различных подходящих для этого способов. В теории понятий, в качестве одного из возможных (и, возможно, единст-венным)  способом построения сущностей, предлагается исполь-зование отношения обобщения-конкретизации; это отношение, также, является отношением определения. Построение отношения и является построением сущности. Построение определения конкретной сущности можно рассматривать как применение к неопределенным (инициальным) сущностям операции (метода) взаимодействия сущностей, в результате чего одна из взаимо-действующих сущностей становится более “определенной”; опе-рация (метод) взаимодействия сущностей является некоторой конкретизацией взаимодействия.


Определение утверждения. Отношение двух неопреде-ленных сущностей u и v, считающееся определением сущности u через посредство обобщения сущности v и/или конкретизацией сущности u посредством сущности v, представляемое схемой u:v, образует утверждение.
Отношение u:v будем называть (а после необходимого доказательства и считать) утверждением, понимая под этим, что оно утверждает инициальную (до этого определяющего утвер-ждения) сущность u в качестве обобщения (продолжающей ос-таваться инициальной) сущности v и сущность v в качестве кон-кретизации сущности u. Поскольку обе сущности, участвующие в построении определяющего отношения изначально являются инициальными (т.е. неопределенными и “свободными”) сущно-стями, то поэтому определяющее отношение не может быть не-допустимым, несуществующим и непонятным.

Теорема. Утверждение u:v, где u и v – некоторые исходно неопределенные сущности, и упорядоченная совокупность {u,v} этих сущностей считается сущностью, является сущностью.
Доказательство. В соответствии с определением сущности утверждение u:v можно рассматривать как совокупность двух компонент: компоненты <:> и компоненты <u v>. Если вторую компоненту считать сущностью, а первую считать методом, ко-торый может взаимодействовать со второй компонентой с обра-зованием исходного объекта в качестве эффекта этого взаимо-действия, то этот исходный объект (в соответствии с определением сущности) будет являться сущностью.
Теорема. Утверждение u:v, где u считается обобщением v и v является конкретизацией u – является сущностью.
Доказательство. Это утверждение действительно является сущностью, поскольку оно дословно повторяет определение (и, тем самым, безусловно удовлетворяет определению) сущности.

Теорема. Утверждение “сущность : определение сущности” является сущностью.
Доказательство. Действительно, это утверждение, по сути, является утверждением того, что определение сущности дейст-вительно определяет сущность, т.е. повторяет определение сущ-ности в формализованном виде.
Более детально (с привлечением формального определения взаимодействия) утверждение данной теоремы можно представить схемой:
сущность : (u(v) : u[v]).
Следствие. Определение сущности это такая сущность, что ее взаимодействие с “инициальной сущностью” дает эффектом сущность.

Теорема. Для любой (определенной, неопределенной или, даже, для физической, реальной) сущности v допустимо утвер-ждение u:v.
Доказательство. Действительно, поскольку не имеется оснований, исключающих возможность считать v некоторой неоп-ределенной инициальной сущностью (что обеспечивается её ин-капсуляцией, неуказанием какой-либо внутренней структуры этой сущности), то u:v – сущность.

Любое взаимодействие сущностей образует не более чем сущность; сущности, которая была бы общее сущности – нет.
Теорема (единственности). Пусть u; v – сущность; тогда <:> : ; - т.е. ; частный случай отношения <:>.
Доказательство. Доказательство будет очевидно после уточнения семантики отношения обобщения\конкретизации.
Следствие. Сущность является “своим частным случаем“.
Следствие. Сущность является “максимальной сущно-стью”.
Следствие. Утверждение является столь общим отноше-нием, что его обобщения невозможно.
Следствие. <:>:[<:>,<any>] – сущность, ибо раскладыва-ется на {<:>, <any>} естественным образом.
Следствие. <:> – мета-отношение.

Определение понятия взаимодействия. Сущность, ко-торая может считаться (в соответствие с определением сущности) эффектом взаимодействия, является взаимодействием.
Сущность, для которой определено ее применение к сущности, считается взаимодействием.

Теорема. Взаимодействие, определяемое дедуктивным оп-ределением u(v) : u[v]  двух сущностей u и v, является сущностью.
Доказательство. Действительно, полагая (u:v) : (u(v) : u[v]), получаем сущность в качестве эффекта взаимодействия.
Следствие. Понятие взаимодействия является сущностью.

Взаимодействие сущностей в теории понятий может осу-ществляться различными способами: применением одной сущности к другой, конкретизацией и обобщением сущностей, сложением и умножением сущностей и т.д. Интересно, что взаимодействие само может выступать в качестве сущности, т.е. в качестве понятия взаимодействия. Кроме того, определение сущности обеспечивает еще и суперпозицию сущностей: именно на основе определения сущности появляется возможность рассмотрения суперпозиций сущностей.
Теорема. Если u и v сущности, то аппликация u[v] будет удовлетворять определению сущности и, тем самым, являться сущностью.
Доказательство. Действительно, аппликация состоит из двух взаимодействующих сущностей и, следовательно, если ап-пликация u[v] имеет эффект (который обобщает аппликацию), то она является сущностью.
Таким образом, как представляется, определение сущности может быть обобщено путем предположения, что взаимодей-ствующие компоненты могут образовывать не только исходный объект, но даже и некоторое его обобщение. Но поскольку имеет место утверждение (сущность : сущность) (т.е., что любое обоб-щение сущности является не более, чем сущностью), то на этом основании такое обобщение не будет определять более общей сущности.

Теорема. Взаимодействие двух сущностей  является сущ-ностью.
Доказательство. Рассмотрев пару взаимодействующих сущностей можно видеть, что взаимодействия сущностей допус-кается определением сущности в качестве сущности: взаимодей-ствие может быть представлено как пара (“разложено на пару”) взаимодействующих сущностей, эффект взаимодействия которых может считаться (поскольку не имеется обстоятельств, препятст-вующих этому) сущностью, а это означает, что (любое) взаимо-действие двух сущностей удовлетворяет определению сущности и, следовательно, является сущностью.

Замечание 1. Данная теорема предназначена не для того, чтобы показать, что объект, определяемый определением сущности, действительно существует, а для того, чтобы продемонстрировать, что работать с определением сущности можно и следует по правилам, которые самим этим определением предлагаются.
Замечание 2. Здесь используется интуитивное представ-лением о том, что означает, что некоторый объект удовлетворяет некоторому определению. Как будет показано, это интуитивное представление совпадает с формальным определением того, что значит, что объект удовлетворяет дедуктивному определению.

Сущности будут нотироваться буквами (и словами) неко-торого алфавита. Заметим, что хотя сущность буквой нотируется (обозначается), она буквой не является.

Теорема. Определение сущности является сущностью.
Доказательство. Действительно, в определении сущности рассматриваются некоторые две сущности (метод и его аргумент) взаимодействие которых (по определению сущности) дает новую сущность. Следовательно, определение сущности является сущ-ностью.
Теорема. Определение сущности допускает некоторую инициальную сущность, связываемую с сущностью, в качестве сущности.
Доказательство. Принимая во внимание, что настоящая теорема как раз и представляет требуемое в теореме связывание инициальной сущности с сущностью, инициальная сущность мо-жет быть рассмотрена в качестве сущности:
сущность: сущность и/или инициальная сущность.

Теорема. Определение сущности представляет собой де-дуктивное определение.
Доказательство. Действительно, определение сущности можно считать некоторой сущностью, которая взаимодействую с некоторой неопределенной (инициальной) сущностью дает эф-фектом некоторую сущность, которая считается сущностью; с другой стороны в определении сущности говорится о разложении сущности на две взаимодействующие сущности, взаимодействие которых дает в качестве эффекта сущность; это означает, что определение сущности действительно является дедуктивным оп-ределением.
Теорема. Действия, применяемые к инициальной сущности в дедуктивном определении, являются сущностями.
Доказательство. Действительно, поскольку дедуктивное определение образует некоторую новую сущность, то в соответ-ствии с этим дедуктивным определением, она разложима на две компоненты, которые в соответствии с определением сущности могут считаться сущностями.
Следствие. Теорема позволяет представлять дедуктивное определение как суперпозицию двух действий над сущностями: как конкретизацию, конкретизируемой сущностью которой яв-ляется аппликация.
Теорема. Результатом (эффектом) исполнения взаимодей-ствия сущностей является сущность.
Доказательство. Доказательство непосредственно следует из рассмотрения исполнения для каждого вида взаимодействия.
Теорема. Определение является сущностью.
Доказательство. Поскольку считается, что определения определяют некоторую (определяемую) сущность, то сами опре-деления (в предположении возможности определения над ними действий, т.е. ввиду возможности их взаимодействия с некоторой другой сущностью – действием) могут рассматриваться в каче-стве “сущностей”, т.к. удовлетворяют определению сущности.

Замечание. “Сущность”, определяемая схемой:
сущность: сущность [сущность],
– это такая сущность (в каком-то смысле предельная), что любое ее взаимодействие с сущностью ее только конкретизирует; это определение, в частности, означает, что понятия являются сущностями, т.е. что обобщением взаимодействия сущностей яв-ляется сущность.

3.3. Существование сущностей
Поскольку сущности не являются объектами реального физического мира, остро стоит проблема обоснования существо-вания сущностей (а затем и понятий). В отличии реальных физи-ческих объектов, существование которых может быть достоверно установлено по их взаимодействию с некоторыми другими ре-альными физическими объектами, существование которых при-знается, в виртуальном мире сущностей проблема установления существования сущностей не столь очевидна и тривиальна. Для установления существования сущностей требуется выработка, установление и принятие некоторого нового критерия существо-вания, ибо прежний критерий взаимодействия сущностей с ре-альными физическими объектами проблематичен из-за неопре-деленности взаимодействий виртуальных и реальных объектов.
Критерий существования сущностей. В качестве критерия существования виртуальных сущностей можно принять возможность их обобщения: любая сущность допускает свое обобщение; сущность, представляющая обобщение некоторой другой сущности, считается существующей.

Теорема (существования). Существование сущности обеспечено его собственным определением.
Доказательство. Произвольная сущность, в соответствии с определением сущности, допускает разложение на определение дедуктивного понятия, применяемого к некоторой виртуальной инициальной сущности, и, следовательно, существование сущности не зависит от способа его построения, а определяется исклю-чительно собственным определением.

3.4. Концепция гомоморфизма сущностей
Понятия, определяемые посредством их соответствующих определений, имеют в своей основе использование некоторой категории, которая фигурирует в определениях под именем ини-циальной сущности. Определение инициальной сущности прак-тически никак ее не определяет, не специфицирует, предполагая лишь возможность применения к ней действий. Такая неограни-ченная, практически всеобъемлющая универсальность инициаль-ной сущности, при всей ее привлекательности, абсолютно не-конструктивна: что именно и, главное, каким образом что-либо может быть практически рассмотрено в качестве инициальной сущности остается неопределенным. Эта особенность определений позволяет в качестве виртуальной сущности предполагать достаточно неограниченный набор произвольных сущностей. Совершенно уникальным и феноменальным технологическим приемом, возможным и допускаемым именно теорией понятий, является допущение в качестве конкретизации инициальной сущности самих сущностей. И, главное, в теории понятий имеется механизм, осуществляющий допущение сущностей в качестве “значений” инициальной сущности. Этот механизм достаточно и всецело конкретизируя инициальную сущность, никак не умень-шает ее универсализма, поскольку в получающихся таким образом определениях понятий инициальная сущность продолжает иметь место быть, продолжает наличествовать, она унаследована. Для осуществления этой возможности требуется всего лишь оп-ределить схему (способ) применения действий к сущностям. Схема применения действий к сущностям, предлагаемая теорией понятий, называется семантическим гомоморфизмом.
Рассмотрим применение одного определяющего отношения к другому: (w:u)[u:v]. Положим, что эффектом такого применения является выражение, сущность (w:(u:v)).
Эту схему применения определяющего отношения к оп-ределяющему отношению будем считать теорией и называть се-мантическим гомоморфизм:
 (w:(u:v)) : (w:u)[u:v].

3.4.1. Существование гомоморфизма
В соответствии с критерием существования сущностей можно утверждать, что семантический гомоморфизм существует и является сущностью. Аккуратнее будет сказать, что семантический гомоморфизм является сущностью и, следовательно, существует.
Теорема (теорема существования). Существование  гомоморфизма обеспечено его собственным определением.
Доказательство. Сущность, представляющая гомоморфизм (определение гомоморфизма), представляет собой разложение некоторой сущности на две элементарные взаимодействующие сущности, взаимодействие которых образует исходную сущность. Это означает, что определение гомоморфизма удовлетворяет го-моморфизму; что гомоморфизм гомоморфен.

Продолжение http://www.publicant.ru/book.aspx?id_d=747613