Парадокс вОронов Хемпеля Гемпеля

Джастмэн
                ПАРАДОКС ВОРОНОВ ХЕМПЕЛЯ ГЕМПЕЛЯ

 
                Комментарий Лорда Коэна:
                Доступность операции –
                ещё не показатель того, что её надо делать.

                ЗАКОНЫ МЕРФИ (МЕДИЦИНСКАЯ МЕРФОЛОГИЯ 
                http://aphorism-list.com/merfi.php?page=med)



   «Парадокс воронов, известный также как парадокс Хемпеля или вОроны Хемпеля – логический парадокс, сформулированный немецким математиком Карлом Густавом Хемпелем в 1940-х годах, для иллюстрации того, что индуктивная логика иногда входит в противоречие с интуицией.

   Хемпель описал этот парадокс следующим образом. Предположим, что существует теория, согласно которой «все вОроны чёрные». Согласно формальной логике, эта теория эквивалентна теории, что «все предметы, не являющиеся чёрными, не являются вОронами». Если человек увидит много чёрных воронов, то его уверенность в том, что эта теория верна, увеличится. Если же он увидит много красных яблок, то это увеличит его уверенность в том, что все не чёрные предметы не являются вОронами, и, согласно вышесказанному, должно также увеличить и его уверенность в том, что все вОроны чёрные.
   Однако этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации человеком – в реальной жизни так не происходит. Наблюдение красных яблок увеличит уверенность наблюдателя в том, что все не чёрные предметы не являются вОронами, но при этом не увеличит его уверенность в том, что все вОроны чёрные.
Наиболее распространенный метод разрешения этого парадокса состоит в применении теоремы Байеса, которая соотносит условную и предельную вероятность стохастических событий.

                Принцип индукции

   Принцип индукции утверждает, что: Наблюдение явления "Х", которое соответствует теории "Т", увеличивает вероятность того, что теория "Т" истинна.
Индуктивные умозаключения широко используются в науке. Мнение об истинности многих научных законов (таких, как, например, законы движения Ньютона или закон всемирного тяготения), базируется на том, что множество наблюдений подтверждает их истинность, в то время как не существует наблюдений, которые противоречили бы этим законам (в тех условиях, где эти законы должны быть применимы согласно теории).
   В парадоксе чёрных воронов проверяемым «законом» является утверждение «Все вОроны чёрные». Поскольку это утверждение эквивалентно утверждению «Все предметы, не являющиеся чёрными, не являются вОронами», а вероятность истинности последнего должна, в соответствии с принципом индукции, увеличиваться при наблюдении любых не чёрных предметов, не являющихся вОронами, то получается, что наблюдение красных яблок должно увеличивать вероятность того, что все вОроны чёрные.



 
                Предлагавшиеся решения

     Источник парадокса лежит в том факте, что хотя утверждения «Все вОроны чёрные» и «Все предметы, не являющиеся чёрными, не являются вОронами», несомненно, эквивалентны, действие по нахождению чёрного ворона не имеет ничего общего с действием по нахождению не чёрного предмета, не являющегося вороном. Поэтому в реальной жизни наблюдение красных яблок не влияет на уверенность в истинности утверждения «Все вОроны чёрные».

     Философы предлагали несколько способов разрешения этого парадокса. Например, американский логик Нельсон Гудман предлагал дополнить индуктивную логику ограничением, согласно которому явление не должно рассматриваться как поддерживающее теорию «Все "P" являются "Q"», если оно также поддерживает теорию «Ни одно из того, что не "Q", не является "P"».
     Другие философы подвергали сомнению эквивалентность двух утверждений применительно к индуктивным умозаключениям. В этой концепции наблюдение красных яблок увеличивает уверенность в том, что все не чёрные предметы не являются вОронами, без увеличения уверенности в том, что все вОроны чёрные.    Однако в классической логике, если наблюдатель знает, что два утверждения либо одновременно верны, либо одновременно ложны, он не может считать одно из них более соответствующим истине, чем другое.

     Гудман, а затем и другой философ, Уиллард Куaйн, предлагали концепцию так называемых «проективных» и «непроективных» предикатов. Утверждения, которые допускают обобщение с помощью индуктивной логики (такие, как «Все вОроны чёрные»), они называли проективными предикатами, а утверждения, к которым индуктивная логика неприменима (например, «Все не чёрные предметы не являются вОронами») –  непроективными. Куайн предлагал определять, какие из предикатов являются проективными, а какие нет, на основе опыта и здравого смысла. Он указывал также, что непроективные предикаты не могут подтверждаться непосредственным наблюдением описываемых в них явлений, но подтверждаются наблюдением явлений, описываемых проективными предикатами, эквивалентными исходным. В этой концепции наблюдение не чёрного яблока «не увеличивает» вероятность не только того, что все вОроны чёрные, но и того, что все не чёрные предметы не являются вОронами; вместо этого оба утверждения подтверждаются только наблюдением чёрных воронов.

                Использование теоремы Байеса

     Альтернативой использованию принципа индукции является применение теоремы Байеса, которая является одной из фундаментальных теорем в теории вероятностей и математической статистике.
Пусть "X" – явление, подтверждающее теорию "T", и пусть "I" – наши знания об окружающей обстановке, кроме самого явления "X".
Пусть Pr(T|XI) – вероятность того, что теория "T" верна, при условии, что известно, что "X" и "I" верны. Тогда
: Pr(T|XI) = frac{Pr(T|I) cdot Pr(X|TI)}{Pr(X|I)}

где Pr(T|I) – вероятность того, что теория "T" верна, при условии, что только об "I" известно, что оно верно; Pr(X|TI) – вероятность того, что "X" верно, при условии, что о "T" и "I" известно, что они верны; и Pr(X|I) – вероятность того, что "X" верно, при условии, что только об "I" известно, что оно верно.

     При использовании этой теоремы парадокс не появляется. Если наблюдатель выбирает яблоко случайным образом, то вероятность увидеть красное яблоко не зависит от того, являются ли все вОроны чёрными или нет. Вторая часть числителя будет равна знаменателю, и вероятность выбрать красное яблоко не изменится. Наблюдение "X" и теория "T" не связаны, и наблюдение красного яблока не увеличит уверенности в том, что все вОроны чёрные.
     Если наблюдатель выбирает случайным образом какой-либо не чёрный предмет, и он оказывается яблоком, то вторая часть числителя будет больше знаменателя лишь на очень малую величину. В этом сценарии наблюдение красного яблока увеличит вероятность того, что все вОроны чёрные, но очень незначительно. Чем больше не чёрных предметов мы будем наблюдать, не находя среди них воронов, тем больше будет наша уверенность в том, что все вОроны чёрные, но темпы возрастания этой уверенности будут столь малы, что не будут ощущаться интуитивно. В предельном же случае, если бы наблюдатель мог увидеть все не чёрные предметы во Вселенной и не найти среди них воронов, то он, очевидно, убедился бы в том, что все вОроны чёрные.

Ссылки
Энциклопедия PRIME]
*[http://www.logicalparadoxes.info/hempelsravens.html Вороны Хемпеля] на сайте [http://www.logicalparadoxes.info logicalparadoxes.info]
Литература
* Hempel, C. G. "A Purely Syntactical Definition of Confirmation. " J. Symb. Logic 8, 122—143, 1943.
* Hempel, C. G. "Studies in Logic and Confirmation. " Mind 54, 1-26, 1945.
* Hempel, C. G. "Studies in Logic and Confirmation. II. " Mind 54, 97-121, 1945.
* Hempel, C. G. "Studies in the Logic of Confirmation. " In Marguerite H. Foster and [http://www.bu.edu/philo/faculty/martin.html Michael L. Martin] , eds. "Probability, Confirmation, and Simplicity ". New York: Odyssey Press, 1966. 145—183.





                Теорема Байеса

     Теорема Байеса – одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. По формуле Байеса можно более точно пересчитывать вероятность, беря в учёт как ранее известную информацию, так и данные новых наблюдений.

                Формулировка

     Теорема выражается т. н. формулой Байеса:: P(A|B) = frac{P(B|A) P(A)}{P(B)},где: P(A) – априорная вероятность гипотезы "A" (смысл такой терминологии см. ниже);  P(A|B) – вероятность гипотезы "A" при наступлении события "B" (апостериорная вероятность);: P(B|A) – вероятность наступления события "B" при истинности гипотезы "A";: P(B) – вероятность наступления события "B ".hider|hidden=1|title=Вывод формулы|content-style=text-align:content = Формула элементарно выводится из определения условной вероятности:P(A|B) = frac{P(AB)}{P(B)} Rightarrow P(AB) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)

                «Физический смысл» и терминология

   Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.
   События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют «гипотезами», так как они – «предполагаемые» события, повлекшие данное. Также, безусловную вероятность справедливости «гипотезы» называют «априорной» (насколько вероятна причина «вообще»), а условную при произошедшем событии – «апостериорной» (насколько вероятна причина «оказалась с учетом полученных данных о событии»).

                Следствие

     Важным следствием формулы Байеса является формула полной вероятности события, зависящего от «нескольких» несовместных гипотез (и только от них!).: P(B) = sum_{i=1}^N P(A_i)P(B|A_i) – вероятность наступления события "B", зависящего от ряда гипотез A_i, если известны степени достоверности этих гипотез (например, измерены экспериментально); hider|hidden = 1|title = Вывод|content-style = text-align:content = Если событие зависит только от причин A_i, то если оно произошло, значит, обязательно произошла какая-то из причин, т.е.:sum_i P(A_i|B) = 1,

По формуле Байеса
:sum_i frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)} = 1

Переносом P(B) вправо получаем искомое выражение». Конец цитат (Википедия).



                РЕШЕНИЕ


   Данная задача содержит необходимость разрешения нескольких вопросов. Это рассмотрение:

1. применения неполной индукции в конкретной формулировке «все вОроны чёрные» для заключения о степени истинности конкретной гипотезы;
2. применения неполной индукции в общей, абстрактной формулировке для заключения о степени истинности любой гипотезы;
3. правильности применения механизма неполной индукции для получения нового заключения

То есть необходимо рассмотреть конкретную гипотезу «все вОроны чёрные», а также решить проблему по сути – какова степень истинности получаемых знаний с помощью метода неполной индукции.


   Если принять, что утверждение «все вОроны чёрные» могло бы быть истинно, если бы могло бы быть доказано полным наблюдением данного явления или же эквивалентного ему отрицания противоположного утверждения «все не чёрные предметы не вОроны», то в данном случае мы бы приняли по факту ситуацию ОТСУТСТВИЯ ИСТИННОСТИ ЛЮБОГО ЗНАНИЯ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДА НЕПОЛНОЙ ИНДУКЦИИ.
    Во-первых, потому что «полное наблюдение эмпирических данных» возможно лишь для гипотез, описывающих относительно локальные количественные, а значит, качественные явления. Для гипотез о глобальных явлениях «полный пересчёт» фактических данных проблематичен или невозможен кроме отсутствия технической возможности этого ещё и в принципе –  по причине изменчивости самих фактических данных в процессе наблюдения, ведь «мир не стоит на месте, а меняется ежесекундно». А во-вторых, потому что таким образом принижается роль получения знания с помощью логического рассуждения на основе неполной информации. Ведь выходит, что, не пересчитав все факты, эмпирические данные, достоверного истинного знания получить не удастся. Но в действительности для получения нового знания или понимания достаточно лишь ОДНОГО ФАКТА, зафиксированного верно, в истинных элементах, дающих информацию по сути явления. Даже только один реальный, истинный факт, зафиксированный в истинных элементах, ведёт к новому знанию и пониманию. «Доказательства ценятся по качеству, а не по количеству» (латинская пословица).



   Рассматривая отдельно данный конкретный вариант с приводимыми в нём утверждениями о вОронах можно заключить, что исходная посылка об эквивалентности утверждений «все вОроны чёрные» и «все не чёрные предметы не вОроны» ошибочна.
   Вывод об их тождественности основан на исходной классификации всех предметов по цвету относительно чёрного цвета. Но, во-первых,  «ворон» – это не «предмет», а «птица». Подтверждение гипотезы «все вОроны чёрные» возможно подтверждением тождественного ему утверждения или отрицанием его отрицания. Таким тождественным или эквивалентным утверждением будет «все нечёрные птицы не вОроны». Потому что «ворон» – это «птица». Иначе следовало бы рассматривать эквивалентность и подтверждаемость других фраз, например, «все чёрные ЖИВОТНЫЕ – кроты, а все нечёрные ЖИВОТНЫЕ не кроты», или «все прозрачные ПРЕДМЕТЫ – воздух, вода и стекло, а все непрозрачные ПРЕДМЕТЫ не воздух, вода и стекло» и так далее.  Потому что рассмотрением «(нечёрных) предметов» совершается подмена основания, переход к другому объекту от исходного «(чёрный) ворон», составляющему совсем другое множество по смысловому, лексемному основанию.  Понятие «предмет» не тождественно понятию «ворон», а значит, истинность одной из этих гипотез никак не влияет на истинность другой. 
   То есть, подходя со строгими  логическими мерками к дефинициям, сразу видно расхождение в определениях «ворон» и «предмет». Второе определение описывает неодушевлённые объекты, тогда как ворон есть птица, то есть животное, то есть одушевлённый предмет, с общепризнанных позиций.  Следовательно, все последующие рассуждения являются логически ошибочными, потому что происходит известная логическая ошибка – «подмена основания тезиса».

   Утверждение об эквивалентности исходных утверждений можно принять лишь с ограничением, заключающимся в том, что понятие «предмет» используется в широком смысле, под ним подразумевается «вещь, явление» (тоже в широком смысле), то есть абстрактное понятие, используемое для описания чего-либо – «объект». В этом случае возникает ситуация, когда эти конкретные утверждения уже могут рассматриваться как тождественные, потому что в таком случае мы необходимо принимаем эквивалентность утверждений: 1) Все нечёрные объекты – не вОроны; 2) Все вОроны – объекты чёрного цвета. Схематично это будет выглядеть так:
               

                ВСЕ ОБЪЕКТЫ  ПО ЦВЕТУ

        А. ЧЁРНЫЕ                Б. НЕ ЧЁРНЫЕ

      1. ВОроны   2 –  ; Другие объекты                1 – ; Другие объекты, не вОроны


Данным рассуждением производится мысленный переход от частных понятий к более общим в самом процессе рассуждения, без вербальной фиксации. Но со строгих позиций, данный переход должен быть совершён в процессе дефиниции понятий в исходной посылке.

   Во-вторых, сами посылки подобраны неправильно, необходимо заменить одну из посылок.  Истинность знания о том, что все вОроны являются чёрными, может быть установлена только установлением истинности следующих гипотез:

    1) все вОроны чёрного цвета.

   Где необходимо чётко установить, определить три понятия –  «ворон», «чёрный цвет», «все». Первые два не представляют особой сложности. «Все» необходимо понимать как «все известные к моменту постановки задачи», исходя из «принципа относительности знания» («Логические парадоксы. Пути решения», глава «О принципах решения парадоксов», пункт 2-Б http://proza.ru/2009/01/22/165). Установление полной принадлежности, совпадения объёмов множеств элементов, описываемых этими понятиями и будет подтверждением истинности исходной гипотезы.

    2) все нечёрные птицы не вОроны или, по-другому, нет нечёрных воронов.

Ложность исходной гипотезы «все вОроны чёрные» будет установлена подтверждением следующих предположений:

    1) некоторые (не все) вОроны другого цвета (не чёрные),
 
    2) некоторые чёрные птицы  не вОроны.

Вторая фраза опровергает только часть исходной гипотезы, а именно, что все чёрные птицы должны быть только вОронами. Поэтому она не может считаться достаточной для установления истинности подтверждаемой исходной гипотезы. Ведь могут быть истинными оба факта: все вОроны являются чёрными и  есть другие, чёрные птицы не вОроны (например, чёрные коршуны или лебеди).  Но, исходя из принципа индукции, следует признать, что возрастание количества наблюдаемых нечёрных птиц других видов, не воронов, увеличивает вероятность того, что существуют нечёрные вОроны (серые, белые). Это следует из деления всех объектов: А-1) на чёрных вОронов и А-2-;) других чёрных птиц – первое подмножество А: «чёрные птицы» –  и Б-1) нечёрных воронов и Б-2-;) других нечёрных птиц – второе подмножество Б: «птицы других цветов» общего множества «все птицы». Такой вывод следует из аналогии с делением более общего множества «все объекты» на объекты-вОроны и объекты-невОроны относительно того же чёрного цвета. Из чего был сделан подобный моему вывод.

   Ложность исходного утверждения проще установить, так как для этого необходим только один случай нахождения нечёрного ворона. И даже в случае признания такого наблюдения лишь исключением из общего правила, то есть сохранение истинности исходной гипотезы в остальных случаях, например, признания такого случая наблюдения «белого ворона» исключением из-за единичной мутации, болезни и т.п., невозможно утверждать исключительную истинность исходного утверждения (в данном случае – все вОроны чёрные). Потому что, следуя строгим логическим рассуждениям, исходная гипотеза опровергнута. А каким фактом опровергнута, это уже второстепенно.

   Стоит указать, что подобный «единичный случай» должен рассматриваться не менее строго с логической точки зрения, чем и признание его роли в опровержении исходной посылки. То есть он должен быть не фикцией, быть реальным и зафиксирован именно в истинных элементах, отражающих необходимую для решения вопроса информацию, подходить по всем параметрам под логическую классификацию, нарушая лишь принадлежность к одному подклассу – в данном случае деление по чёрному цвету, – совпадая по другим критериям: «вОрон» в данном случае (то есть даже не ворОна или воронёнок). Это необходимо было  указать, для соблюдения «принципа понимания» («Логические парадоксы. Пути решения», глава «О принципах решения парадоксов», пункт 1, http://proza.ru/2009/04/27/370), чтобы рассуждения и выводы были истинными.
   Во-первых, потому что может существовать ситуация наблюдения ворона, например, зелёного цвета, попавшего, скажем, случайно в зелёную краску. Такой факт должен быть признан опровергающим исходное утверждение, так как не было уточнения относительно исходной классификации объектов. То есть «принцип полного понимания проблемы» был нарушен. Это касается исходных посылок, дефиниции понятий. Потому что относительно валидности утверждение по определению принадлежности к подклассу птиц по цвету должно производится не просто по окрасу их оперения при наблюдении, что и произойдёт при нахождении упавшего в краску ворона, а по натуральному окрасу взрослой особи (ворон). Даже не птенца ворона, потому что они могут быть разными. Иначе следует прямо признать ложность гипотезы, если птенцы ворон имеют не чёрный, а, скажем, серый цвет.
   Это заключение верно, если принять за «точку опоры выводов» определение цвета ворона как вида класса птиц, а не просто взрослой особи.
   Как видно из этого рассуждения, подходя со строгими мерками к пониманию, уже можно добиться некоторых выводов, ещё не начав само наблюдение.

   Во-вторых, это указание нужно было для того, чтобы подобный единичный случай не был отброшен, как раз, по причине его неподхождения под параметры классификации. Скажем, факт наблюдения того же зелёного ворона в краске может быть отброшен, как не подходящий, а затем окажется, что ворон по натуральному окрасу был синий. То есть не нужно «выплескивать с водой и ребёнка».

   Истинность  гипотезы установить прямым подтверждением сложнее, потому что даже длительное её подтверждение не даёт абсолютных оснований для признания окончательно истинной. Причины ошибочности могут быть разными. Например,  неверный технологически процесс наблюдения  или наблюдение лишь части явления из-за невозможности охватить ВСЕ СЛУЧАИ технически. Но здесь неизбежно возникает понимание того, что если первая ситуация может быть исправлена, ошибки или недостатки процесса или подхода могут быть устранены, то вторая ситуация исправлена быть не может. Потому что все случаи охватить невозможно не только по причине недостаточности технических возможностей, а в первую очередь возможностей агностических. Это следует прямо из «принципа относительности знания».  Знание относительно («Логические парадоксы», глава «О принципах решения парадоксов», пункт 2, http://proza.ru/2009/04/27/370). Поэтому даже «достаточно» подтверждённое по времени многими фактами и принятое за истинное предположение, знание может через неопределённое время оказаться недостаточно истинным или абсолютно ложным при получении новых эмпирических данных или нового понимания старых данных. То есть истинность любого предположения, гипотезы, теории, а также аксиомы в основании теории, может быть поставлена под сомнение. Значит, и постоянно подтверждаемая гипотеза «все вОроны чёрные», как и «все нечёрные предметы не вОроны» может через неопределённое время оказаться ложной. Как и любая гипотеза может изначально считаться не абсолютно, не стопроцентно истинной в контексте вечности, а лишь на некоторое время, даже и очень длительное.  Конечно, на конкретный период времени любая гипотеза, теория, аксиома может быть признана истинной, но в дальнейшем могут возникнуть её опровержения. Могут не означает возникнут неизбежно, но это следует учитывать. Скольких бы трагедий и смертей можно было бы избежать, приняв это.


   Нижеследующее рассуждение касается уже не только конкретного исходного утверждения о вОронах, но и абстрактной формулировки, то есть самой сути проблемы подтверждаемости знания с помощью логического рассуждения.

   Как видно из цитаты, предлагались разные решения. Эквивалентность исходного утверждения и его отрицания уже подвергалась сомнению, как и мной. Но это не выход, потому что не даёт решения сути проблемы, а только конкретной формулировки, впрочем, которую тоже можно в какой-то степени проигнорировать.

   Гудман и Куайн предлагают метод ограничения применения принципа индуктивности на основе использования концепции проективности предикатов, то есть подтверждаемости исходного утверждения только другим утверждением для тех гипотез, которые они признают непроективными – которые не могут быть подтверждены в процессе собственно наблюдения описываемого ими явления или процесса. Но определять проективность утверждения они предлагают «на основе опыта и здравого смысла». А это сразу начисто лишает данный метод какой-либо объективности, полностью ввергая его «в пучину» субъективности.

   Решают данную проблему и с помощью использования теоремы Байеса. То есть накладывают ограничение на способы подтверждения «гипотезы» не любыми, а только определёнными «апостериорными причинами», которые и вызывают следствие, описываемое данной «гипотезой». Согласно этому способу, наблюдение не связанных напрямую с исходным утверждением явлений незначительно или вообще не влияет на его подтверждаемость. То есть просто наблюдение и тем более наблюдение большего количества красных яблок или коричневых ботинок, или белых коров, или других фактов, кроме касающихся  воронов, никак не влияет на возрастание истинности утверждения «все вОроны чёрные», что и соответствует интуитивному пониманию этого изначально. Но! Исходя из того, что любое знание относительно, а, следовательно, развиваемо, изменчиво можно сказать, что неизвестно насколько какое-либо явление напрямую или опосредованно связано с другим, даже и достаточно отдалённым. Ведь даже не наблюдая, скажем, птиц напрямую, можно утверждать, что  уменьшение или исчезновение количества, к примеру, гусениц или жуков, вызовет уменьшение численности питающихся ими птиц. Но это можно утверждать, основываясь на знании связи между этими явлениями. Если же такая связь ещё недостаточно изучена или неизвестна, то предположение на её основе становится зыбким или ложным. То же самое относительно и рассуждения, основанного на отрицании существования такой связи из-за неизученности. Изначально поэтому абсолютно стопроцентно утверждать, что наблюдение красных яблок не увеличивает вероятность истинности, что все вОроны чёрные, невозможно. Тем более если подобные корреляции будут обнаружены статистически. Например, когда два явления прямо не связаны, но в процессе сопоставления наблюдений можно заметить взаимные изменения. Это не будет подтверждением их прямой связи, но будет говорить лишь о возможной опосредованной связи, которая в дальнейшем может быть опровергнута другим объяснением. Но первоначально это утверждать невозможно. Что и говорит об относительности, а значит, развиваемости знания и понимания явлений.

   Рассмотрим схематично логическую классификацию объектов на основе конкретного содержания, в данном случае – разделение объектов по натуральному цвету, а именно воронов:

                ВСЕ ОБЪЕКТЫ

                ЧЁРНЫЕ                ДРУГИХ ЦВЕТОВ (НЕ ЧЁРНЫЕ)
   
А. Одушевлённые         Б.Неодушевлённые     В.Одушевлённые  Г. Неодушевлённые      

А-1. Животные         А-2. Другие классы                аналогичное деление
А-1-1. Птицы           А-1-; Другие                --||--||--||--
А-1-1-а) вОроны ; А-1-1-б-;) другие птицы   В-1-1-а) вОроны; В-1-1-б-;) невОроны

Из этой схемы можно извлечь понимание того, что множество «все вОроны» изначально логически включает в себя элементы «чёрные вОроны» и «нечёрные вОроны». И для того, чтобы исходное утверждение было истинным, нужно чтобы подмножество «нечёрные вороны» было пустым, то есть не содержало ни одного элемента. Но наблюдение красных яблок или других предметов, объектов нечёрного цвета, никак не может дать информацию о составе, мощности, подмножества «нечёрные вОроны». «Красные яблоки» не являются даже возможным элементом подмножества «нечёрные вороны», поэтому и никак не влияют на прояснение вопроса о существовании нечёрных воронов и на увеличение истинности исходного утверждения «все вОроны чёрные». Отсутствие необходимой информации о факте означает не то, что такого факта не существует, а только то, что неизвестно существует ли он или нет. То есть можно сказать, что суждение «если все нечёрные предметы (объекты) не являются вОронами, другими словами, нет нечёрных вОронов, тогда истинно, что все вОроны чёрные» содержит в себе логическую ошибку, названную мной «ложный вывод» («Логические парадоксы. Пути решения», глава «Ошибки рассуждения – ложный вывод», http://proza.ru/2009/04/25/488). В данном случае «ложный вывод» основан на неверной исходной посылке – неправильной формулировке отрицания гипотезы – и состоит в том, что логическое заключение является неточным, неполным, как и в случае с парикмахером, например, в парадоксе Рассела. Вместо неверного вывода «если нет, не наблюдается нечёрных вОронов, то значит, что все вОроны чёрные» нужно сделать верный вывод «если не наблюдается нечёрных вОронов, следовательно, либо 1) их нет и все вОроны только чёрного цвета, либо 2) об их существовании ещё НЕИЗВЕСТНО». И, таким образом, даже длительное наблюдение только чёрных вОронов, и только нечёрных невОронов, других предметов, не даёт опровержения возможности существования вОронов других цветов там, где мы не знаем. Поэтому истинным утверждение «все вОроны чёрные» можно принять с оговоркой на возможность её опровержения, как и любой гипотезы изначально. Другими словами, говоря «все» мы не можем быть уверены, что охватываем этим описанием все элементы данного множества. Может быть, мы вообще знаем только меньшую часть даже уже существующих в данную секунду элементов этого множества. А если даже и знаем все элементы, то через некоторое время может родиться мутировавший вОрон, к примеру, белого цвета. Это изменит эмпирические данные и с того момента времени знания необходимо будут нуждаться в пересмотре в связи с новыми фактами. Тем самым истинное до этого рождения утверждение «все вОроны только чёрные» превратится в ложное.  Нужно оставлять возможность на изменение нашего знания, понимания явлений.

    Для решения проблемы по сути нужно рассмотреть механизм получения выводов с помощью метода неполной индукции. Используя приведённую гипотезу о вОронах, составим логическую схему метода неполной индукции.
    Исходя из «Принципа исключённого четвёртого» («Логические парадоксы. Пути решения», главы «О принципах решения парадоксов», пункт 2-Д, http://proza.ru/2009/04/27/370 и «Закон логики – Принцип исключённого четвёртого», http://proza.ru/2009/04/27/754), а именно из того, что любое высказывание до момента проверки является ни истинным ни ложным, не имеет логического значения, можно утверждать, что полное предположение относительно натурального цвета вОронов на основе деления их по чёрному цвету в конкретный момент времени будет выглядеть следующим образом.

                Множество всех вОронов
 (то есть тех, что известны исследователю или могут быть известны в конкретный момент времени в принципе) составляют:

1. некоторые (существуют) вОроны чёрного цвета;
2. некоторые (существуют) вОроны другого (не чёрного) цвета.

Истинность выделения первого подмножества будет подтверждаться нахождением чёрных воронов, а, соответственно, второй – нахождением воронов не чёрного цвета. Отсутствие нахождения чёрных воронов не опровергает существование первого подмножества в принципе, а только констатирует данный конкретный факт, то есть наше знание на конкретный момент – не известны на данный момент времени вОроны чёрного цвета. То же самое и относительно существования второго подмножества воронов – не чёрного, а другого цвета.
     Из констатации этих конкретных фактов, частного вывода, переходим к более глобальному обобщению, к общему уровню от частного, то есть собственно применяем метод неполной индукции:

   1. существуют некоторые вОроны чёрного цвета,
   2. отсутствует информация о существовании воронов других цветов в данное время,
 следовательно, вероятно, все вОроны чёрного цвета.

Данный вывод будет верным до тех пор, пока верны исходные посылки, давшие такое логическое заключение: наблюдение только чёрных воронов и отсутствие нахождения воронов другого цвета. Никакие другие утверждения, не являющиеся посылками данного вывода, не влияют на степень истинности заключения. То есть наблюдение других предметов, объектов в широком смысле, как чёрного, так и не чёрного цветов значения не имеют.

   Это легко понять, если рассмотреть посылки силлогизма в исходной формулировке парадокса. Вывод парадокса о том, что все вОроны чёрные, был сделан Хемпелем из исходных посылок:

А. нахождение некоторых объектов чёрного цвета – воронов,
Б. нахождение некоторых объектов других цветов – не воронов,
следовательно, все объекты – вОроны только чёрного цвета.

Но данный силлогизм ошибочен в двух отношениях. Во-первых, ложен сам вывод из посылок. Из данных посылок полный вывод будет звучать: А и Б истинны, значит, возможно, все вОроны являются чёрными, а все другие объекты - невОроны других цветов. Что означает переход от двух частных фактов к двум общим соответственно информации из них. Но часть данного вывода легко опровергается наблюдением объектов - неворонов чёрного цвета, например, чёрных муравьёв, или деревьев,  или автомобилей. Значит, не все объекты невОроны других цветов, потому что существуют чёрные объекты, не являющееся вОронами. Во-вторых, для получения интересующего нас знания о цвете воронов, необходимо изменить посылки  силлогизма. Тогда получится:

А. существуют (некоторые) вОроны чёрного цвета,
Б. неизвестно о существовании воронов других цветов;

В. существуют (некоторые) объекты - невОроны других цветов,
Г. существуют  (некоторые) объекты - невОроны чёрного цвета,

Следовательно: 1-АБ) возможно, все вОроны только чёрного цвета, 2-ВГ) все объекты - невОроны чёрного и других цветов.

Как видно из заключения, невозможно связать части силлогизма, группы исходных посылок для единого вывода. Невозможно связать посылки, потому что это противоречит механизму логического мышления, который можно назвать  «ПРИНЦИП ИСТИННОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЫВОДА»: ИСТИННОСТЬ ФАКТА МОЖНО ПРОВЕРИТЬ ТОЛЬКО ЕГО ПОДТВЕРЖДЕНИЕМ ИЛИ ОТРИЦАНИЕМ ЕГО ОТРИЦАНИЯ (АЛЬТЕРНАТИВЫ). То есть механизм поиска логического значения высказывания заключается в нахождении его прямого подтверждения  либо нахождения отрицания его альтернативы и никак иначе. А в данной задаче вторая посылка «всё предметы (объекты), не являющееся вОронами, не чёрного цвета» не является альтернативой проверяемой гипотезы «все вОроны чёрного цвета». Такой альтернативой, контрадикторным высказыванием, для посылки «некоторые вОроны чёрного цвета», из которой и сделан вывод с помощью индукции, что «все вОроны только чёрного цвета», будет «некоторые вОроны не чёрного, а другого цвета». Из посылок об остальных объектах - невОронах можно сделать только вывод обо всех объектах - невОронах и ни о чём другом. То есть парадокс у Хемпеля возник из-за неправильного построения рассуждения, а именно – из-за неверной альтернативной посылки. Отсюда можно сделать вывод, что для ЛЮБЫХ исходных проверяемых предположений, гипотез, чтобы получить истинное логическое умозаключение, необходимо соблюдать правильность построения суждения, в данном случае – «принципа истинного логического вывода». Тогда отпадает необходимость в создании и применении каких-либо искусственных методов рассуждения, подобных принципу предикативности суждений или теоремы Байеса.

   Для иллюстрации данного вывода можно рассмотреть пример применения верного механизма логического вывода с помощью неполной индукции относительно тех же яблок. Представим, что мы живём на острове и  нам необходимо выяснить, какого цвета все яблоки. Мы находим, что существуют (некоторые) яблоки зелёного цвета, и не видим яблок других цветов. На основе этого мы осуществляем индукционный вывод: вероятно, все яблоки только зелёного цвета. Этот вывод абсолютно аналогичен выводу  «все вОроны только чёрного цвета». И что, на этом наше знание окончательно? Да нет, конечно! Это лишь относительная истина, доступная нам в конкретный момент времени. Затем, скажем, через сто лет к нашему острову приплывает корабль. Сошедшие на берег чужеземцы в процессе общения и обмена знаниями сообщают нам, что у них все яблоки не только зелёного, но и красного цветов. Тогда мы строим новое умозаключение: 1) существуют (некоторые) яблоки зелёного цвета, 2) существуют (некоторые) яблоки красного цвета и делаем вывод – следовательно, вероятно, все яблоки зелёного и красного цветов. Но! В данный момент происходит важное событие с точки зрения познания.  Кроме того, что мы получили информацию о существовании красного цвета яблок, нам стало известно:

во-первых, что существуют яблоки ДРУГОГО цвета, что означает возможность существования яблок и других цветов, например, жёлтого, синего и так далее;

во-вторых, что наше знание ложно, потому что НЕПОЛНО, что означает возможность пересмотра наших представлений и в других сферах на основе новой информации или другого понимания старой (предположение о возможности существования яблок неизвестных цветов в принципе).
   В это же самое время мы наблюдаем на острове стаи чёрных ворон, а также уйму других чёрных объектов, как и объектов других цветов, скажем, жёлтых бананов, оранжевых апельсинов, синих рыб, но не видим красных или зелёных объектов. На основе наблюдений строим умозаключение: существуют объекты разных цветов, кроме зелёного и красного, не являющееся яблоками, следовательно, вероятно, все объекты, кроме яблок, разного цвета, кроме красного и зелёного. Но из данного вывода, соединив его с выводом «все яблоки, вероятно, только красного и зелёного цвета», НЕВОЗМОЖНО сделать истинное умозаключение о цвете всех яблок. То есть из посылок «все яблоки красные или зелёные» и «все объекты (предметы) - неяблоки других цветов»  следует только единственно верный вывод: следовательно, существует разделение всех объектов по некоторым определённым только для них цветам. Но окончательного ответа о принадлежности ВСЕХ конкретных объектов к конкретному цвету именно из этих двух посылок сделать нельзя. Тем более это станет очевидным, когда мы обнаружим массу предметов, не являющихся яблоками, зелёного и красного цвета. Например, зелёных лягушек и растения, красных попугаев и  клубнику. То есть о цвете всех яблок, как и о цвете всех воронов, можно сделать вывод только из посылок о цвете именно яблок (как и воронов): 1) существуют яблоки зелёного или красного цвета и 2) неизвестно в данный момент времени о существовании яблок других цветов, следовательно, вероятно, что все яблоки только этих двух цветов. Данное заключение будет оставаться истинным до тех пор, пока не будет получена информация о существовании яблок другого цвета, например, жёлтых.


   Таким образом, по данному парадоксу можно заключить, что на истинность исходной гипотезы «все вОроны чёрные» никак не влияет истинность или ложность фактов нахождения красных яблок, коричневых ботинок, белых лебедей, как и  чёрных муравьёв, чёрных автомобилей или любых других объектов чёрного и других цветов, не являющихся вОронами, потому что на это может повлиять только лишь прямое её подтверждение – нахождение чёрных воронов – либо отрицание его отрицания (альтернативы) – нахождение или нет некоторых (хотя бы одного) ворона не чёрного, а другого цвета, как двух возможных посылок для получения верного логического вывода.

                20.05.2009

фото - Роман Шистеров, карикатура "Белая ворона", (19.11.2007, рейтинг дня), http://caricatura.ru/parad/grumbus/10050